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1、吴正宪老师的八大特色课堂之五纵横联通的简洁课堂整理：高建中数学教育的价值，在于促进学生全面、和谐、可持续地发展。从八十年代初 期的传授知识、启迪智慧、完善人格到课程改革背景下践行的“让学生在好吃中 享受有营养的数学教学”，吴老师作为一个儿童数学教育工作者，始终站在以数 学教学促进儿童发展的高度，遵循促进学生生命成长之道，在小学数学教学领域， 进行着长期地探索与实践，为儿童建立了纵横联通美妙的数学课堂，让儿童在成 长过程中，享受着数学的滋养。今天，就请大家和我一起走进吴正宪老师给学生提供的好吃有营养的八大特 色数学课堂之五：纵横联通的简洁课堂。什么是纵横联通的简洁课堂呢？纵横联通的简洁课堂是吴老
2、师课堂教学艺术的又一个显著特色，是她几十年 来不懈追求的理想课堂境界之一。她以辩证唯物主义的哲学视角审视数学教学， 不但通过重新组建的知识体系让学生学习系统化、结构化的数学知识，努力将教 材的知识结构转化为学生的认知结构，而且努力探寻知识间的内在联系，以及蕴 含其中的方法论因素，适时地引导学生沟通知识间的内在联系，让学生将发展变 化中的数学知识连成知识链，构建成知识网，形成脉络清晰的立体知识模块，在 不断地完善学生的认知结构的同时，让学生获得认识事物的普遍方法。提到纵横联通的简洁课堂，我们首先想到的就是吴老师的数的整除-复习 课。课改背景下的复习课，究竟应该怎么上，吴老师作为一个研究者，带着众
3、 多一线教师的困惑与期待走进了北京的课堂，走到了湖南长沙，走进了全国小学 数学教师代表中间，用她的激情和智慧，演绎了一节节精彩的数的整除-复习 课，让孩子们恋恋不舍，让老师们久久回味，努力探寻其中的奥秘。让我们先听听孩子们的声音吧：口 一节课整整40分钟了，“太快了！ ”，“还没有回过神来就已经下课了。”“感 觉还不到5分钟呢！ ”“意犹未尽” ！口 “在课堂上，我感受到了前所未有的热烈气氛！”口 “一开始，我觉得好紧张，那么多知识点好难，后来，我发现容易了，的确是很好的学习方法。”口 “吴老师谢谢你给我们带来了这么多快乐。我还学学会了在做各种事情上， 要从各个角度想问题，要像蜘蛛网一样网起来
4、。”口 “看问题不要只看表面，还要从多方面考虑，看它们内在的关系。”口 “以前我认为学习数学像在地狱里一样生活太枯燥、乏味，可没意思了。现在我认为只要理解了，学习数学就仿佛身处美丽的公园，现在我也从思 想上对数学有了巨大的改变，我喜欢上数学课了。”口 “这堂课对我的帮助很大，我不但学到了新的知识点，而且给了我很大的 启发，那就是学习要掌握方法，才会学得又快又好，否则就会就会事倍功 半，这使我对学习产生更加浓厚的兴趣。那张网络图深深地印在我的脑海 中，和吴老师的身影一起，让我们永远也抹不掉。”口 “您知道吗？您那灿烂的笑容就给我了很深的印象。”口 “吴老师，我发现今天不仅被你的美丽吸引过去了，而
5、且还被你这种讲课 的思路吸引过去了。”这是数的整除-复习课后孩子们久久不让吴老师下课的场景，一节40分 钟原本感觉可能是枯燥、乏味的数的整除概念复习课，学生为什么感觉太快了， 而意犹未尽？为什么会从中感受到前所未有的热烈气氛？为什么会让学生产生 了学会了在做各种事情上要从各种角度考虑问题，要像蜘蛛网一样网起来，看问 题不要只看表面，还要从多方面考虑，看它们内在的关系？如此深刻的感悟，为 什么能够让孩子从地狱一般的数学课到学习数学仿佛身处美丽的公园这样巨大 的改变？学生为什么会说那张网络图深深地印在我的脑海中，和吴老师的身影一 起让我永远地忘不掉？是什么让学生觉得课由难变易了？ 50多岁的吴老师
6、灿烂 的笑容为什么能给孩子留下很深的印象？十多岁的孩子为什么被她的美丽吸引， 吸引孩子的美丽是什么？孩子心中的美丽究竟是什么样子的呢？如此简单的数 学内容让吴老师演绎的如此生动深刻，这里面究竟蕴藏着怎样的奥秘呢？带着这些追问，让我们穿越时空的隧道，探寻吴老师进四十年的课堂教学研 究与实践的历程。课程改革背景下，吴老师的课之所以到了炉火纯青的境界，我们不难找到其 历史渊源，那就是八十年代初期的“小学数学归纳组合法实验”。其实“小学数 学归纳组合法实验”正是吴老师教育教学改革思想的萌芽，正是这段宝贵的数学 改革经历为她今天教育思想的形成和教育艺术的日臻成熟，奠定了理论和实践的 基础。那么，怎样为孩
