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1、二次函数的几种解析及求法,一、二次函数常用的几种解析式的确定,已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。,已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。,已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。,1、一般式,2、顶点式,3、交点式,4、平移式,将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐标，可将原函数先化为顶点式，再根据“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求新函数的解析式。,二、求二次函数解析式的思想方法,1、求二次函数解析式的常用方法：,2、求二次函数解析式的 常用思想：,3、二次函数解析式的最终形式：,待定系数法、配方法、数形结合等。,转化思想:解方程或方程组,无论采用哪一种解
2、析式求解，最后结果最好化为一般式。,例1、已知二次函数 的图像如图所示，求其解析式。,解法一：一般式,设解析式为,顶点C（1，4），,对称轴 x=1.,A(-1,0)与 B关于 x=1对称，,B（3，0）。,A(-1,0)、B（3，0）和C（1，4）在抛物线上，,即：,三、应用举例,例1、已知二次函数 的图像如图所示，求其解析式。,解法二：顶点式,设解析式为,顶点C（1，4）,又A(-1,0)在抛物线上，,a=-1,即：,h=1,k=4.,三、应用举例,解法三：交点式,设解析式为,抛物线与x 轴的两个交点坐标 为 A(-1,0)、B（3，0）,y=a(x+1)(x-3),又 C（1，4）在抛物
3、线上,4=a(1+1)(1-3),a=-1,y=-(x+1)(x-3),即：,例1、已知二次函数 的图像如图所示，求其解析式。,三、应用举例,例、将抛物线 向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。,解法：将二次函数的解析式,转化为顶点式得：,(1)、由 向左平移4个单位得：,（左加右减）,（2）、再将 向下平移3个单位得,（上加下减）,即：所求的解析式为,平移法,习题1 已知抛物线经过点A（1，0），B（4，5），C（0，3），求抛物线的解析式2 已知抛物线顶点为（1，4），且又过点（2，3）求抛物线的解析式3 已知抛物线与x轴的两交点为（1，0）和（3，0），且过点
4、（2，3）求抛物线的解析式,4、将二次函数 的图像向右平移1个单位，再向上平移4个单位，求其解析式。,5、把抛物线y=ax2+bx+c向下平移1个单位，再向左平移5个单位时的顶点坐标为（-2，0），且a+b+c=0，求a、b、c的值。,例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。,三、应用举例,即：,E,F,a=-0.1,解：（1）、由图可知：四边形ACBO是等腰梯形,过A、C作OB的垂线，
5、垂足为E、F点。,OE=BF=（12-8）2=2。,O（0，0），B（-12，0），A（-2，2）。,设解析式为,又 A（-2，2）点在图像上，,三、应用举例,例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。,P,Q,(2)、分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时，船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标。,y=水位+船高=2.5+1.4=3.9 3.6,解：,顶点（-6，3.6）,当水位为2.
6、5米时，,船不能通过拱桥。,PQ是对称轴。,1、已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有最小值为-1，求其解析式。,四、尝试练习,解：设二次函数的解析式为,x=1,y=-1,顶点（1，-1）。,又（0，0）在抛物线上，,a=1,即：,2、已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。,解：设所求的解析式为,抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0）,又点（0，1）在图像上，,a=-1,即：,四、尝试练习,3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为3.6m，跨度为7.2m一辆卡车车高3米，宽1.6米，它能否通过隧道？,四、尝试练
7、习,即当x=OC=1.62=0.8米时，过C点作CDAB交抛物线于D点，若y=CD3米，则卡车可以通过。,分析：卡车能否通过，只要看卡车在隧道正中间时，其车高3米是否超过其位置的拱高。,四、尝试练习,3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为3.6m，跨度为7.2m一辆卡车车高3米，宽1.6米，它能否通过隧道？,解：由图知：AB=7.2米，OP=3.6米，A（-3.6，0），B（3.6，0），P（0，3.6）。,又P（0，3.6）在图像上，,当x=OC=0.8时，,卡车能通过这个隧道。,c,分析：要求出他跳离地面的高度，关键是,1.首先要求出该抛物线的函数关系式,2.由函数关系式
8、求出C点的坐标，即求出点C 离地面的高度h，h-0.15米-刘炜的身高即,他跳离地面的高度.,?,h,如图，刘炜在距离篮下4米处跳起投篮,篮球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最高度3.5米,然后准确落入蓝筐.已知蓝筐中心到地面距离为3.05米.如果刘炜的身高为1.9米,在这次跳投中,球在头顶上方0.15米处出手,问求出手时,他跳离地面的高度是多少?,探索:,C,y,x,o,h,解：建立如图所示的直角坐标系,则抛物线的顶点A(0,3.5),蓝筐中心点B(1.5,3.05),所以，设所求的抛物线为y=ax3.5,又 抛物线经过点B（1.5，3.05），得,a=-0.2,即所
9、求抛物线为y=-0.2x3.5,当x=-2.5时,代入得y=2.25又2.25-1.9-0.15=0.2m,所以,他跳离地面的高度为0.2m,6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m,（2）求此抛物线的解析式；,（3）现有一辆载有救援物质的货车，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km（桥长忽略不计）货车以 40kmh的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时025m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位到达最高点E时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请
10、说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？,6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m,解：（1）B（10，0），D（5，3）,（2）设抛物线的函数解析式为,由题意可得：,解得：,抛物线的函数解析式为：,设货车速度为x kmh，能安全通过此桥.,则4x+40280 解得x60,故速度不小于60kmh，货车能安全通过此桥。,（4）现有一艘载有救援物质的货船，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km，货船以 40kmh的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时025m的速度持续
11、上涨（货车接到通知时水位在AB处，当水位到达CD时，禁止船只通行）试问：如果货船按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货船安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？,6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m,如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及C点，（1）求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点D，使SOCD=SOCB，若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。,五、小结,1、二次函数常用解析式,.已知图象上三点坐标，通常选择一般式。,.已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。,.已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，通常选择交点式。,3.确定二次函数的解析式的关键是根据条件的特点，恰当地选择一种函数表达式，灵活应用。,一般式,顶点式,交点式,2、求二次函数解析式的一般方法：,已知图象中发生变化的只有顶点坐标，通常选择平移式。,平移式,谢谢！,
