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1、因式分解的常用方法专题介绍第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决 许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内 容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.初中数学教 材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基 础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.一、提公因式法.： ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因
2、式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).下面再补充两个常用的公式：(5) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6) a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知 a, b, c 是 A ABC
3、的三边，且 a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca，则AABC的形状是()A.直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解：a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca n 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2can (a - b)2 + (b 一 c)2 + (c 一 a)2 = 0 n a = b = c三、分组分解法.(一) 分组后能直接提公因式例1、分解因式：am + an + bm + bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这 个多项式前两项都含有a，后两项都
4、含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解， 然后再考虑两组之间的联系。解：原式=(am + an) + (bm + bn)=a(m + n) + b(m + n)每组之间还有公因式！=(m + n)(a + b)解法二：第一、四项为一组； 第二、三项为一组。原式=(2ax - bx) + (-10ay + 5by)=x(2a - b) - 5 y (2a - b)例 2、分解因式：2ax - 10ay + 5by 一 bx解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组。解：原式=(2ax - 10ay) + (5by - bx)=2a (x - 5 y) - b( x - 5 y
5、)=(x - 5y)(2a - b)= (2a - b)(x - 5y)2、xy - x - y +1练习：分解因式1、a2 - ab + ac - bc(二) 分组后能直接运用公式例3、分解因式：x2 y2 + ax + ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所 以只能另外分组。解：原式=(x2 - y2) + (ax + ay)=(x + y)(x - y) + a( x + y)=(x + y)(x - y + a)例4、分解因式：a2 - 2ab + b2 - c2解：原式=(a2 2ab + b2) 一 c2=(a - b)2
6、- c2=(a - b - c)(a - b + c)综合练习：(1)x3 + x2y xy2 y3(3) x2 + 6xy + 9y2 一 16a2 + 8a 一 1 (5) a4 2a3 + a 2 9(7) x2 - 2xy - xz + yz + y2(9) y(y -2) -(m- 1)(m +1)(2)ax2 - bx2 + bx - ax + a - b(4) a2 - 6ab + 12b + 9b2 -4a(6)4a2x一 4a2y 一b2x + b2y(8) a2 -2a + b2 -2b + 2ab +1(10) (a + c)(a -c) + b(b - 2a)练习：分解
7、因式 3、x2 x 9y2 3y 4、x2 y2 z2 2yz(11) a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a + b) + 2abc (12)a3 + b3 + c3 -3abc四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式 x2 + (p + q) x + pq = (x + p)(x + q)进行分解。特点：(1)二次项系数是1；(2) 常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知0V a W5,且a为整数，若2x2 + 3x + a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三
8、项 式axAbx+c，都要求 = b2 -4ac 0而且是一个完全平 方数。于是 = 9 - 8a为完全平方数，a = 1例5、分解因式：x2 + 5x + 6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2 X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6)，从中可以发现只有 2 X 3的分解适合，即2+3=5。1 2 一:解：x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + 2 x 31 一 一 3=(X + 2)( x + 3)1X2+1X3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式
