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1、圆锥曲线的定义与性质一、基本知识点1、椭圆 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点F、F的距离的和大于| F F |这个条件不可忽视.若这1212个距离之和小于| F F |，则这样的点不存在；若距离之和等于| F F |，则动点的轨迹是线段F F . 121212X 2 V 2,V 2 x 2, 椭圆的标准方程：a； + M = 1( a b )，土 + b2 = 1( a b 0).椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x 2项的分母大于v 2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.求椭圆的标准方程的方法：(1)正确判断焦点的位置；设出标准方程后，
2、运用待定系数法求解.x 2 v 2x = a cos0椭圆一 + = 1( a b 0)的参数方程为 b 0).1范围：-aWxWa，-bWxWb，所以椭圆位于直线x= 土 a和y= + b所围成的矩形里.2对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.3 顶点：有四个A (-a，0)、A (a，0) B (0, -b)、B (0, b).1212线段A1 A2、B1 B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点c4离心率：椭圆的焦距与长轴长的比e =一叫做
3、椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0。1/越接近 a于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有a 2 = b2 + c2、e = C两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个 a独立条件.2、双曲线及其标准方程双曲线的定义：平面内与两个定点F、F的距离的差的绝对值等于常数2a (小于| F F |)的动点M的轨 1212迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a| F F |，则无轨迹. 1212若|MF| |MF2|时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.x 2 y 2y 2 x 2 双曲线的
4、标准方程：云-b- = 1和士 -江=1 （a0, b0）.这里b 2 = c 2 - a 2,其中| F1 F 2 |=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.双曲线的标准方程判别方法是：如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在 y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 求双曲线的标准方程，应注意两个问题：（1）正确判断焦点的位置；设出标准方程后，运用待定系数法求解 双曲线的简单几何性质x 2 y 2c1双曲线茶-b = 1的实轴长为2a，虚轴长为2离心率e = a 1，离心率e
5、越大，双曲线的开口越大x 2 y 2bx 2 y 22双曲线 云-b- = 1的渐近线方程为y = ax或表示为a_-Z_ = 0.若已知双曲线的渐近线方程是m八，y = x，即mx ny = 0，那么双曲线的方程具有以下形式：m2 x2 一 n2 y2 = k，其中k是一个不为零的 n常数.在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有e = C与c2 = a2 + b2的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程 a只要两个独立的条件.3、抛物线抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（1）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛 物线的焦点，这条定直线1叫抛物线的准线。设P 0，抛物线的标准
6、方程、类型及其几何性质:y 2= 2 pxy 2= -2 pxx 2= 2 pyx 2= -2 py图形:+焦点八八、0F（-言,0）F （0,p）F （0,- 土）准线x = -px =言y=Yy Y范围x 0, y e Rx 0x e R, y 0对称轴x轴y轴顶点（0，0）离心率e = 1焦半径pF = p + x 1PFI + PPF| =七 + y 1PF =-七 + f对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负 方向。二、典型习题（一）圆
