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1、21 汇交力系的合成22 汇交力系的平衡条件,第二章 汇交力系,主要介绍：汇交力系的简化、汇交力系的平衡条件,汇交力系：力系各力作用线汇交于一点。,平面汇交力系,空间汇交力系,静力学基本公理,公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被反复 的实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。,作用于同一刚体上的两个力，使刚体平衡的必要充分条件是：,公理1：二力平衡公理,即两力平衡条件。(P9),这两个力大小相等，方向相反，作用线重合。,即二力等值，反向，共线。,等值、反向表达式：,注意：两力平衡公理只适用于刚体。,对变形体来说，上面的条件只是必要条件。,如：对软绳、弹簧等，受压力时不能平衡。,
2、在作用于刚体的任一力系上，加上或减去任一平衡力系，并不改变原力系对刚体的效应。,推论：力的可传性原理。,公理2：加减平衡力系公理,(P19),作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体上的任一点，而不改变该力对刚体的效应。,如：用 推车或拉车效果相同。,=,对刚体，力是滑动矢量：三要素为大小，方向，作用线。,证明：,应用：可将刚体上的力沿其作用线移到刚体上的任一点。,注意：力的可传性原理不适用于变形体。,=,=,将作用于刚体上A点的力沿其作用线移到同一刚体上的B点，而不改变该力对刚体的效应。,作用于物体上同一点的两个力可合成为一个合力，合力的作用点也在该点，合力的大小和方向由以原两个力矢为邻边所
3、构成的平行四边形的对角线决定。,公理3：力的平行四边形法则,即两力合成法则。(P20),即满足矢量加法规则：,也可用三角形法则确定合力：,若已知两力间夹角a，则：,合力作用线位置：,一、汇交力系合成的几何法,对平面共点力系，由两力合成法则，依次有,21 汇交力系的合成,平面汇交力系,平面共点力系,平面汇交力系,平面汇交力系,平面共点力系,有一合力为：,其作用线过力系汇交点A。,=,=,平面汇交力系,也可用多边形法则确定合力：,b,c,d,e,任选 a 点作F1，得 b点，,为一开口的多边形 abcde，称为平面汇交力系的开口多边形。,依次作 F3、F4，得 d、e 点，,以上求合力的方法称为力
4、多边形法则。,为汇交力系合成的几何法。,由 b 点作 F2，得 c 点，,连 a c，得FR1,平面汇交力系,平面共点力系,=,说明：,1)作图时应选适当比例尺；,3)力多边形中各力应首尾相连；,4)合力 的方向是从第一个力的起点指向最后一个力的终点；,2)作图时可任意安排力的次序，所得合力 相同；,满足加法交换律,5)合力 的作用线过力系汇交点A。,平面汇交力系,b,c,d,e,平面汇交力系,平面共点力系,=,对共线力系，力多边形成为一直线。,结论：平面汇交力系可简化为一个合力，且,大小：,方向：,作用线过力系汇交点,以上求合力的方法可推广到 n 个力的情况。,此时，各力均看成代数量，设指向
5、某一方向的力为正值，相反方向的力则为负值，而合力的代数值即等于力系各力代数值的代数和。,所以有：,为正值时，其指向与所设正向相同，反之则与正向相反。,结论：汇交力系可简化为一个合力，且,大小：,方向：,作用线过力系汇交点,以上求平面汇交力系合力的方法可推广到空间汇交力系的情况。,说明：,几何法求合力需精确作图，否则结果误差较大。,但空间汇交力系的力多边形为一空间多边形，作图不便。,当力系中力的数目较多时或对空间汇交力系求解不便，常用解析法确定力系合力。,二、汇交力系合成的解析法,定义：,1.力在平面直角坐标轴上的投影、力的解析表达式,称 为力 在 x 轴上的投影，记为Fx；,称 为力 在 y
