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1、阜师院数科院第六章 函数逼近,6-1,第六章,函数逼近（最佳平方逼近）,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-2,第六章目录,1 最小二乘法原理和多项式拟合2 一般最小二乘拟合 2.1线性最小二乘法的一般形式 2.2非线性最小二乘拟合3 正交多项式曲线拟合 3.1离散正交多项式 3.2用离散正交多项式作曲线拟合4 函数的最佳平方逼近5 最佳一致逼近,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-3,4 函数的最佳平方逼近,前面对离散数据，我们利用最小二乘法求拟合函数（多项式），本节对一些连续函数，当其表达式较复杂不易于计算和研究时，我们利用最小二乘法，求这些连续函数的近似函数（较简单的函数），称为函数f(x)
2、在a,b 上的最佳平方逼函数(x)。,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-4,4.1 基本方法,设f(x)在a,b上连续，i(x)(i=0,1,2,m)在a,b 上线性无关，H=Span0,1,m为k(x)的集合，求(x)使：,定义6.2,连续情况下的内积定义为：(x)为权函数）,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-5,基本方法（续）,要求出满足（6-10）的(x)，与离散情况完全类似，即要求k(x)满足正规方程组（6-5），当k(x)线性无关可求出唯一解 是H中关于权函数(x)的唯一的最佳平方逼近多项式。,若k(x)=xk(k=0,1,2,m)，此时H为k(x)所有线性组合生成的多项式集合，则(
3、x)称为关于(x)的m次最佳平方逼近多项式或最小二乘逼近多项式。关于权函数(x)一般应给定，若没有特别标明则(x)1。,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-6,最佳平方逼近多项式举例,例7,求f(x)=cosx在0,1 上的一次最佳平方逼近多项式,问题：如何求二次、三次最佳平方逼近多项式，可：（1）如上，H=1,x,x2即取2(x)=x2,（2）或如后面例，按三项推式构造正交多项式,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-7,4.2 利用正交多项式求最佳平方逼近多项式,从上节知道 利用正交函数系可以简化最小二乘法的求解，并提高解的精度，而正交多项式系，由于其计算简便，是函数逼近的重要工具，后面一致逼近
4、，积分也要用到正交多项式。定义6.3 如果函数系0(x),1(x),m(x),满足:,则称此函数为区间a,b上关于权函数(x)的正交函数系。特别地，若Ak=1(k=0,1,2,)，则称其为标准正交函数系，当k(x)为多项式时，称为正交多项式。,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-8,正交多项式举例,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-9,正交函数系性质,正交函数系具有以下性质：,定理6.3,定理6.4,设k(x)(k=0,1,2,)是最高次项系数不为零的k次多项式，则k(x)是a,b上关于权函数(x)的正交多项式系的充要条件是对任意至多k1次的多项式Qk1(x)，均有：,区间a,b上关于权函数(x
5、)的正交函数系0,1,n是线性无关的。,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-10,定理6.4的证明,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-11,定理6.5,证明类似于定理6.2，略。,构造正交多项式的一般方法由以下定理给出：,定理6.5,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-12,几种常用的正交多项式,下面介绍几种常用的正交多项式:,（一）勒让德（Legendre）多项式,Legendre多项式的一般表示式为:,具体表达式为:,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-13,Legendre多项式性质,（1）Pk(x)是区间1,1 上关于权函数(x)1的正交函数系，且,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-14,L
6、egendre多项式性质（续1）,通过变量变换由Legendre多项式可以得到在任意区间a,b 上关于权函数(x)1的正交多项式系。,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-15,Legendre多项式性质（续2）,（2）Legendre多项式满足递推公式:,例如：,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-16,（二）第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式,第一类Chebyshev多项式的一般表示式为：,令x=cos，当x在1,1上变化时，对应的在0,上变化，（6-12）可改写成：,具体表达式为：,由上式容易看出，Tn(x)是首项系数为2n-1的n次多项式。,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-17,第
7、一类Chebyshev多项式性质,第一类Chebyshev多项式有以下性质：,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-18,第一类Chebyshev多项式性质（续）,性质（3），（4）由余弦函数性质即得。,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-19,（三）拉盖尔（Laguerre）多项式,Laguerre多项式定义为：,其具体表达式为：,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-20,Laguerre多项式性质,Laguerre多项式有以下性质：,（1）Ln(x)是区间0,+)上关于权函数(x)=ex的正交多项 式系，且：,（2）Laguerre多项式满足递推公式：,由定理6.5可以逐步构造在区间a,b 上关于
8、权函数(x)的正交多项式系n(x)进而求出满足式（6-8）的最佳平方逼近多项式：,也可直接利用已知的正交多项式作出满足式（6-8）的最佳平方逼近多项式：,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-21,最佳平方逼近多项式举例,例8,利用正交多项式求y=tg1x在区间0,1 上的 最佳平方逼近一次式。,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-22,例8（续）,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-23,Laguerre多项式举例（例9）,例9,求f(x)=Sin x在0,1 上的二次最佳平方逼近多项式,解:用构造正交多项式的方法，(x)=1.,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-24,Laguerre多项式举例（例
9、10）,例10,求f(x)=ex 在1,1上的三次最佳平方逼近多项式,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-25,Laguerre多项式举例（例10续）,若区间不一样，如求f(x)=ex 在0,1 上的二次最佳平方逼近则需要变换区间，将1,1上的Pn(x)变换为0,1 区间上的正交多项式:,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-26,第六章,结 束,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-27,上机练习题：不同拟合模型的比较,已知观测数据如下表所示，按下述方案求最小二乘拟合函数，并求出偏差平方和Q，比较拟合曲线的优劣。,方案I 拟合函数取为如下形式的三次多项式：,方案II 用离散正交多项式求三次拟合多项式,方案III 用离散正交多项式求四次拟合多项式,方案IV 拟合函数取为如下形式的函数：,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-28,观测数据表,
