三章最佳逼近.ppt

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1、第三章 最佳逼近,最佳逼近问题函数的最佳平方逼近数据拟合的最小二乘法,1 最佳逼近问题,一、函数的逼近方法,关于函数的n次多项式逼近方法,已知有下面的几种:,1.Taylor展式:,如果,误差为,2.插值多项式,同为n 次多项式,哪一个逼近效果更好呢?这时可以建立一个度量标准来进行度量。在所建立的度量标准之下,就可以给出最佳的n 次逼近多项式。,除了用多项式来逼近一个函数f(x),也可以用其它具有某种的特征的函数来逼近f(x),并求出其最佳逼近。,3.最佳逼近问题,给定函数空间X 中的一个子集合,寻求X 中的函数f(x)在 中关于某个度量标准下的最佳逼近元p(x),称作最佳逼近问题。,本章我们

2、主要考虑连续函数空间X=Ca,b上的最佳逼近问题,这时的子集合 可以取为由具有某种共同特征的函数组成,例如三角函数、指数函数、分式有理函数、多项数函数等。,同时,还需要给出连续函数空间上的一个度量标准,下面通过内积给出平方范数。,二、连续函数的平方范数,已知所有连续函数构成的集合Ca,b是一个线性空间,对于Ca,b中的任意函数、,定义实数,可以证明此实数满足性质:,这时,称 为 与 的内积。,(1),当且仅当,;,(2),(3),为函数 的平方范数,,且满足以下性质:,给出了函数的范数,便给出了函数的一个度量标准,在此度量标准之下,就可以找出 在不同函数类中的最佳逼近。下面就来考虑这一最佳逼近

3、问题的解决。,2 函数的最佳平方逼近,一、公式的推导,对于连续函数空间 Ca,b 中的元素f(x)及其子空间,所谓 f(x)在 中的最佳平方逼近,就是存在,使得对于一切,都有:,不等式,说明,所求的,满足等式:,而,(3.2),是由系数 唯一确定的,因此,只要我们求出了满足(3.2)的,就可以求出f(x)最佳平方逼近。,则,也就是说,求出满足等式(3.4)的,等价于求出满足等式(3.5)的。,由(3.5)可知 是n+1元函数(3.3)的最小值点。,而n+1元函数,在区间 上具有一阶连续导函数,因此根据极值原理,在最小值点 处:,而,于是,即,利用内积,可以得到,这是一个含有n+1个变量的方程组

4、,具体形式为:,再写成,矩阵形式为,解此方程组,就可以得到,也就得到 了f(x)的最佳平方逼近:,二、误差估计,最佳平方逼近的误差为,由,可得,对于,于是,最佳平方逼近,的误差为,如果,(3.6),则称(3.6)为 f(x)的在a,b上的最佳平方逼近n次多项式。,*求连续函数最佳平方逼近的步骤*,1.给定a,b上的连续函数f(x),及子空间,2.利用内积,给出法方程组,3.求出法方程组的解,得到最佳平方逼近,4.求出误差,例3.1.求 在 上的最佳平方逼近一次多项式,并估计误差。,直接套用公式:,解:设,令基函数为,则需要求解的方程组为:,这时由,得到,于是得到法方程组,解之得,最佳平方逼近一

5、次多项式为,关于误差,由误差估计式,得到,所求的 应该使下式达极小:,由,关于最佳平方逼近,也可以根据极值原理直接计算,这时,对于最佳平方逼近一次多项式,整理得到,计算积分后,得法方程组,解之得,从而得到最佳平方逼近一次多项式,三、正交基函数的选择,如果我们选择子空间,正交,即,则法方程,简化为,即,容易求得,并得到最佳平方逼近,在区间-1,1上两两正交,试求 在这个区间上的最佳平方逼近二次多项式,并给出误差估计。,例3.2.已知,根据基函数的正交性,得到,解:以 作为基函数,设,从而求得,误差为,本节小结,1.何为连续函数最佳平方逼近多项式?,如何计算连续函数的最佳平方 逼近n次多项式?,3

6、.如何估计最佳平方 逼近n次多项式的误差?,4.练习:试求函数 在区间1,3上的最佳平方逼近一次多项式并估计误差。,5.作业:page 79 3-1,3-2,3-3,3 数据拟合的最小二乘法,当我们得到的实验数据是准确值时,可以用代数插值的方法,求出原函数的近似表达式。,经常由观察或测试可得到 的一组离散数据:,但是,这组离散数据由观察或测试得到,往往并非完全精确,这时如果用插值的方法来逼近,效果就不会太好。,这时可以考虑用最小二乘法进行数据拟合,给出逼近曲线。其特点是:所求的逼近曲线不一定经过这些离散点,但却尽可能的靠近原曲线。Curve01.m,最小二乘法拟合曲线,三次样条函数插值曲线,L