7、子们构建纵横联通的简洁课堂呢？亲爱的教师朋友们，今天我们就一同沿着吴老师教学改革的足迹，追寻吴老 师成长的脚步。通过对吴老师的“小学数学归纳组合法实验”的解读，以及对她 的渗透了哲学思想的艺术课堂的赏析，探寻吴老师这一教学特色背后的思想和理 论基础，直观感受吴老师纵横联通的简洁课堂，感悟吴老师促进生命成长理念下 纵横联通的简洁课堂给儿童可持续发展带来的后劲。相信大家会从中汲取更多的 营养，获得更深地启迪。一、梳理儿童心中的数学一在沟通中构建联系吴老师凭藉着深厚的教育哲学积淀和独有的教育智慧，为孩子们创造了纵横 联通的简洁课堂。在整套教材层面，她通过“六条龙”教学使学生认识一个个纵 横联通的知识
8、体系，使数学知识结构化、系统化，从而将教材的知识结构转化为 学生的认知结构；在单元教学结束后，她引导学生构建一个个纵横联通的知识网 络，使数学知识变得脉络清晰、简单明了，从而将一个个零散的孤立的知识纳入 到学生原有的认知结构中去；在课时教学层面，她努力挖掘知识间的内在联系， 使学生在运动的状态中学习发展变化的数学知识，在不断地完善学生的认知结构 的同时，感悟初步的辩证唯物主义的思想方法。在这样的课堂上，孩子们不仅仅 获得了概括化程度高，可利用度大的认知结构，更让孩子们学会了聪明地学数学， 变通地学数学，吴老师的学生从她的数学课上获得的不是一般意义上的聪明，而 是一种大智慧！（一）给学生栽种一棵
9、棵知识树一知识中有结构吴老师有这样一句话：“心中有棵树，教学才有术。”这里的“树”是知识树， 是吴老师对小学数学教材的整体理解与把握。课堂教学实践中，我们经常看到一 些“只见树木不见森林”的教学现象，原因就是有些教师缺乏对教材整体把握的 意识和能力，不顾教材的知识体系，不管学生认知结构的形成，从而形成了低效 课堂造成了学生的低效学习。其实，整体把握教材是一个老生常谈的话题，但是 要想真正做到却又不是轻而易举的事情。吴老师早在20世纪80年代初期的“小学数学归纳组合法实验”中，就针对 当时教材的重复性与割裂性的弊端，打破原有教材的编排体系，根据知识的内在 联系把小学数学教材的内容进行重新调整，整
10、合成六大知识体系，简称“六条龙” 实验，让学生学习系统化、结构化的知识。也就是说“六条龙”教学是“小学数 学归纳组合法实验”教学的一部分，下面我们就简单介绍一下吴老师八十年代初 期的“小学数学归纳组合法实验”。培养什么样的人才，才能适应三个面向的要求和时代的发展，这是八十年代 初期迫切需要解决而不容回避的严肃课题。作为数学教师，在教学实践中，应该 做出怎样的回答，吴老师曾为此进行过苦苦的思索，她深深的认识到，现在的小 学生就是跨世纪的一代，他们应该是具有创造志向和创造才干的一代新人。而创 造的前提是思维的准确、敏捷、灵活和独创。数学教学过程是思维的过程，数学 是做思维的体操，担负着重要的任务。
11、光凭着题海的战术，加班加点增加负担， 只能应付考试。如何把学生从过重的负担下解放出来，激发他们学习数学的兴趣， 教给他们学习数学的方法，从而达到加强基础，培养能力，开发智力的目的，并 在最短的时间内追求最大的教学效益呢？强烈的责任感促使吴老师很快投入到 小学数学教学改革中去，开始了小学数学归纳组合法实验。这就是当时实验的背 景。在收集整理吴老师的小学数学归纳组合法实验的材料和教学笔记时，我们惊 喜地发现，她深谙教育的功能，对祖国的未来负责，以学生的发展为本，早已经 成为她小学数学改革的出发点。她有着明确的理论指导实践的意识，系统论、唯 物辩证法早已成为指导她小学数学教学改革的理论基础。她是在科
12、学地教学观、 教材观、学生观、评价观点指导下进行儿童数学教学的探讨与实践的。吴老师以 系统论为指导，抓住了教学改革这一系统内的各个要素及其联系，从关键要素入 手，根据数学知识的内在联系和学生的认知规律，重新组合教材，教学中努力为 学生创设愉悦和谐的教学情境，她的归纳概括等十几种思维训练课、操作质疑等 教法与学法的改革，让课堂上常常出现学生兴趣浓厚，思维活跃，爱学会学的动 人场面。笔试+口试+操作的考察形式，A卷考双基，B卷考口试操作等内容的考 试改革，为此次改革保驾护航。这种涉及了教材、教法、学法、考法的全方位改 革获得了巨大的成功，引起教育界较大的关注。今天我们重温的小学数学归纳组 合法实验
