因式分解的常用方法(方法最全最详细).docx

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1、因式分解的常常使用办法之公保含烟创作第一局部：办法介绍因式分解:因式分解是指将一个多项式化成几 个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步伐是： （1）通常采用一提”、二“公、三分、 四变的步伐.即首先看有无公因式可提，其次 看能否直接应用乘法公式；如前两个步伐都不能 实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组 后有公因式可提或可应用公式法持续分解；（2）若上述办法都行欠亨，可以检验考试 用配办法、换元法、待定系数法、试除法、拆项 （添项）等办法；注意：将一个多项式停止因式分解应分解到不能 再分解为止.一、提公因式法.：ma + mb+mc=m

2、（a + b+c）二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式， 现将其反向使用，即为因式分解中常常使用的公 式，例如：(a + b)(a-b)=a2-b2a2-b2=(a + b)(a-b)；m(a士b)2=a22ab+b2a22ab+b2= (ab)2；(a + b)(a2-ab+b2)=a3+b3a3 + b3 = (a + b)(a2-ab+b2);(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).下面再弥补两个常常使用的公式：(5) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca = (a + b+c)2 ;(6) a3+b3+c3-3abc

3、=(a + b+c)(a2+b2+c2-ab- bc-ca);a, b,c 是 AABC的三边，且a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca则AABC的形状是（）A.直角三角形B等腰三角形 C等边三角形D等腰直角三角形 解：a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca n 2a 2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca三、分组分解法.(一) 分组后能直接提公因式例1、分解因式：am + an + bm + bn剖析：从整体看，这个多项式的各项既没有 公因式可提也不能运用公式分解，但从“局部 看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有 b，因此可

4、以思索将前两项分为一组，后两项分 为一组先分解，然后再思索两组之间的联络.解：原式二每组解法二：(am + an) + (bm + bn) a(m + n) + b(m + n)之间还有公因_ (m + n)(a + b)例2、分解因式：2ax - 10ay + 5by - bx解法一：第一、二项为一组；第一、四项为一组；第三、第二、三项为一组.解 ： 原 式 -(2ax - 10ay) + (5by - bx) _ (2ax - bx) + (-10ay + 5by) x(2a - b) - 5 y(2a - b)(x - 5y)(2a - b)2、-(2a - b)(x - 5y)练习：分

5、解因式1、a2 - ab + ac - bc xy - x - y +1（二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：x 2 - y 2 + ax + ay剖析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分 为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能持续 分解，所以只能另夕卜分组.牛,_ (x2 - y 2) + (ax + ay)(x + y)(x y) + a (x + y)-(x + y)(x - y + a)例4、分解因式：92 a 2 - 2ab + b 2 - c 2解：原式=(a 2 2ab + b 2) c 2(a - b)2 - c2 (a - b - c)(a - b + c)练习：分解

6、因式 3、x2 - x - 9y2 - 3y 4、x2 - y2 - z2 - 2yz 综合练习：(1 ) x 3 + x 2 y - xy 2 - y 3( 2 )ax 2 - bx 2 + bx - ax + a - bx 2 + 6 xy + 9 y 2 -16a 2 + 8a -1(3 )x 2 - 2 xj - xz + jz + j 2a 2 - 2a + b 2 - 2b + 2ab +1(9) j(j - 2) - (m - 1)(m +1) ( 10)(a + c)(a - c) + b(b - 2a) a 3 + b 3 + c 3 3abc(11 )a 2 (b + c)

7、 + b 2 (a + c) + c 2 (a + b) + 2abc(12 )四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接应用公式x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)停止分解.特点：(1)二次项系数是1 ；(2)常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两因数的和.思考：十字相乘有什么根本规律？例.已知00而且是一个完全平方数.于是 -9 - 8a 为完全平方数，a = 1例5、分解因式：x2 + 5x + 6剖析：将6分红两个数相乘，且这两个数的和要等于5.由于6=2x3 = (-2)x(-3) = 1x6=(-1)x(-6)从中可以 发现

