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1、1,8.1 二部图8.2 欧拉图8.3 哈密尔顿图8.4 平面图,第八章 一些特殊的图,若能将无向图G=的顶点集V划分成两个子集V1和V2(V1V2=),使得G中任何一条边的两个端点一个属于V1,另一个属于V2,则称G为二部图(也称为偶图).V1,V2称为互补顶点子集,此时可将G记成G=,若V1=n,V2=m,则记完全二部图G为Kn,m.,二部图,定义,在下图中,(1)所示为K2,3,(2)所示为K3,3.K3,3是重要的完全二部图,它与K5一起在平面图中起着重要作用.,判断二部图的定理,一个无向图G=是二部图当且仅当G中无奇数长度的回路.,图8.2,图8.2所示3个图中,均无奇数长度的回路,
2、所以,它们都是二部图.其中图(2)所示为K2,3,图(3)所示为K3,3,它们分别与图8.1中(1),(2)所示的图同构.,设G=为无向图,E*E,若E*中任意两条边均不相邻,则称E*为G中的匹配(或边独立集).若在E*中再加入任何1条边就都不是匹配了,则称E*为极大匹配.边数最多的极大匹配称为最大匹配,最大匹配中的元素(边)的个数称为G的匹配数,记为1(G),简记为1.,匹 配,今后常用M表示匹配.设M为G中一个匹配.vV(G),若存在M中的边与v关联,则称v为M饱和点,否则称v为M非饱和点,若G中每个顶点都是M饱和点,则称M为G中完美匹配.,在图(1)中，e1,e1,e7,e5,e4,e6
3、等都是图中的匹配.其中e5,e1,e7,e4,e6是极大匹配,e1,e7,e2,e6是最大匹配,匹配数1=2.图中不存在完美匹配.,在图(2)中,e2,e5,e3,e6,e1,e7,e4都是极大匹配,其中e1,e7,e4是最大匹配,同时也是完美匹配,匹配数为3.,完备匹配,设G=为一个二部图,M为G中一个最大匹配,若M=minV1,V2,则称M 为G中的一个完备匹配.此时若V1 V2,则称M为V1到V2的一个完备匹配.如果V1=V2,这时M为G中的完美匹配.,图8.4,存在完备匹配吗?存在完美匹配吗?.,Hall定理,设二部图G=,V1V2,G中存在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1中任意k个
4、顶点(k=1,2,V1)至少邻接V2中的k个顶点.,设二部图G=,如果(1)V1中每个顶点至少关联t(t0)条边;(2)V2中每个顶点至多关联t条边,则G中存在V1到V2的完备匹配.,Hall定理中的条件称为“相异性条件”,定理8.3中的条件称为“t条件”,满足t条件的二部图,一定满足相异性条件.事实上,由条件(1)可知,V1中k个顶点至少关联kt条边.由条件(2)可知,这kt条边至少关联V2中的k个顶点,于是若G满足t条件,则G一定满足相异性条件,但反之不真.,例8.1 某中学有3个课外小组:物理组、化学组、生物组.今有张、王、李、赵、陈5名同学.若已知:(1)张、王为物理组成员,张、李、赵
5、为化学组成员,李、赵、陈为生物组成员;(2)张为物理组成员,王、李、赵为化学组成员,王、李、赵、陈为生物组成员;(3)张为物理组和化学组成员,王、李、赵、陈为生物组成员.问在以上3种情况下能否各选出3名不兼职的组长？,解:设v1,v2,v3,v4,v5分别表示张、王、李、赵、陈.u1,u2,u3分别表示物理组、化学组、生物组.在3种情况下作二部图分别记为G1,G2,G3,如图8.5所示.,图8.5,G1满足t=2的t条件,所以,存在从V1=u1,u2,u3到V2=v1,v2,v3,v4,v5的完备匹配,图中粗边所示的匹配就是其中的一个,即选张为物理组组长、李为化学组组长、赵为生物组组长.,G2不满足t条件,但满足相异性条件,因而也存在完备匹配,图中粗边所示匹配就是其中的一个完备匹配.G3不满足t条件,也不满足相异性条件,因而不存在完备匹配,故选不出3名不兼职的组长来.,