13、，仍然对新课程改革具有重要的指导意义。那吴老师究竟是怎样从教材入手进行改革的呢？吴老师细致分析教材的弊端，发现这些教材从知识的角度上都存在着重复性 和割裂性。比如分数应用题与百分数应用题，在解题思路上是一致的，具体计算 上也只是形式不同，实质一样。面积这部分知识，本身是一个整体，却被分割在 不同的教材当中，根据这样的教材实施课堂教学，造成了教学的重复和对知识的 零敲碎打，在一定程度上，削弱了知识的整体性、系统性和条理性。数学属于自 然科学的范畴，而自然科学中是充满了唯物辩证法的，唯物辩证法的核心是对立 统一规律，这在教学中比比皆是。比如加与减，乘与除，正比例与反比例等等。 衔接性强是数学学科的
14、特点，这是由数学知识本身决定的。保证知识本身固有的 联系，既体现教材的科学性，也符合学生认识事物的规律性。因此，吴老师以教 育学、心理学、逻辑学、系统论和认知论为指导，以对立统一规律和知识本身固 有的联系为依据，大胆进行尝试，针对当时教材重复性与割裂性的弊端，打乱了 原有教材的编排体系。为了建立完整的数学知识结构，根据知识的内在联系，把 小学数学教材第九至十二册的内容进行重新调整和组合，整合成六大知识体系， 简称“六条龙”，即：面积教学一条龙；体积教学一条龙；分数四则计算一条龙; 分数百分数应用题一条龙；数的整除一条龙；正反比例一条龙。吴老师的六条龙教学早已成为我们小学数学教学的宝贵财富。今天
15、我们就一 同赏析吴老师的面积教学一条龙。吴老师把分布在不同年级教材里的平面图形根 据知识的内在联系，构建了如下的面积教学一条龙。这条龙的教学重点是抓一种行知联系，将这些图形的面积串在一条线上来学 习，即紧紧抓住长方形这个基本图形，通过学生动手拼摆、旋转、平移，一步步 地推导出与长方形有密切联系的其他几种图形的面积公式。这样，把前后有联系 的知识相互沟通，让学生的思维在新旧知识的连接点上展开，使学生在观察、转 化、推导中获得条理化、系统化、整体化的知识结构。条理化。通过这样面积的一条龙教学，吴老师帮助学生栽种了一棵有关面 积知识的树，通过这棵树，让学生认识到知识是有结构的。这种结构具有整体性，
16、以长方形为主干，派生出正方形、平行四边形（三角形、梯形）、圆形（扇形） 这样一棵枝繁叶茂的大树，它们相互联系、相互作用、相互制约；这种结构是有 序的，从核心到外围，长方形面积一经掌握，那些与长方形面积有关的各种图形 的面积就都可以由长方形面积公式推导出来，从而突出了核心知识的作用。可以 牵一发而动全身，这种结构是有通理通法的。即这些平面图形面积大小，都与它 们的底和高有关。同时认识到尽管知识间具有共通性，也具有差异性。数学是求 通的，数学的本质是探索关系，即数学强调联系，探索规律。系统化。通过这样面积的一条龙教学，使学生获得的不仅仅是平面图形的 面积公式，而是比公式更高的，更具有概括性知识的认
17、知结构。学生有了面积“一 条龙”这样的学习经历和经验以后，便可以顺利地进行迁移一一实现体积“一条 龙”的学习，形成了有关体积的认知结构。将形与体的知识沟通，进而又建立起 形与体两个知识体系之间的联系。学生们的学习是系统的、结构化的。通过这样 的学习，学生便建立了整个小学数学有关形体知识的认知结构。感悟的是数学知 识本身有着它自身的规律，繁杂的数学知识体系中有它的独特结构；感悟的是数 学知识结构的整体美；感悟的是整体的观点，联系的观点，发展的观点，变化的 观点，受到了辩证唯物主义的启蒙教育，收获的是一种哲学智慧！简约化。吴老师的“六条龙”使小学丰富庞杂的数学知识变得简约了。简 单是极致，最简单的
18、往往是最本质的，简单中蕴涵着不简单。她的复杂便是简单， 变学生的厌烦为喜欢，变学生的苦学为乐学，在简单中经历了观察、操作、猜想、 验证、交流的数学学习过程；在简单中体验到了数学知识的本质和知识之间的内 在联系与规律；在简单中感悟了转化、比较等数学思想方法用新课程理念来 历史地看吴老师的“六条龙”教学，这正是吴老师对三维教学目标的直观诠释。亲爱的教师朋友们，早在二十世纪八十年代初期，吴老师就用“六条龙”教 学将小学十二册教材进行了系统的梳理，帮助学生栽种了一棵棵知识树，让学生 学习系统化、结构化的数学知识，将教材的知识结构有效地转化为学生的认知结 构。“六条龙”教学使吴老师“传递知识、启迪智慧、