8、只有2x3的分解适合，即2 + 3 = 5. 12解：X2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + 2 X 3 1(x + 2)3 + 3)1x2+1x3=5用此办法停止分解的关键：将常数项分解成两个 因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项 的系数.例6、分解因式：x2 _ 7x + 6解：原式二 X2 + (1) + (6)x + (1)(&)y1-1=(x 1)( x 6)1-6(-1) + (-6)=-7练习 5、分解因式(1 x 2 +14 x + 24(2) a 215a + 36 x 2 + 4 x 5练习6、分解因式x2 + x 2(2) ,22, 15(3)

9、x2 10x 24（二）二次项系数不为1的二次三项式条件:a = a1a之a 1 c 1ax 2 + bx + c(2)c = c c a c(3几 1 2 2 2 Ab = a c + a c b = a c + a c 1 22 11 22 1刀 牛ax2 + bx + c (a x + c )(a x + c ) 例 7、分解因式：3x2 _ 111x +10 22剖析： X 1-23 -5(-6)+(-5)= -11牛, 3x2 - 11x +10 = (x - 2)(3x - 5)练习7、分解因式：(1)5 x 2 + 7 x - 6(2)3 x2 7 x + 2(3)10x 2 1

10、7 x + 3( 4)6 j 2 +11）+10（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式:a 2 8ab 128b 2剖析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二 次三项式，应用十字相乘法停止分解.8b-16b8b+(-16b)= -8b解：例 9、2X2 一 7xy + 6y2-12y1-2例10、把忒看作-7y解：原(2)(2)(4 )(6 )(8a 2 - 8ab - 128b 2 - a 2 + 8b + (-16b)a + 8b x (-16b)一(a + 8b)(a - 16b)练习8、分解因式(1),2 3“+ 3x2 3xy + 2 y 2Q) m2 一 6mn + 8n

11、2(3) a2 一 ab 一 6b2(四) 二次项系数不为1的齐次多项式x 2 y 2 3xy + 21个整体12 -3y(-3y) + (-4y)-(-1) + (-2)- -3解：原式-(x 一 2 y )(2 x - 3 y)式-(xy -1)(xy - 2)练习9、分解因式(1 ) 15x2 + 7xy - 4y2 a 2 x 2 6ax + 8综合练习 10、(1) 8X6 - 7X3 - 1 12 x 2 - 11xy -15 y 2(3 ) (x + y)2 - 3(x + y) -10(a + b)2 - 4a - 4b + 3 m2 - 4mn + 4n 2 - 3m + 6

12、n + 2x 2 + 4 xy + 4 y 2 - 2 x - 4 y - 350 + b)2 + 23(a2 -b2)- 10(a-b)2(9)4x 2 - 4勺-6工 + 3 j + j 2 -10(10)12(X + J)2 + 11(x2 - J2)+ 2(X - J)2思考：分解因式:abcx2 + (a 2b 2 + c 2)x + abc五、换元法.(1) 、换单项式例1分解因式x6 + 14x3 y + 49y2.剖析：注意到x6=(x3)2,若把单项式x3换元，设x3 = m，则x6= m2,原式变形为m2 + 14my + 49y2= (m + 7y)2 = ( x3 +

13、7y)2.(2) 、换多项式例 2分解因式(x2+4x+6) + (x2+6x+6)+x2.剖析：本题前面的两个多项式有相同的局部, 我们可以只把相同局部换元，设x2 +6= m，则 x2+4x+6= m+4x，x2+6x+6= m + 6x，原式变 形为(m+4x)(m+6x)+x2=m2+ 10mx+24x2+x2= m2 +10mx+25x2(m+5x)2=(x2+ 6+5x)2=(x+2)(x+3)2=(x+2) 2 (x+3)2.以上这种换元法，只换了多项式的一局部，所 以称为局部换元法.当然，我们还可以把前 两个多项式中的任何一个全部换元，就成了整 体换元法.比如，设x2+4x+6