7、agrange插值曲线,一、数据拟合最小二乘法的思想,已知离散数据:,假设我们要拟合的函数为,将 带入则得函数值,由于 的不准确性,在每一个点都会产生一个误差:,我们希望所求的f(x),使得其在每一个 处所产生的误差 达最小。,但这样分别考虑太困难,所以我们应考虑整体误差,应该使,整体达最小。,通过这种度量标准求得拟合曲线y=f(x)的方法,就称作曲线拟合的最小二乘法。,按照以上思想来求出f(x)的拟合曲线,首先需要确定出f(x)所属的函数类,然后进一步求出具体函数,具体按照以下步骤进行。,二、最小二乘法拟合曲线的步骤,第二步:根据图示,确定曲线所属的函数类型,例 如多项式函数类、三角函数类、

8、指数函数 类、对数函数类等。假设所确定的函数类 的基函数为,第一步:根据如下已知点的坐标,在坐标系里描点,则所求的函数可以表示为:,只要确定了系数,就可以求出拟合曲线。,第三步:其整体误差,所求的解应该使的上式达到极小,由极值原理应有:,令:,这样由,及,求得,整理为,令,则有,这样就给出了求解 方程组:,同样称其为法方程组。求解法方程组,求得解,便得到最小二乘拟合曲线,为了便于求解,我们再对法方程组的写出作一分析。,得到法方程组第 j 行的元素为:,由,于是法方程组的系数矩阵为:,令右端第二个矩阵为:,则系数矩阵可以表示为:,再看法方程组的右端项:,由,得到,最后可以将法方程组表示为:,其中

9、,这样会更快的写出法方程组来。,如果所求得最小二乘拟合函数为n次多项式,则:,这时:,误差:,三、数值例子,例3.3 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差,解 step1:描点,*,*,*,*,*,*,*,step2:从图形可以看出拟合曲线近似的为一条抛物线:,step3:根据基函数给出法方程组,由,得到,即,又,求得,法方程组为:,解得:,求得拟合二次多项式函数,误差为:,先计算出拟合函数值:,X:1 2 3 4 6 7 8 P:1.7272 4.0001 5.5002 6.2275 5.3637 3.7726 1.4087,得到:,或者:,解:在坐标轴描点,例3.4 根据如下离散数据拟合曲线

10、并估计误差,从离散点的图形上看不出原函数属于哪一类型,一般多采用多项式拟合,在此我们用二次多项式拟合。,根据如下离散数据给出法方程组,这时,求得,得到法方程组,所求二次拟合曲线为,拟合曲线的平方偏差为,由,解得:,拟合曲线在实际中有广泛应用,特别在实验、统计等方面是如此。通常,由一组试验或观测取得数据,这些数据先在平面上标出,然后确定拟合曲线的类型。,例如,电阻与导线的长度呈线性关系,如何确定具体的线性表示式,可通过对不同长度的导线测试电阻所得数据作拟合曲线而得。,对于具体问题,拟合曲线的类型往往是已知的,所对应的公式也叫做经验公式,只需取定曲线的具体参数即可。,下面给出一个已知经验公式,如何

11、确定其中参数的例子。,例3.5 对如下数据作形如 的拟合曲线,解:由于函数集合 不成为线性空间,因此直接作拟合曲线是困难的。,在函数 两端分别取对数得到,令,则,这时,需要将原函数表进行转换如下,对 作线性拟合曲线,取,得正则方程组,解得,于是有,拟合曲线为:,练 习 三,3-1 利用Legendre多项式 求函数 在 上的最佳均方逼近,并估计误差。,3-2 求 上权函数为 的正交多项 式前四项。,3-3 求,使 达到极小。,3-4 利用Legendre多项式 在0,1与-1,1上的最佳平方逼近三次式,并比较有何 异同。,3-5 证明 是 上 的正交函数系。,3-6 给出数据表,使分别作出线性、二次曲线拟合,并给出最佳平方误差。,3-7 用最小乘法求一个形如 的经验公式,使与下列数据拟合,并计算均方误差。,3-8 对下列数据,求形如 的拟合曲线,3-9 用最小二乘法解方程组,

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