19、完善人格”的教学理念得 到落实，从而为学生的数学学习注入了可持续发展的力量。挖掘吴老师“六条龙”教学的理论支撑，原来就是布鲁纳的学科基本结构理 论。布鲁纳认为学习的实质是一个人把同类事物联系起来，并把它们组织成赋予 它们意义的结构，即知识的学习就是在学生的头脑中形成学科的知识结构。学生 理解了学科的知识结构，就容易掌握整个学科的具体内容，就容易记忆学科的知 识结构，就容易掌握整个学科的具体内容，就容易记忆学科中的知识，就能促进 学习迁移，促进儿童的智力和创造力的发展，并可提高学习兴趣。这样，我们就 找到了吴老师当年的小学数学归纳组合法实验中取得惊人成绩的理论基础。六条龙教学使吴老师“传递知识、
20、启迪智慧、完善人格”的教学理念得到充 分的落实，为学生的数学学习注入了可持续发展的后劲！儿童在一棵棵知识树下 享受着数学的绿荫！（二）帮学生构建一个个网络图一一知识间有联系“数学知识是一幅立体的、有主有从的、活动的、延伸的、丰富多彩的美丽 图画疽吴老师曾经这样对她的学生说：“我们每人手里都托着一个盘子，每次获 得了一个新知识，盘子里就多了一颗珍珠，知识获得越多，珍珠的数量就会相应 增加。如果你们不学会整理，把它放在盘子里就如同一盘散沙，没有太大的价值。 只有把这些珍珠按照颜色、形状去穿成美丽的项链，才会价值连城。”因此，学 生每到一个学习阶段，吴老师都要求学生把学习过的数学知识在脑海中像放电影
21、 似的回忆一遍，让学生用“自己的知识经验进行建构，把孤立静止的数学知识联 系起来、活跃起来”。让学生体会“整理丰富庞杂的数学知识，如同用一条彩带 去编织五彩缤纷的数学世界，在编织的同时，又甩出无数条彩带，无论提起哪一 条都能继续编织”。数的整除这部分内容是分数教学的基础和铺垫，它是小学数学教材中概念最 集中的一个单元，被教师们形象地誉为小学数学教学的文言文。教学实践中老师 们发现，尽管学生学习时是按照概念之间的内在联系，分节、成组、有序学习的， 但是，学完本单元之后大大小小十几个名称相近、意义易混的概念放在一起，的确会让不少学生感到困惑。因此，吴老师除了为本单元专门构建了一条龙，把易 混的概念
22、、方法放在一起教学以外，在单元教学结束后，吴老师还帮助学生构建 知识网络，让学生抓对立、清异同、 悟联系。让我们一同走进吴老师数的整 除复习课。上课前，吴老师将数的整除单元 的十多个重要概念写在一张张纸条 上，并把纸条零零散散地贴在黑板 上。短短的40分钟，黑板上凌乱的十几张纸条变成了一张整洁美观、结构清晰、 关系明确、纵横联通的数的整除知识网络图。最小公倍数深最大公这数课，我们可以发现：这节课简单中蕴含着不简单。简单的教学情境。十几张写着数的整除重要概念的纸条散贴在黑板上。此时 没有美丽的画面，没有动听的音乐，没有教师激昂的导语，只有这些散落在学生 记忆中的概念跃然眼前。学生看着黑板上的纸条
23、，或者寻找着各自感兴趣的概念， 或者迅速搜索记忆中概念的表述或意义，或者勾画着概念间的联系。未曾上课已 上课，此时无声胜有声，学生记忆的闸门已经打开了。无声的情境下是学生火热 的思考。简单的课堂环节。整节课是经典的三大段：出示整除相关概念，学生自主分 类一在汇报中梳理知识，形成知识网络一在梯度练习中获得解决问题的方法。总 之，干净利落，简洁明快！简单的教学手段。除了练习部分，吴老师没有用多媒体课件，简简单单的十 几张纸条在黑板上随着学生的交流、辩论甚至是争论在移动，从自然的位置移动 到该属于它自己的位置上去，移动到它的网络结构中去。不简单的教学过程。上课伊始，吴老师布置任务。同学们，我们已经零
24、零散散地学习了一些有关数的整除的概念（吴老师指 着散贴在黑板上的纸条上的概念）。我们的第一个任务就是先独立思考，再讨论， 看看哪些概念之间是有联系的，把有联系的概念用线连在一起，整体看看关于数 的整除这个部分，我们到底应该掌握哪些重要的基本概念。”三言两语，让学生明确了学习内容、过程、方法和目的。交流进程中，吴老 师以“牵一发而动全身”的教学思路引导学生把诸多易混易错的概念进行了精细 的梳理与辨析。片段一：当学生提出自己所谓的起始概念时，吴老师不急于否定，而是适时 适当地参与其中，让其他学生发表不同意见，产生交锋，再引导学生展开辨论。当第一小组学生从字面意思理解，整理出一组不关联的概念时：师：