7、锥曲线定义X 2 y 21、（1）椭圆王+ = 1上一点M到焦点F的距离是2, N时MF的中点，则|ON |的长为。X 2 y 2（2）已知双曲线的万程是16- = 1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，则ON的大小为（O为坐标原点）x 2 y 2（3）已知双曲线的方程是话-y = 1,点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为8,点N是PF1的中点，则|ON|的大小为 （O为坐标原点）2、已知圆C： （x+3）2+y2=1和圆C2： （X3）2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹。3、已知椭圆的焦点F1（3,0）、F2（3,0
8、）且与直线xy+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程.（二）焦点三角形：椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭 桥。解题时还可能要用到：圆锥曲线的第一定义式及其平方等； 三角形 的面积 公式：S ABC = 2absinC ;平面几何的性质等。X2 y24、双曲线云一三=1的两个焦点为F, F，点P在双曲线上，若PF 1 PF，求点P的坐标。91612125、已知FF2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，匕七PF2=60（1）求椭圆离心率的范围；（2）求证 F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关。36、已知椭圆的焦点是F1（T3， 0）和F2（3，0），离
9、心率为e = （1）求椭圆上的点到直线2 x + 3 y + 8 = 0距离的最大值；一-一 2（2）若P在椭圆上，PF - PF = 一，求左PFF的面积.1231 2（三）圆锥曲线的方程7、（1）中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点（应,2巨）和（-3 -2 ）的椭圆的方程为；X 2（2） 与双曲线丁 - y 2 = 1有相同的渐近线，且过点（12，6）的双曲线的方程 ；4（3） 顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点（2, 3）的抛物线的方程为；(4) 已知椭圆的焦距是4* ,且经过点P(J5,-而)，则椭圆的标准方程为；(5) 若双曲线的渐近线方程为y = 3x，它的一个焦点是(-.10,0
10、)，则双曲线的方程 ；(6) 双曲线的 两条渐近线方程为、& y = 0，且它的焦点到渐近线的距离 为3,则此双曲线方 程 为。(7) 椭圆的焦点坐标是F (-2, 0)和F2 (2, 0),过作PQ上x轴，交椭圆于P, Q两点，且 PQF2 是等边三角形，此椭圆的标准方程为。8、双曲线与椭圆有共同的焦点F(0，-5),F，(0，5),点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线 与椭圆的方程。9、k代表实数，讨论方程kx2 + 2y2 - 8 = 0所表示的曲线(四)几何性质10、(1)点P是抛物线y2 = 8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2, 3), 则|PM
11、| + |PF|的最小值为,此时点P的坐标 为。(2)如图1,过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于两点A, B,若A, B在抛物线的准线l上的射影分别是A , B，则ZAFB等于；1111(3)抛物线y=ax2的准线方是y=2，则a的值是.11、(1)如果双曲线的两条渐近线方程是y= 3x，则此双曲线的离心率 y2x2(2)双曲线b- - - = 1的两条渐近线互相垂直，则离心率 (3 )下图中两个椭圆和两条双曲线的离心率分别是匕、七，且e e e 0)的通径重合，则椭圆的离心率为 ；x2 y21 (6) 若椭圆 一+ r = 1的离心率为=，则m 为.m42_ _X2 V 2(7) 2007年
12、(全国2理)设F1,七分别是双曲线 云一b- =1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使ZFAF = 90且AF = 3 AF，则双曲线的离心率为.12、(1)设椭圆 + V2 = 1的两个焦点是F (c,0),F (c,0)，且椭圆上存在点?使得直线PF与PF垂 m +1、1212直，则实数m的取值范围为；x2V21 一1 -(2)已知P是椭圆F +普=1上一点，Q、R分别是圆(x+4) 2+y2=和(x-4) 2+y2二 上的点，则|PQ| + |PR|25944的最小值是, (3)若动点(x,y)在曲线-+ L =1(b0)上变化，则x2+2y的最大值为 (4) 07年(全国)设F，七分别
