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1、二次函数经典习题课,二次函数考点,1、二次函数的定义2、二次函数的图像及性质3、求解析式的三种方法4、a，b，c符号的确定5、抛物线的平移法则6二次函数与一元二次方程的关系7二次函数的综合运用,1、二次函数的定义,定义：y=ax bx c（a、b、c 是常数，a 0）定义要点：a 0 最高次数为2 代数式一定是整式练习：1、y=-x，y=2x-2/x，y=100-5 x，y=3 x-2x+5,其中是二次函数的有_个。,2.当m_时,函数y=(m+1)-2+1 是二次函数？,2、二次函数的图像及性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2
2、+bx+c(a0),由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,a0,开口向上,a0,开口向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,(0,c),(0,c),例2：,（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y0？,已知二次函数,解:（1）a=0 抛物线的开口向上
3、y=(x2+2x+1)-2=(x+1)2-对称轴直线x=-1，顶点坐标M（-1，-2）(2)由x=0，得y=-抛物线与y轴的交点C（0，-）由y=0，得x2+x-=0 x1=-3 x2=1与x轴交点A（-3，0）B（1，0）(3)当x-1时，y随x的增大而减少;当x=-1时，y有最小值为y最小值=-2（4）由对称性可知MA=MB=22+22=22AB=|x1-x2|=4 MAB的周长=2MA+AB=2 22+4=4 2+4MAB的面积=ABMD=42=4,0,(-1,-2),(0,-),(-3,0),(1,0),3,2,y,x,由图象可知,当x1时，y 0,当-3 x 1时，y 0,(5),2
4、、已知抛物线顶点坐标（h,k），通常设抛物线解析式为_,3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),通常设解析式为_,1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为_,y=ax2+bx+c(a0),y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-x1)(x-x2)(a0),求抛物线解析式的三种方法,练习,x=-2,(-2，-1),0,根据下列条件，求二次函数的解析式。,(1)、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；,(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1)；,(3)、图象经过(0，0)，(12，0)，且最高点 的纵坐标是3。,例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大
5、值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。,解：二次函数的最大值是2抛物线的顶点纵坐标为2又抛物线的顶点在直线y=x+1上当y=2时，x=1 顶点坐标为（1，2）设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又图象经过点（3，-6）-6=a(3-1)2+2 a=-2二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x,4、a，b，c符号的确定,a决定开口方向：a时开口向上，a时开口向下,a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧a、b异号时对称轴在y轴右侧b时对称轴是y轴,c决定抛物线与y轴的交点：c时抛物线交于y轴的正半轴c时抛物线过原
6、点c时抛物线交于y轴的负半轴,决定抛物线与x轴的交点：时抛物线与x轴有两个交点时抛物线与x轴有一个交点 时抛物线与x轴没有交点,(上正、下负）,(左同、右异),(上正、下负),=b2-4ac,、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图 所示，则a、b、c的符号为（）A、a0,c0 B、a0,c0 D、a0,b0,c0,2、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为（）A、a0,b0,c=0 B、a0,c=0 C、a0,b0,c=0,3、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图 所示，则a、b、c、的符号为（）A、a0,b=0,c0,0 B、a0,c0
7、,b=0,c0 D、a0,b=0,c0,0,B,A,C,o,o,o,练习：,熟练掌握a，b，c，与抛物线图象的关系,(上正、下负）,(左同、右异),c,4.抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象经过原点和 二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况：a 0,b 0,c 0.,=,5.抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象经过原点,且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足 的条件是：a 0,b 0,c 0.,=,1999中考,6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a0，b0，c0，那么这个二次函数图象的顶点必在第 象限,先根据题目的要求画出函数的草图，再根据图象以及性质确定结果（数形结合的思想
8、）,2000中考,四,3.已知二次函数的图像如图所示，下列结论：a+b+c=0 a-b+c0 abc 0 b=2a其中正确的结论的个数是（）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个,D,x,-1,1,0,y,要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。,5、抛物线的平移法则,左加右减，上加下减,练习二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象；二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3)2的图象。二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+
9、1)2+2的图象。,下,3,右,3,左,1,上,2,练习：（3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.,y=x2-5x+6,6二次函数与一元二次方程的关系,一元二次方程根的情况与b-4ac的关系我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.,与x轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0）,有两个不同的解x=x1，x=x2,b2-4ac0,与x轴有唯一个交点,有两个相等的解x1=x2=,b2-4ac=0,与x轴没有交点,没有实数根,b2-4ac0,例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=,此时抛物线 y=x2-2
10、x+m与x轴有个交点.,(2)已知抛物线 y=x2 8x+c的顶点在 x轴上,则c=.,1,1,16,(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1=-2,x2=5/3,那么二次函数y=3 x2+x-10与x轴的交点坐标是.,（-2、0）（5/3、0）,1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的 形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离 为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.,解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,顶点为(1,5)或(1,-5)所以其解析式为:(1)y=(x-1)2+5(2)y=(x-1)2-5(3)y=-(x-1)2+5(4)y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可.,7二次函数的综合运用,2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的 顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.,分析:,(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0),(2)新抛物线向右平移5个单位,再向上平移4个单位即得原抛物线,答案:y=-x2+6x-5,