25、（带着思考的表情疑惑的语气问）为什么把质数、质因数、互质数、还 有分解质因数这四个概念放在一组呢？”生：（理直气壮地说）因为这四个数中都有质数这两个字”。师：（加重语气他们说因为这里面都有质数， 所以有联系，是这意思吗？”生：（后边的女孩子一个劲儿地反对，迫不及待地脱口而出我不同意，找 数学概念之间的联系不能仅从字的表面理解! ”师：（吴老师频频点头，同学们有所悟 吴老师顺势引导）这位同学不 同意这样的分法，有道理吗？”同学们纷纷议论着. . 教师不露声色，留下空间. . 讨论继续进行。片段二：当学生出现了不完整的构建、出现了片面的认识时，吴老师不急于 告诉，而是放慢速度，耐心等待，巧妙引导，
26、适时地“退下来” “该出手时就出 手”。学生没有完全唤起已有知识，只能想到整除下面的一个概念因数” 及由此派生的概念时，吴老师根据学生现场情况，改变了教学预设，抛出了一个根本性 的问题：师：,什么叫整除？能举个例子来说明吗？”学生依然沿着因数的思路说下去。师：（不紧不慢地）,这位同学说当6能被3整除的时候，3就是6的因数， 没错，3是6的因数，还可以”放慢语速，给足学生回忆的时间生：（一男生抢答），6是3的倍数。”师：（吴老师轻轻地抚摸着那个男孩的头，一字一顿地）“看来在整除的前提 下，会自然地产生一对概念。”吴老师依然在等待学生唤起知识。生：（一男生霍地站起来，有些急促地）“每一个整除就会产
27、生一组因数和倍 数，他们只找了因数，倍数也应该跟他们有联系：众学生若有所思，频频点头。师：（吴老师欣喜地）“好，请你们根据刚才的讨论把这组概念整理在黑板上。”该组学生一边说着，一边在黑板上选择相关的概念组合在一起。首先找倍数, 然后是公倍数，然后是最小公倍数。师：（加重了语气）“这个同学的思考更深入了一步，他发现在整除的前提下， 就会有一对概念产生，一个叫做因数、一个叫做倍数。”此时，黑板上已经出现两组学生整理的结果。“整除”只管这条线吗？整除因数倍数II公因数公倍数最大公因数最小公倍数师：（望着黑板，看似自言自语地说）“这个整除到底是管谁的？刚才那位同 学说是管因数这一组的。”众生：,不对！
28、应该两个都管。”一生抢答。师追问：“管谁？”众生抢答：,既管因数，也管倍数。”，只要能整除就会有因数和倍数。”师：（放高音调）“太好了，看来整除得一手托两家啊（做出一手托两家的动 作）!”，怎样才能表现出它们之间的联系？”众生：（急切地）,中间！”，放在中间！”此时，黑板上的整理如下。“整除”一手托两家啊！整除因数倍数公因数公倍数VI最大公因数最小公倍数是这样吗？是这样！学生的学习已渐入佳境。此时，吴老师用欣赏的目光看 着同学们整理的结果，发自内心地 赞扬：,太妙了！这么一整理，就越 来越清晰了。我们清楚地看到在整 除的前提下，产生一对重要的概念 因数和倍数，以及由因数和倍数各 自引出的一串概
29、念。”随着讨论的步步深入，学生将整除、因数、倍数这一组相关联的概念建立起 联系。此时，学生对数学概念的认识不再是孤立的。片段三：当学生经过自己的独立思考交流辩论将那些散落在黑板上的十几个 概念根据它们之间的内在联系连成线编成网，看到黑板上那纵横交错的网络图 时，吴老师又引着孩子们欣赏自己的劳动成果，画龙点睛。师：,同学们，俗话说，书越读越薄就是这个道理。过去我们零零散散地学习了这么多概念（加重语气，指着黑板），经过摸象一一说象一一成象一一抽 象这样的学习过程，我们把它们整理成一个比较系统的有关数的整除单元概念 的一个网络图！”（提高语调再指黑板）。接着吴老师又引领学生回忆整个学习过 程体会,新
30、盲人摸象”的故事。学生若有所悟。课后，在吴正宪小学数学教师工作站团员的采访中，学生采用不记名的电子 反馈器，所有学生按动手中的遥控器，会场上瞬时间鸦雀无声，当大屏幕上出现 打分结果时，会场上响起了长时间的掌声孩子们给吴老师打的分（中国教育办刊社在北京史家小学组织的“吴正宪和她的数学团队”活动）就这样，吴老师在这节数的整除 概念复习课上，一个综合性的开放题， 让学生人人经历了梳理、自主建构知 识网络的过程。把归纳整理的主动权 还给了学生，最大限度地发挥了学生 的创造性。吴老师引导着孩子们唤起 记忆构建联系，合作交流头脑风暴“是这样吗，为什么？ “你同意他的意见吗？” “你是怎么想的？ ”吴老师轻