9、：x2 7x + 6解：原式=x2 +(1) + (6)x + (1)(6)1-1=(x 1)( x 6)1-6(-1) + (-6) = -7练习 5、分解因式(1)x2 +14x + 24 (2)a2 15a + 36 (3)x2 + 4x一5练习 6、分解因式(1)x2 + x 2(2) y2 2y 15(3)x2 10x 24(二)二次项系数不为1的二次三项式ax 2 + bx + c条件：(1) a = a1 a 2a乌(2) c = c ca /c(3) b = a c + a cb = a c + a c1 22 11 22 1分解结果：ax2 + bx + c = (a x +
10、 c )(a x + c )例7、分解因式：3x2 11x +10分析：1 X-2(-6) + (-5) = -11解：3x2 11x +10 = (x 2)(3x 5)练习 7、分解因式：(1) 5x2 + 7x 6(2) 3x2 7x + 2(3) 10 x 2 17 x + 3(4) 6 y 2 + 11y +10(三) 二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：a2 8ab 128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 *-顶L -16b8b+(-16b)= -8b解：a 2 8ab 128b2 = a 2 + 8b + (16b)a +
11、8b x (16b)=(a + 8b)(a 16b)练习 8、分解因式(1)x2 - 3xy + 2y2(2)m2 6mn + 8n2(3)a2 ab 6b2(四) 二次项系数不为1的齐次多项式例 9、2 x 2 - 7 xy + 6 y 21、./-2y2 /、3y(-3y)+(-4y)= -7y例 10、x2 y2 一 3 xy + 2把xy看作一个整体1、/-11 、-2(-1)+(-2)= -3解：原式=3-2y)(2 尤-3 y)解：原式=( -1)( xy - 2)练习 9、分解因式：(1) 15x2 + 7xy - 4y2(2) a2x2 - 6ax + 8综合练习 10、(1)
12、 8x6 -7x3 -1(2) 12x2 - 11xy -15y2(3) (x + y)2 一3(x + y) 一 10(4) (a + b)2 一4a 一4b + 3(5) x2y2 一5x2y 一6x2(6) m2 -4mn + 4n2 -3m + 6n + 2(7) x2 + 4xy + 4y2 一2x一4y 一3 (8) 5(a + b)2 + 23(a2 一b2)一 10(a一b)2(9) 4x2 一 4xy 一 6x + 3y + y2 一 10 (10) 12(x + y)2 +11(x2 一 y2) + 2(x一 y)2思考：分解因式：abcx2 + (a2b2 + c2)x
13、+ abc五、换元法。例 13、分解因式(1) 2005x2 - (20052 -1)x 一 2005(2) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + x2解：(1)设 2005= a，则原式=ax2 一 (a2 一 1)x 一 a= (ax +1)( x - a)= (2005 x +1)( x - 2005)(2)型如abcd + e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式=(x 2 + 7 x + 6)( x 2 + 5 x + 6) + x 2设 x2 + 5 x + 6 = A，则 x2 + 7 x + 6 = A + 2 x原式=(A + 2 x)
14、A + x 2 = A 2 + 2 Ax + x 2=(A + x)2 = ( x 2 + 6 x + 6)2练习 13、分解因式(1) (x2 + xy + y2)2 4xy(x2 + y2)(2) (x2 + 3x + 2)(4x2 + 8x + 3) + 90(3) (a2 +1)2 + (a2 + 5)2 一4(a2 + 3)2例 14、分解因式（1） 2x4 x3 6x2 x + 2观察：此多项式的特点一一是关于x的降幕排列，每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”。这种多 项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。- 6 x一，,11、解
15、：原式=x2(2x2 一x一6一一 + ) = x22x x 2x 211c12 -1 -10 )2 x + 2-5 x + +I x人设 x + = 1，则 x2 + = 12 2 xx 2.原式=x2 (12 -2) -1 - 6= x2=x 2(21 - 5)( + 2 )= x 2r 2 r1)x2 x + -5-x- x + 21 x Vx )x2 5 x + 2)(2 + 2 x + J=(x +1)2(2 x -1)( x - 2)(2) x4 一 4x3 + x2 + 4x +1r 1)-4r1)x2 +x-Ix 2 )kx )+1,41、解：原式=x2 (x2 一 4 x +
16、1 + + ) = x2x x 211 设 x y，贝0 x2 += y2 + 2xx2.原式=x 2( y2 4 y + 3) = x 2( y -1)( y 3)=x 2( x- - 1)( x - - 3)= ( 2 - x - 1)( 2 - 3 x - 1)xx练习 14、(1) 6x4 + 7x3 - 36x2 - 7x + 6(2) x 4 + 2 x 3 + x 2 +1 + 2( x + x 2)六、添项、拆项、配方法。例15、分解因式(1) x3 - 3x2 + 4解法1拆项。原式=x3 +1 - 3x2 + 3=(x + 1)(x2 - x +1) - 3(x +1)(x
17、 -1)=(x +1)(x2 - x +1 - 3x + 3)=(x +1)(x2 - 4x + 4)=(x +1)( x - 2)2解法2添项。原式=x3 - 3x2 一 4x + 4x + 4=x(x 2 一 3x 一 4) + (4x + 4)=x(x +1)(x - 4) + 4(x +1) = (x +1)(x2 - 4x + 4)=3 +1)3 - 2)2(2) x9 + x6 + x3 3解：原式=(x9 -1) + (x6 -1) + (x3 -1)=(x3 - 1)(x6 + x3 + 1) + (x3 - 1)(x3 + 1) + (x3 - 1)=(x3 1)( x6 +