13、是双曲线-2 - V- =1的左、右焦点.若点P在双曲线上，且PF/F2= 0，则 |p1 + PF =13、关于双曲线xy=1有下面4个命题：(1) 它的渐近线方程为x=0和y=0;(2) 它的实轴长为2*2 ；(3) 它的离心率为克；(4) 正三角形的三顶点P(- , V ), Q(- , V ),R(-, V )在双曲线xy=1上，则-,-,-不可能同号。112233123以上正确命题的序号为。14、已知双曲线(x-h) (y-k) =a(a丰0)的水平渐近线为y=k，垂直渐近线为x=h,双曲线中线为(h,k)，若双曲线V = 七上的点到它的水平渐近线，垂直渐近线，中心的距离分别为 d
14、,d ,d，则d + d + d的最小值 -1123123P为。DC15、如图，在正方体A1BRD1 - ABCD的侧面gBA内有一动点P到直A是,CB线AB的距离等于到直线B1C1的距离，则动点P的轨迹圆锥曲线定义与性质答案1、(1)解：由椭圆方程知，a = 5,b = 3 ,因为|MF| + |MF | -10电为另一个焦点坐标)， 又因为|MF| - 2，所以MF2-8，ON是三角形MF1F2的中位线，所以|。| = |MF2-4 即|0的长是4。(2) 解：ON是三角形PF1F2的中位线，所以|ON| - 2|PF|，因为|尸匕|-PF - 8，|PF| -10所以PF |-2或18，
15、|QN|-；pF |-1或92，22，(3) 82、解：设动圆圆心M(x,y)，动圆半径为R，则Mq=1+R，MC2=3+R，所以 IMC2I |MCI=2ICC2I=6，从而M的轨迹为以q、C2为焦点，2为实轴长的双曲线的左支。X 2 - 1(x 0)8X 2 y 23、解法1：设椭圆为云+ of二9 =1与直线方程xy+9=0联立并消去y得：(2 a2 9) X2 + 18 a2x + 90 a2a4= 0，由题设TIB a2)24(2 a29) (90 a2a4) N0na454 a2+ 405 N0na2N45 或 a2 0, Aa245,故 amin=3月，得(2a) min=5 ,
16、 .X 2 y 2此时椭圆方程为石+就-1.X 2y 2:.解法2：设椭圆一=1与直线Xy+9=0的公共点为M(acosa qa2-9sina )， a 2a 2 9则 acosa va2 9 sin a +9=0 有解.p2a 2 9 cos(a +8) =9 n9 9cos(a +8 )=，. | = | 1 nv2a 2 92a 2 92a2 9 N9na2N45,.%诣=3 3,得(2a)min=6 %5 ,、x 2 y 2此时椭圆的方程行+茹=1.解法3:先求得F1(3, 0)关于直线xy+9=0的对称点F(9,6), 设直线F1F2与椭圆的交点为M,则2a=|MF1|+|MF2|
17、=|MF| +|MF2|FF2|=;5，于是(2a)mjn=6F5，易得 a2=45,b2=36，此时椭圆的,X 2 y 2万程为一 + 45 364、解：由双曲线的方程知：a = 3,b = 4,c = 5:lPFJ-I PF2 =6PF 2 + PF 2 = FF I2 = 100l 121 2 1不妨设点p在第一象限，坐标为(x,y), f1为左焦点，那么:由得：(IPF PF )2 = 36,所以 PF 2 + PF 2 -2 PF PF = 36 ,1121212在直角三角形 PF1F2 中，PFPF21 = |FFy = 32,：口 /3气；箱16-的坐标是(,石)，再根据双曲线的
18、对称性得点n、 5、(1)(21)(2) S = b23x2 y26、解：设椭圆云+反=1 ,半焦距为c,则PF】 PF? = 32所以y =16代入双曲线的方程得:一, 3*1 16、 p的坐标还可以是(-一-，w)c = ! 3，5 c 必a = 2,a 2 b 2 = 3a 4 = 4，_ r x 2n 椭圆方程为丁 + y2 =1.设b 2 = 1.4I a 2椭圆上的点为P(2 cos0, sin0 ) . P 到直线2x + 3y + 8 = 0的距离,4 cos 0 + 3 sin 0 + 8 5sin(0 +9) + 813d = 0, B 。, A。B），将已知点的坐标代入得
19、：怕+ 4 5. 1 _ 1x 2 y 2所以入=4 B = 0即所求的椭圆方程是：习+武1(2)x2一x 2解:因为所求双曲线与已知双曲线彳-，有相同的渐近线，设所求的双曲线的方程是彳-y 2琴，将点13144 169254y 2 x 2 .（12, 5）代入得寸一丁等,所以*3，所求的双曲线的方程是：会一方=】。(3)94 解：设抛物线的方程是y2 = kx（k。0）或x2 = ky（k。0），那么：9 = -2k，k =-或4 = 3k， k =94所求抛物线的方程是：y2 =-5x或x2 =wy。(4)x 2 y 2 一2 y 22 x 241= 1 或一.+ = 1 ；20 8241