31、轻的追问把学生引向了更深刻的思考，更激烈的辩 论，更深层次的辨析，更清晰的结果，学生相互交流，相互提问，相互启发。随 着吴老师一次次的追问，一次次适时的引导，随着学生一次次的思维碰撞，学生 记忆中的那些孤立的、分散的、无序的、认识模糊的概念，以再现、整理、归纳 等办法，串成了线、连成了片、结成了网，纵横沟通，形成了条理化、系统化的 知识网络，从整体上理解和掌握了知识之间的内在联系，感受了数学知识的逻辑 性和系统性！就这样，孩子们经历了由模糊到清晰、由疑惑到顿悟、由割裂到联 系、由片面到全面、由感性到理性的认识过程。就这样，孩子们收获了思维的碰 撞、方法的启迪、交流的魅力、顿悟的欣喜、收获的欢欣
32、！真正“实现了知识在 建构中增值，思维在交流中碰撞，情感在活动中融通!”这就是浓缩了吴老师全部的职业经历、学识修养、专业智慧和教育精神的为 儿童创造的好吃而又有营养的纵横联通的简洁课堂！这样的魅力课堂留给孩子们的不仅仅是散乱的一黑板纸条变成了美丽的纵 横联通的网络图的印象，也不仅仅是师生交流中那种头脑风暴留给他们的美丽记 忆。吴老师的魅力不仅是她美丽的气质洋溢全身的对每个孩子的尊重与喜爱，更 是她让孩子们的数学学习变得如此美丽，如此幸福！她让孩子们的生命过程经历 了这样美丽的一刻幸福的一刻!吴老师给孩子们留下的是对数学本质的理解，是 对数学课堂乃至对数学学科的喜爱，是认识事物的方法。知识发展的
33、无限性和个 人学习时间的有限性之间永远是一对矛盾。从长远和发展的观点看，教学尤其是 数学教学就是要通过老师的教，不仅要让学生学会数学知识，更重要的是学会如 何学习数学的本事!从做数学的本事中学习做事的本事!这就是数学教育的真谛！单元教学结束后，老师们都在引导学生复习整理沟通联系，我们的课堂是一 种怎样的状况？我们的教学是一种什么样的效果？为什么吴老师的课如此重？ 如此大气？让我们在反思中学习借鉴。（三）导儿童看一个个数学现象数学里有方法论从吴老师纵横联通的简洁课堂中我们感受的是：纵横联通是一种气势磅礴的 壮美！简洁是一种展现本质的精美!纵横联通的网络、错综复杂的联系，安全的 构建交流环境、看似
34、缓慢平静的交流背后是学生火热的思考、理性的质疑和释 疑慢慢的连点成线、连线成网，慢慢的品味出联系、品味出简洁、品味出兴 趣，孩子们被吴老师美妙的数学课堂所吸引而“意犹未尽”，孩子们感悟到“数 学知识结构的整体美、数学概括的简洁美、数学思维的哲理美、数学知识本身的 内涵美、联系美 ”！从吴老师那一节节录像课、一个个教案、一本本课堂实录中让我们看到的是： 吴老师以唯物辩证法为指导，在组织知识网络的过程中，挖掘教材中的辩证唯物 主义思想教育因素，并据此确定教学目标，课堂上有效实施，引导学生从一个个 数学现象中感受数学里的方法论。根据联系构建知识网络。教育心理学研究表明：掌握合理的知识结构，能 够迅速
35、内化新知，使其牢固地保存在记忆中，并形成新的知识网络。一个人一旦 形成严谨的知识结构，就容易对新知识进行比较、区分，将新的知识与已有的知 识联系起来，把新知识放到一个适当的地方保存起来，新知识就会与脑中已有的 知识发生联结，组成功能更强、层次更高的知识网络，使新知识获得新的意义， 使知识不断积累、升华，再生出更高的认知结构。合理的知识结构能使人迅速提 取大量的信息。因此，吴老师深入钻研教材，整体把握教材，除了 “小学数学归 纳组合法实验”中提到的六大知识体系以外，还认真研究不同层面数学知识间的 内在联系，构建纲举目张的知识网络。挖掘方法论因素确定教学目标。吴老师总是将备课中挖掘的方法论因素作
36、为重要的教学目标。翻开1993年版的吴正宪小学数学教案课堂纪实选一书， 有很多教案都有这样的教学目标。比如，按比例分配应用题教学目标（三） 沟通按比例分配应用题与归一问题、分数应用题解法之间的内在联系，向学生渗 透事物是普遍联系的观点；正反比例应用题教学目标（三）：培养学生用辩 证唯物主义,事物是普遍联系”的观点分析问题，清楚正、反比例应用题与归一 问题、倍比问题、归总问题之间的内在联系，学会用,对立统一”的观点看问题； 长方形和正方形周长的计算教学目标（三）：向学生渗透,变中有不变，不 变中有变”的辩证思维，使学生初步学会,透过现象看本质”的思考方法。此外， 实践的观点、矛盾转化的观点等等都