18、 x3 +1 + x3 + 1 + 1)=(x - 1)(x2 + x + 1)(x6 + 2x3 + 3)练习15、分解因式(1) x 3 - 9 x + 8(3) x4 - 7x2 + 1(5) x4 + y4 + (x + y)4(2) (x + 1)4 + (x2 -1)2 + (x-1)4(4) x4 + x2 + 2ax +1 - a2(6) 2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 - a4 -b4 - c4七、待定系数法。例 16、分解因式 x2 + xy - 6 y2 + x +13 y - 6分析：原式的前3项x 2 + xy - 6 y2可以分为(x + 3 y)(x
19、- 2 y),则原多项式必定可分为 (x + 3 y + m)( x - 2 y + n)解：设 x 2 + xy - 6 y 2 + x +13 y - 6 = ( x + 3 y + m)( x - 2 y + n),/ (x + 3y + m)(x - 2y + n) = x2 + xy - 6y2 + (m + n)x + (3n - 2m)y - mn:.x 2 + xy - 6 y 2 + x +13 y - 6 = x 2 + xy - 6 y 2 + (m + n)x + (3n - 2m) y - mnm + n 1(m -2对比左右两边相同项的系数可得3n - 2m 13，
20、解得I n 3mn -6I.原式=(x + 3y - 2)(x - 2y + 3) 例17、(1)当m为何值时，多项式x2 -广+ mx + 5y - 6能分解因式，并分解此多项式。(2)如果x3+ax2 + bx + 8有两个因式为x +1和x + 2，求a + b的值。(1)分析：前两项可以分解为(x + y)(x - y)，故此多项式分解的形式必为(x + y + a)(x - y + b) 解：设 x2 一 y 2 + mx + 5 y 一 6 = (x + y + a)(x - y + b)贝ij x2 一 y 2 + mx + 5 y 一 6 = x2 一 y 2 + (a + b
21、)x + (b 一 a) y + aba + b = ma = -2a = 2比较对应的系数可得：b 一 a = 5，解得：b = 3 或 0(x2 - 4)(x2 - 10x + 21) + 100的值一定是非负数4. 因式分解中的转化思想例：分解因式：(a + 2b + c)3 - (a + b)3 - (b + c)3分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b, b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换 的方法。解：设 a+b=A， b+c=B， a+2b+c=A+B原式=(A + B)3 - A3 - B3=A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 - A3 - B3=
22、3A2B + 3AB2= 3AB(A + B)=3(a + b)(b + c)(a + 2b + c)说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨例 1.在 AABC 中，三边 a,b,c 满足 a2 - 16b2 - c2 + 6ab + 10bc = 0求证：a + c = 2b证明：/ a2 - 16b2 - c2 + 6ab + 10bc = 0a2 + 6ab + 9b2 - c2 + 10bc - 25b2 = 0即(a + 3b)2 - (c - 5b)2 = 0(a + 8b - c)(a - 2b + c) = 0,/ a + b c. a + 8
23、b c，即a + 8b - c 0于是有a - 2b + c = 0即 a + c = 2b说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。例 2.已知：x + = 2，则x3 + = xx3解： x3 +- = (x + )(x2 - 1 + )=(x + -)(x + 马2 - 2 - 1 x x=2 X 1=2说明：利用x2 + = (x + )2 - 2等式化繁为易。 x2 x题型展示1. 若X为任意整数，求证：(7 -x)(3-x)(4-x2)的值不大于100。解：(7 - x)(3 - x)(4 - x2) -100=-(x - 7)(x + 2)(x - 3)
24、(x - 2) - 100=-(x2 - 5x - 14)(x2 - 5x + 6) - 100= -(x2 - 5x) - 8(x2 - 5x) + 16=-(x2 - 5x - 4)2 0(7 - x)(3 - x)(4 - x2) 100说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。2. 将a2 + (a + 1)2 + (a2 + a)2分解因式，并用分解结果计算62 + 72 + 422。解：a2 + (a + 1)2 + (a2 + a)2=a2 + a2 + 2a + 1
25、+ (a2 + a)2=2(a2 + a) + 1 + (a2 + a)2=(a2 + a + 1)2. 62 + 72 + 422 = (36 + 6 + 1)2 = 432 = 1849说明：利用因式分解简化有理数的计算。实战模拟1. 分解因式：(1) 3x5 10x4 8x3 3x2 + 10x + 8(2) (a2 + 3a 3)(a2 + 3a + 1) 5(3) x2 一 2xy 一 3y2 + 3x 一 5y + 2(4) x3 一 7x + 62. 已知：x + y = 6, xy = 1,求：x3 + y3 的值。3.矩形的周长是28cm，两边x,y使x3 + x2y - x