20、 + 23 0时，焦点坐标为（+三竺,0），由焦点到渐近线距离为3得k=9,，小，2 3k、, _ _ ,_当k0时，焦点坐标为（0,土一3一），由焦点到渐近线距离为3得k=27x 2y 2y 2 x 2所以所求双曲线的标准方程为5 -土- = 1或*y -亏=1（也可利用双曲线焦点到渐近线的距离为b求解）x2 y2解：方+玄=1128点拨：本题根据椭圆的定义和等边三角形的性质解答。由椭圆的定义得：PF+PF =2。，又因为P哲是等边三角形，所以”g |=|pQ ，；3 lPFl，即 3 辨 I = 2c = 4,|Pg| =兰3 , PF = 2 |PF| = A , 122ii13213-
21、 4/3 8/3. L 一 L 一一 一所以 2a = |PF | + |PF | = - + = 4后,a = 23，所以 b2 = a2 -c2 = 12-4 = 8，所求的椭圆的标准X 2 V 2 方程是+ = 112 8_ V2X2一8、解：由共同的焦点*-5), f2(0,5)，可设椭圆方程为福+日=1 ；V 2 X2_ 169双曲线方程为b + 25-b2 = 1点尸(3,4)在椭圆上，云+方刁=1,a2 = 40八b b双曲线的过点P(3,4)的渐近线为V = , x，即4 = .x3,b2 = 1625 - b 225 - b 2V 2 X2V 2 X2所以椭圆方程为40 +存
22、=】；双曲线方程为希+/1一 V 2 X29、解：当k 0时，曲线-=1为焦点在V轴的双曲线；4_ 8k当k = 0时，曲线2v2 -8 = 0为两条平行的垂直于V轴的直线；X 2 V 2当0 k 2时，曲线 +育=1为焦点在V轴的椭圆。48k10(1)解:抛物线V2 = 8x的准线方程是x = -2，那么点P到焦点F的距离等于到准线x = -2的距离，作PD 准线x = -2，垂足为D，那么|PM| + |PF| = |PM| + |PD| = MP +|PD|，所以当点M，P，D三点共线时， PM| + |PF|的值最小，即用点M的横坐标减去准线方程的数值得：2-(-2) = 4，所以|P
23、M| + |PF|的最小值99是4。此时点P的纵坐标为3，所以横坐标是9 = 8x， x =，即点P的坐标是(6,3)。88兀(2)解：-点拨：利用抛物线的定义和平面几何的知识解题。设准线z与X轴的交点为K,那么，ZAFA =ZAAF，又因为 AA X 轴，所以 ZAFK = ZAAF , ZAFA =ZAFK ,同理可证 1111111 一， 兀ZBFB =ZBFK，所以ZAFB = ZAFA + ZBFB =-11111121一8b 3,511、(1)解：当双曲线的焦点在X轴上时有一=丁，又c2=a2+b2,解得e=a 44 , ,、上， 一 a 3,5当双曲线的焦点在j轴上时有 = 4，
24、又c2=a2+b2，解得0=3(2) 巨(3) C4, C3, C1, C2(4)解：设 IPF=m,则由题设得 IPF=t2m, 2c =IF F l=m,由椭圆第一定义，得 2 a =|PF I+IPF 1=；2 + 1)m211 212(5)由已知得”=2p,c = P，则 b2=2ac,.a2-c2=2ac,.1-e2=2e,即 e+2e-1=0,则 e=/2 -1 a2(6)12、（1）分析：要求m的取值范围，首先需要导出相关的不等式，由题设知，椭圆方程为第一标准方程，因而 这里应有状+ 11o状且/=刑+ 1=1,普=酬，幽0便是特设条件中隐蔽的不等关系.设F、F2为椭圆的左右焦点
25、，贝F、F2分别为两已知圆的圆心，则|PQ| + |PR| N(|PF1|-1 ) + (|PF2-1 |) = |PF| + |PF2|-1N9,故应填 9.b 2.(x2 + 2j)=max一 + 4,0 b 4、，一 24 2b2法一：由题意x+2y=-丘y+2y+4，而ye -应,对称轴为y= .此题分大标准为对称轴与区间的关系， 法二：解：设点 P(2cos 0,bsin0), x2 + 2j = 4cos 2 0 + 2bsin0 = -4sin 2 0 + 2b sin0 + 4b令 T = x2 + 2 j,sin 0 = t,(1 t 0)，对称轴 t =4bb当彳 1,即b
26、 4 时，T = T I 1 = 2b ；当 0 1,即0 b 4 时，b 2广 才+42+2y)max =，b 2+ 4,0 b 4（4） 2面13、(1) (2) (3) (4)14、把双曲线平移到y = 1,在其上取一点3 ,y ) ,3 0,y 0)，则刁=y ,d =尤，d = xx 2 + y2 ,x000010203*00d + d + d = x + y + ：x2 + y2 = x + + x2 + 2 + 2，当且仅当x = y 时等号成立.12300.000 x X 0 x 2000015VB1C1平面ABBA, PB1XB1C1，由于动点P到直线AB的距离d等于IPB1I,即I PB11= d，故动点P 的轨迹为侧面ABBA上以B为焦点，AB为相应准线的抛物线。