37、出现在吴老师教案的教学目标中。根据教学目标选择恰当的教学方法。在吴正宪小学数学教案课堂纪实选 一书中，许多教案都有专门的“教法说明”。如比例尺教法说明：本节课采 用,整体呈现一一分析关系一一分步突破一一归纳整理”的方法进行新课，在学 生理解,比例尺”意义的基础上，将求,图上距离”、“实际距离”的题目同时 呈现，让学生从三方面认识和理解三量之间的关系，使,比例尺”教学形成一个 完整的知识体系；又如，小数的意义教法说明：本节课以抓住知识间的内在1联系为突破口，从学生熟悉的事物中导入新课，在学生理解,一角=仍元=0.1 元”的基础上，揭示整数分数及小数的内在联系，从而加深对小数意义的认识。课堂小结时
38、画龙点睛感悟方法。在吴老师的许多课的结尾处，她都带领学 生总结全课内容，从中提炼本节课蕴含的方法论因素。在比例尺教学即将结 束的时候，吴老师问：,比例尺、图上距离、实际距离”这三量之间有什么关系 呢？（一乘两除），根据学生的回答板书三个关系式，用大括号标出三量之间的 关系。此时教师顺势小结：,通过今天这节课的学习，同学们不仅学会了比例尺 的知识，还应该学会全面看问题的方法，要善于从一个事物的不同角度观察分析 事物。”又如：约分和通分的课尾小结：,今天这节课，我们利用分数的基 本性质，学习了约分和通分的知识。约分是分数基本性质分子、分母同时 缩小相同倍数，分数大小不变知识的应用，通分则是分数基本
39、性质分子、 分母同时扩大相同倍数，分数大小不变知识的应用，这两个侧面合起来就是分 数基本性质的全面体现，它们之间是互相联系的，是一个完整的知识网络。同学 们不仅学会了约分、通分的知识，还要学会全面地看问题的思考方法。”纲举目张的板书设计体现联系。吴老师的板书不仅具备一般板书的功能， 更能让我们从板书中看到她的独具匠心，看到她对“联系”的直观解读。让我们 从她那发黄的教案选中截取一个来欣赏。约分和通分板书约分和通分“ 分数的基本性质 f同缩同扩1I约分通分|_23 _ 3x3 _9$34-43-12盅 355x210466x212用分子和分母的公约数（零除外）去求出原来几个分母的最小公倍数，除分
40、子、分母；通常要除到得出最简然后把各分数化成用这个最小公倍分数为止。数做分母的分数。吴老师引导学生感受数学里的方法论，突出体现在新课进行中适时地引导学 生比较概括建立联系的问题设计上、课堂小结时的画龙点睛上、互为对照纵横联 系的板书设计上。在教学的关键处带领学生梳理联系，结合具体内容从中提炼本 节课蕴含的辩证唯物主义思想因素，让学生感悟一个个数学现象中的方法。日本数学家米山国藏说过：“作为知识的数学，出校门不到两年可能就忘了， 唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思路和研究的方法等，这些都随 时随地发生作用，使他们终身受益”。可见方法是“使学生获得持久发展的力量”。 丹麦天文学家第谷是一
41、位优秀而精确的天文观测家，以观测的资料丰富而精确闻 名，但他的助于开普勒借助他的资料，运用科学的方法逐步逼近、动中求静 分析概括出行星运动的三大定律，成为天文史里程碑式的巨人“天文历 法者”。可见成功之路的差别实质是方法的差别。没有方法就没有更多的知识， 没有方法就没有更强的能力，没有科学的方法就没有智慧!没有唯物辩证法这样 的通法就没有大智慧！数学是使人变得聪明的学科，只有吴老师这样具有较高哲 学素养，高屋建瓴下的纵横联通的简洁课堂才能真正让学生享受数学的绿荫！新教材以基本的数学思想方法为主线来选择和安排教学内容，发展学生的数 感、符号感、空间观念、统计观念以及应用意识与推理能力，通过数与代
42、数等四 个领域反映数学学习的基本过程以及数学思想方法在处理问题中的地位和作用。 这是新教材总体框架呈现的突出特点。显然面对这样的新教材，对小学数学教师 挖掘教学内容中蕴含的数学思想方法，并在使学生掌握那些最基本、最具概括性、 最具迁移力、智慧含量高的数学知识的过程中引领学生感悟蕴含其中的数学思想 方法的能力提出了更高的要求，让我们从吴老师纵横联通简洁课堂中汲取营养。二、构建学生成长的数学在联系中感悟方法教学的主要任务不是给学生多少知识，而是通过精心组织的知识体系，帮助 学生构建合理的知识结构。因此，吴老师努力探寻知识之间的内在联系与其中蕴 含的辩证唯物主义哲学思想，在不断地完善学生的认知结构的