26、y2 y3 = 0，求矩形的面积。4. 求证：n3 + 5n是6的倍数。（其中n为整数）5.已知：a、b、c 是非零实数，且a2 + b2 + c2 = 1， a( + ) + b( + ) + c( + ) = 3，求 a+b+c 的值。b c c a a b6.已知：a、b、c为三角形的三边，比较a2 + b2 -c2和4a2b2的大小。经典三：因式分解练习题精选一、填空：(30分)1、 若x2 + 2(m - 3)x +16是完全平方式，则m的值等于。2、 x 2 + x + m - (x 一 n)2 则ij m =n =3、2x3y2与12x6y的公因式是4、若xm 一 yn = (x
27、 + y2)(x一 y2)(x2 + y4)，则 m=, n=5、在多项式3y2 5y3 =15y5中，可以用平方差公式分解因式的有，其结果是6、 若x2 + 2(m 3)x +16是完全平方式，则m=。7、x2 + ()x + 2 = (x + 2)(x +)8、已矢口 1 + x + x2 + x2004 + x2005 = 0,则 x2006 =9、若160 b)2 + M + 25是完全平方式M=10、x2 + 6x + ( )= (x + 3)2，x2 + ()+ 9 = (x 3)211、若9 x2 + k + y2是完全平方式，则k=12、若X2+ 4X - 4的值为0,则3X2
28、 +12x - 5的值是13、若 x2 ax 15 = (x +1)(x 15)则 a =。14、若 x + y = 4, x2 + y2 = 6 则 xy =。15、 方程x 2 + 4 x = 0,的解是。二、选择题：(10分)1、多项式 一 a (a - x)( x - b) + ab(a - x)(b - x)的公因式是()A、一a、 B、- a (a - x)(x - b) C、a (a - x) D、- a( x - a)2、若 mx2 + kx + 9 = (2x 3)2，则 m, k 的值分别是()A、m=2, k=6, B、m=2, k=12, C、m=4, k=12、D m
29、=4, k=12、 3、下歹U名式：x2 y2,-x2 + y2,-x2 y2,(x)2 + (y)2,x4 y4 中能用平方差公式分解因式的有（）A、1 个，B、2 个，C、3 个，D、4 个4、计算（1-土）（1-（1-）（1-的值是（）A、1 B、L,d,D.旦2 201020三、分解因式：（30分）1 、 x4 - 2x3 - 35x22、3x6 - 3x23、25(x 2y)2 4(2y x)24、x 2 4 xy 1 + 4 y 25、x5 - x6、x 3 17、ax 2 bx 2 bx + ax + b a8、x4 18x2 + 819、9x4 一 36y210、(x +1)(
30、x + 2)(x + 3)(x + 4) 24四、代数式求值（15分）1、已知 2x y = 3 , xy = 2，求 2x4y3 x3y4 的值。2、若x、y互为相反数，且（x + 2）2（y +1）2 = 4，求x、y的值3、已知a + b = 2，求(a2 -b2)2 一8(a2 + b2)的值五、计算：（15）(1)30 75x 3.66 x 2.6642000（2）(3)2 x 562 + 8 x 56 x 22 + 2 x 442六、试说明：（8分）1、对于任意自然数n，（n + 7）2 （n 5）2都能被动24整除。2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续
31、奇数之间的偶数与较大奇数的积。七、利用分解因式计算（8分）1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。（结果保留两位有效数字）2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述：甲：这是一个三次四项式乙：三次项系数为1，常数项为1。丙：这个多项式前三项有公因式丁：这个多项式分解因式时要用到公式法若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。（4分）经典四:因式分解选择题1、代数式 a3b2 - 2 a2b3, 2 a3b4 +
32、 a4b3,a4b2 - a2b4 的公因式是()D、a3b3A、a3b2 B、a2b2C、a2b32、用提提公因式法分解因式5aX-y)-10b(x-y)，提出的公因式应当为()A、5a- 10b B、5a + 10bC、5(x-y) D、y-x3、把-8m3 + 12m2 + 4m分解因式，结果是()A、-4m(2m 2-3m)B、-4m(2m 2 + 3m-1)C、-4m(2m 2-3m-1)D、-2m(4m 2-6m + 2)4、把多项式-2x4-4x2分解因式，其结果是()A、2 (-x4-2x2)B、一2(X4 + 2X2)C、一X2(2x2 + 4) D、 2x2 (x2 + 2
33、)5、(-2) 1998 + (-2) 1999等于()A、-21998B、21998C、-21999D、219996、把16-x4分解因式，其结果是()A、(2-x)4B、(4*2)( 4 x2)C、(4 + x2)(2 + x)(2 x)D、(2+x)3(2 x)7、把a4-2a2b2 + b4分解因式，结果是()A、a2(a2 2b2) +b4B、(a2-b2)2C、(a-b)4 D、(a + b)2(a-b)28、把多项式2x2 2x+ 1分解因式，其结果是()2A、(2x 2 )2B、2(x 2 )2C、(x 2 )2D、2 (x1)29、若9a2+6(k3)a+1是完全平方式，则k
34、的值是()A、4B、2C、3 D、4 或 210、一(2x y) (2x + y)是下列哪个多项式分解因式的结果()A、4x2 y2B、4x2+y2C、一4x2 y2D、一4x2 + y211、多项式x2 + 3x 54分解因式为()A、(x + 6)(x 9)B、(x 6)(x + 9)C、(x + 6)(x + 9)D、(x 6)(x 9)二、填空题1、2x2 4xy 2x =(x 2y 1)2、 4a3b210a2b3 = 2a2b2 ()3、 (1 a)mn + a1=()(mn1)4、m(mn)2(nm)2 =()()5、 x2() + 16y2=()26、 x2()2=(x + 5y)( x 5y)7、 a2 4(a b)2=() ()8、a(x + y