14、=m，则 x2+6x+6=m+2x，原式变形为m(m+2x)+ x2 =m2+2mx+x2=(m+x)2= ( x2+4x+6+x)2= ( x2+5x+6)2=(x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)2.另外还可以取前两个多项式的平均数停止换 元，这种换元的办法被称为均值换元法”，可 以借用平方差公式简化运算.关于本例，设m二 12【(x2+4x+6) + (x2+6x+6)= x2+5x+6，则x2+4x+6=m-x , x2+6x+6=m+x ,m2二(m+x)(m-x)+x2= m2-x2+x2(x2+5x+6)2=(x+2)(x+3)2=(x+2) 2 (x+3)2.例

15、3分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4) + 24.剖析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可 以把它们分红两组相乘，使之转化成为两个多项 式的乘积.无论如何分组，最高项都是x2,常数 项不相等，所以只能设法使一次项相同.因此， 把 (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为(x-1) (x+2)(x-3)(x+4) = (x2+x-2) (x2+x-12)，从而 转化成例2形式加以解决.1我们采用均值换元法，设m= 2 (x2+x-2)+(x2+x-12)=x2+x-7， 则x2+x-2=m+5，x2+x-2= m-5，原式变形为(m + 5)(m-5)+24=m2-25+24=

16、m2-1=(m + 1)(m-1) = ( x2+x-7+1)( x2+x-7-1)(x-2)(x+3)( x2+x-8).(3) 、换常数例 1分解因式 x2(x+1)-2003x2004x.剖析：此题若依照一般思路解答，很难奏效. 注意到2003、2004两个数字之间的关系，把其 中一个常数换元.比如，设m=2003，则 2004二m + 1.于是，原式变形为x2(x+1) 一 m(m+1)x= xx(x+1)-m(m+1) =x(x2+x-m2-m)=x(x2 -m2) +(x-m)= x(x+m) (x-m) + (x-m) =x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+20

17、03 + 1) = x(x-2003)(x+2004).例13、分解因式(1)2005m - (20052 -1)x - 2005(2 )/* (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + x2解：(1 )设 2005二-则原式二 ax 2-(a 2 -1) x-a(ax +1)( x - a)一(2005x +1)(x - 2005)(2 )型如。心+ e的多项式，分解因式时可以把 四个因式两两分组相乘.原式- , 一.，打3 (X 2 + 7 X + 6)( X 2 + 5 X + 6) + X 2设 x 2 + 5 x + 6 = A，则 x 2 + 7 x + 6 - A

18、 + 2 x.原式-(A + 2x) A + X 2 一 A 2 + 2 Ax + x 2(A + x)2 - (X 2 + 6X + 6)2练习 13、分解因式(X2 + X ,2)2 - 4,(X2 + ,2)(X 2 + 3 2)(4 x 2 + 8 x + 3) + 90(2)例14、分解因式(1)(3)(a 2 +1)2+(a 2 + 5)2 - 4(a 2 + 3)22 X 4 一 X 3 一 6 X 2 一 X + 2察看：此多项式的特点是关于X的降幕排列， 每一项的次数依次少1,而且系数成轴对称”.这种多项式属于等间隔多项式.办法：提中间项的字母和它的次数，保管系数， 然后再用

19、换元法.解：原式x2 (2x2 - x 6 一 一 + ) x2 E(x 2 + ) (X + -) - 6X X 2X 2X设 X + 1 - t，则 X 2+L 2 2XX 2.原式-x2(12 2) t 6- X2 G2 I。)x 2 2 x + Z- 5 x + 上 + 2I X 火-x2S 5)( + 2)-(2.x- 2x + 5 x- x + + 2VxJx2 5 x + 2)(2 + 2 x +1)一 G +1)2(2x -1)(x 2)(2)x 4 4 x 3 + x 2 + 4 x + 1解：, r 41、_-x 2( x 2 一 4 x + 1 +1) x 2 x 2 +