43、同时，让学生感悟 数学知识之间、数学现象之间、某一个数学知识内部的各要素之间的联系，从而 感悟事物之间的普遍联系性，让学生获得更多的哲学滋养。（一）知识点之间的沟通一一 物是普遍联系的教育心理学研究表明：当教学遵循了知识本身的序列，由浅入深、由简单到 复杂，循序渐进地进行时，学生在获得系统、合理的知识结构的同时，能激发起 由知识本身内在联系而激发起来的求知欲，学生学习的积极性会日益高涨，从而 形成学习的良性循环越学越好玩，越学越有趣，越学越聪明。吴老师很好地 把握了知识点之间的内在联系，适时地帮助学生有效地进行沟通。翻看吴老师的课堂纪实，抢眼的总是那一个个纵横联通的板书设计。我们先 从板书的一
44、部分中感受吴老师精心为学生编织的的网络图。比的基本性质及应用（一种运算）（一个数）（一种关系）5 : 3= 3=5 : 3分子被除数：除数 二分母二前项：后项I I 1商不变性质分数基本性质比的基本性质/ / / 简算小数约分通分求比值化简比除法简洁的五行三列的板书，横向有结构，式子、概念、应用，让我们看懂了这 节课的学习过程；纵向有联系，除法、分数、比，让我们看懂了吴老师引导学生 沟通三者之间内在联系的过程。纵横交织、简简单单、明明白白！让我们从中似 乎看到了学生的顿悟、看到了学生的惊喜、看到了学生从这里开始的新的联 想比的基本性质是学生继比的意义之后学习的一个重要的知识点。其实学生在 学习
45、比的意义时就已经知道了比与除法的关系，在学习分数的意义时就已经了解 了分数与除法的关系。那么对于比的基本性质的学习应该采用怎样的教学才能让 学生很好地建立比的基本性质，建立其与除法商不变的性质、分数基本性质的联 系，并认识到三个性质的沟通实际上就是本质上的联系呢？吴老师在“比的基本性质及应用”中首先确定了这样的教学目标：沟通分数 基本性质、比的基本性质、商不变的性质之间的内在联系，向学生渗透事物是普 遍联系的观点。我们一般教师在确定教学目标时至多能想到的也就是沟通联系 了，而吴老师将其上升到“向学生渗透事物是普遍联系的观点”的高度，这样的 高起点自然就有着对学生来说更高层次的收获！根据教学目标
46、，吴老师将“联系” 作为桥梁，用“联系”统帅教学，让学生通过联系引发猜想进而通过验证获得结 论。第一次沟通:吴老师首先让学生举例说明比的意义，随着学生的回答,两个 数相除又叫做两个数的比”，吴老师在黑板上写出：5：3=5: 3,接着追问5-35等于多少？怎样用分数表示？随着学生的回答完善板书：5-3= 3 =5: 3。当55-3= 3 =5: 3这一关系式直观地呈现在黑板上时，吴老师引导学生将其划分成“除分子法分数比”三个部分，得出一般关系式：被除数-除数=分母=前项： 后项。观察比较三者之间的区别和联系，进而通过填写表格梳理三者之间的关系。第二次沟通:吴老师引导学生从除法商不变的性质、分数的
47、基本性质开始引 发学生猜测,比”是否也应该有这样一个,比值不变的性质呢？”就这样，学生 从关系式产生了联想，继而产生了猜想，接着学生通过验证猜想得到比的基本性 质。之后，立即提出,学习比的基本性质有什么用途呢? ”再次引发学生的联想： 既然除法商不变的性质能够进行除法的简算和除数是小数除法的计算、分数的基 本性质能够化简分数，那比的基本性质又有什么用处呢？学生顺着“化简”这一 思路想开去，猜想比的基本性质也一定具备化简的功能，就这样学生在验证猜想 的过程中，掌握了化简比的方法。整节课紧紧围绕着联系设计并组织教学，两次沟通引发了两次猜测和验证得 出了本节课的核心内容一一比的基本性质和应用。简洁明
48、了纵横联通！学生从联 系中学习建构新知，在联系中完善认知结构。不仅得到了本节课的重点知识，更 重要的是学生经历了这样的知识的建构过程，感受了知识之间的内在联系。在联 系中产生了好奇和兴趣！课即将结束时，吴老师小结：,通过今天这些新知识的学习，同学们看到了 事物总是普遍联系的，不是孤立地存在着。所以同学们要学会用事物是普遍联系 的观点看问题，这样，才能对事物有比较全面的认识。”学生如醍醐灌顶！唯物辩证法的总特征“联系的观点和发展的观点”就这样 随学生的知识学习随学生的认识过程自然地深深地印在学生的记忆里！（二）数量之间的沟通一看问题要全面对立中有统一对立统一规律是唯物辩证法的实质和核心。在小学数学中，充满着对立统一 的内容，如加与减、乘与除、正比例与反比例等。我们仅从吴老师的加减法的 意义及关系教学片段中来感悟她的独具匠心。我们依然从板书开始探寻。联系一目了然加减法的意义及关系例一班有男生24人，女生19人。加法：把两个数合并成一个数的运全班