20、一x x 2设x 一 1 = y，则x.原式-庭工Ix2(y2 4y + 3) 一 x2(y 1)(y 3)练习14、（1）x 2( x 1)( x 3) = ( 2 x 1)(2 3 x _) x x6 x 4 + 7 x 3 36 x 2 7 x + 6(2 ) x4 + 2x3 + x2 + 1 + 2(x + x2)六、添项、拆项、配办法.例15、分解因式（1）、3 3、2+ 4x3 x2 +解法1拆项.解法2添项.原式乙3 +1 3 x 2 + 3 原式二 x3 3 x2 4 x + 4 x + 4(x +1)( x 2 x +1) 3( x +1)( x 1) x( x 2 3x

21、4) + (4 x + 4)(x +1)( x 2 x +1 3x + 3)x (x +1)( x 4) + 4( x +1)(x +1)( x 2 4 x + 4) (x +1)( x 2 4 x + 4)(x +1)(x 2)2 - (x +1)(x 2)2(2)x 9 + x 6 + x 3 3解：原式二31) + (x 6 - 1) + (x 3 - 1)=(X 3 1)( X 6 + X 3 + 1) + (X 3 1)( X 3 + 1) + (X 3-1)(X 3 1)( X 6 + X 3 + 1 + X 3 + 1 + 1)一 (X 1)(X2 + X + 1)(X6 + 2

22、X3 + 3)练习15、分解因式 (1)x3 9x + 8 ( 2 ) (x +1)4 + (X2 1)2 + (x 1)44)，X4 7x 2 +1 (4) x4 + x2 + 2ax +1 a 2(5)x4 + y4 + (x + y)4 (6) 2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 a4 b4 c4七、待定系数法 例 16、分解因式 x2 + xy 6y2 + X + 13y 6剖析：原式的前3项X2 + xy 6y2可以分为 (X + 3 y)(X 2 y)，则原多项式一定可分为 (X + 3 y + m)( X 2 y + n)解：设 “ 二一、一、“十X 2 + xy 6 y

23、 2 + x +13 y 6( x + 3 y + m)( x 2 y + n) (x + 3y + m)(x 一 2y + n) 一 X2 + xj 6 j 2 + (m + n)X + (3n 2m)y mn,x 2 + xy 6 y 2 + x +13 y 6X 2 + xy 6 y 2 + (m + n) X + (3n 2m) y mn比照左右两边相同项的系数可得二二m 113，解得mn = 6J m = 2n = 3原式=(X + 3y 2)(x 2y + 3)例17.(1 )当”为何值时，多项式必一, + 5尸6能分解因式，并分解此多项式.(2 )如果*3+0X2 +办+ 8有两

24、个因式为尤+ 1和尤+ 2 /求a+ 5的值.(1 )剖析：前两项可以分解为3+睥_力，故此多项式分解的形式必为(x + y + )(x - y + b)解设u 凡十 *- y2 + mx + y (x+y + a)(x-y+ b)则Sy%2 - y2 + mx + y - %2 - j2 + (2 + b)x + (b- a)y + ab比拟对应的系数可得：a + b = m5，解得:ab = -6a = 2 它的规格是内径d - 45 cm， 外径D -75cm, l 3用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立一 方米的混凝土？(氏取3.14，后果保管2位有交嫩一 字)D印广22、察看下

25、列等式的规律，并依据这种规律写出第(5)个等式.经曲二.1. 通过根本思路到达分解多项式的目的例1.分解因式X5_ X4 + 3 一 X2 + J剖析：这是一个六项式，很显然要先停止分组， 此题可把X4 + X3和一 X2 + X 一 1辨别看成一组，此时 六项式酿成二项式，提取公因式后，再进一步分 解；也可把X5 _ X4 , X3 _ 2 , x _1辨别看成一组，此 时的六项式酿成三项式，提取公因式后再停止分 解.1!牛* 工，=（X5 X4 + X3）（X2 X + 1）牛：（X5 X4）+（X3 X2）+（X 1）2. 通过变形到达分解的目的例1.分解因式X3 + 3X2 4解一：将

26、3X2拆成2X2 + X2，则有解二：将常数4拆成13，则有3. 在证明题中的应用例：求证：多项式宜、的值一定是（X2 4）（X2 10X + 21） + 100 口I旦正正非正数剖析：现阶段我们学习了两个非正数，它们是完 全平方数、相对值.本题要证明这个多项式是非正 数，需要变形成完全平方数.证明：（X24）（x210X + 21） + 100设 y = X2 5X，则4. 因式分解中的转化思想例：分解因式：（a + 曷 + c）3 （a + b）3-（b + c）3剖析：本题若直接用公式法分解，进程很复杂，察看a + b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的办法.解：设a + b

27、=A , b+c=B , a+2b+c=A+B说明：在分解因式时，灵敏运用公式，对原式停 止代换”是很重要的.中考点拨AABC 中，三边 a，b，C 满足a216b2c2 + 6ab + 10bc = 0求证：+仆a + c = 2b证明：a2 16b2 - c2 + 6ab + 10bc = 0说明：此题是代数、几何的综合题，难度不年夜， 学生应掌握这类题不能丢分.例2.已知:X + - = 2,则 x3 + =xx3解：1,1、，. 1X3 + = (x + )(x2 1 + x3 xx说明：应用x2+=(x +与2等式化繁为易. x2 x题型展示1.若x为任意整数，求证：(7 x)(3

28、x)(4 x2)的值不年夜于100.解：(7 f)(3 Q(4f 2) 100说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题. 一个多项式的值不年夜于100，即要求它们的差 小于零，把它们的差用因式分解等办法恒等变形 成完全平方是一种常常使用的办法.a2 + (a + 1)2 + (a2 + a)2分解因式，并用分解结果计算62 + 72 + 422。解：2. 将a2 + (a + 1)2 + (a2 + a)2说明：应用因式分解简化有理数的计算.实战模拟1.2.分解因式：已知：x + y 6, xy 1,求：X3 + y 的值.3.矩形的周长是28cm，两边x,y使X3 + x2y xy2 y3

29、0，求矩形的面积.4求证：n3 + 5n是6的倍数.(其中n为整数)5. 已知：a、b、c是非零实数，且a2+b2+c2履+ 1 + b(1 + 1) + c(1 + 1-3 求 a + b + c 的值. a十b+c 1， a( 十)十b( 十)十c( 十 )3b c c a a b6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比拟a2 + b2 - C2和4a2b2的年夜小.经典三：因式分解练习题精选一、填空：(30分)1、若 x2 + 2(m 3) 16 是完全平方式，则m的值等于2、x 2 + x + m = (x n)23、2 x 3 j 2 与 12 x 6 y 的公因式是一4、若xm y

30、n = (x + y 2)( x y 2)( x 2 + y 4)顶m=n= 5、在多项式3y2 . 5y3 =15y5中，可以用平方差公式 分解因式的有 ,其后果是(ROI)点备 ZH 岫睡oz寸1驱K!LnI .)jm9: + ，；x，习 n=?M(SIL)(I + x)HSI xuzxrxI岫g彳应：=ir。必g寸宇抑，至 .业喜、宿枳斗如IRm%I6w atx)6+(+zx 、as + r)h() + x9+zxoiCMInM、0CNI InE d ZIHX znE 成 9& ZHE() 、 n| E 夜 和CM& I w ZQ (X如)。，o(q L)(x w lcncuI / +

31、x)6 CN( X)9I ， 6( ).(z + X) n (z + xu (z + x)q + (z + x)cu00 ( ).( )nCN(q05)CNa5 I)qCN用一:(9) + UEOI 呈 Ks CN+X q x)(17)CN(用 x)e CN(用 X)客) rn+cn9 义 m&)rnxCNCNX8 .隧宿E宿耍尽K里i 胃睡，111 .ndCNLnrnx9LnCN+CN17r CNCN。 (CN) 666 + 666 ( I )m费茴晅旺CNcnqcnrnm 寸&1)Ln，等 +CNX(II)8 CNI -孩(。1) 芯 + XITcnx(6)9 + 3 + %60) (XT ) + & - xm)3 - x)8ffi源)sHg ,w 60IX6mT