6、轴上的投影，记为Fy。,投影 Fx、Fy为代数量。,规定：,从 a 到 b 的指向与 x 轴的正向相同时，投影Fx 为正，反之为负；,从 a 到 b 的指向与 y 轴的正向相同时，投影Fy 为正，反之为负；,已知 a、b 时，有：,当 a、b 为锐角时，Fx、Fy为“+”；,当 a、b 为钝角时，Fx、Fy为“”；,特别：,力的解析表达式为：,当 与 x 轴平行时，a=0，180,当 与 y 轴平行时，b=0，180,将 沿 x、y 轴分解，得两个分力：,取单位矢量：,当已知Fx、Fy时，可确定,2.力在平面上的投影,定义：,称 矢量 为力 在 M 平面上的投影，记为。,注意：力在平面上的投影
7、为矢量，又称为投影矢量。,当已知a 时，投影矢量 的大小为：,若在 M 平面内取直角坐标系 Oxy,则可将投影矢量 向x、y 轴投影。,3.力在空间直角坐标轴上的投影,同前，有力在空间直角坐标轴上投影的定义：,Fy,Fz,Fx,力在空间直角坐标轴上的投影：,力与 x、y、z 轴正向的夹角分别为 a、b、g 时，,投影 Fx、Fy、Fz 的符号规定同前。,Fy,Fz,Fx,二次投影法：,已知力与 xy 平面的夹角为 q，,力在 xy 平面上的投影为：,得力在 x、y 轴上的投影 Fx、Fy 为：,设力与 z 轴组成的平面与 x 轴的夹角为 f，,力在 z 轴上的投影 Fz 为：,投影 Fx、Fy
8、、Fz 的符号规定同前。,力的解析表达式为：,将 沿 x、y、z 轴分解，得分力：,取单位矢量：,当已知Fx、Fy、Fz 时，可确定,如斜齿轮轮齿受力：,4.汇交力系合成的解析法,1)合力投影定理,力系各力的在某轴上的投影与力系合力在同一轴上投影的关系,设汇交力系,各力投影分别为：F1x、F2x、F3x、Fnx F1y、F2y、F3y、Fny F1z、F2z、F3z、Fnz,汇交力系合力为,由矢量代数有：,FRx=F1x+F2x+F3x+Fnx=SFix,FRy=F1y+F2y+F3y+Fny=SFiy,FRz=F1z+F2z+F3z+Fnz=SFiz,定理：力系合力在某轴上的投影等于力系各力
9、在同一轴上投 影的代数和。,其投影为：FRx、FRy、FRz,2)汇交力系合成的解析法,设汇交力系为,在 x 轴上投影为：F1x、F2x、F3x、Fnx,在 y 轴上投影为：F1y、F2y、F3y、Fny,在 z 轴上投影为：F1z、F2z、F3z、Fnz,由合力投影定理有：,FRx=F1x+F2x+F3x+Fnx=SFixFRy=F1y+F2y+F3y+Fny=SFiyFRz=F1z+F2z+F3z+Fnz=SFiz,汇交力系合力为,且,由FRx、FRy、FRz可确定 的大小和方向。,例1 求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1=200 N，F2=300 N，F3=100 N，F4=250
10、 N。,解：,由合力投影定理，得合力在轴x，y上的投影分别为：,FRx=F1x+F2x+F3x+F4x=F1cos30 F2cos60 F3cos45+F4cos45=129.3N,FRy=F1y+F2y+F3y+F4y=F1cos60+F2cos30 F3cos45 F4cos45=112.3N,合力的大小：,合力与轴 x，y 夹角的方向余弦为：,所以，合力与轴 x，y 的夹角分别为：,a=40.99，b=49.01,例2 已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承受的力 F 的三个正交分量 Fx，Fy，Fz的大小各为4.5 kN，6.3 kN，18 kN，试求力F 的大小和方向。,解：,力
11、F 的大小,力F 的方向余弦及与坐标轴的夹角为：,例3 在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴上的投影如下 表所示，试求这四个力的合力的大小和方向。,由上表得,所以合力的大小为,合力的方向余弦为：,解：,合力FR 与x，y，z 轴间夹角为：,FRx=SFix=F1x+F2x+F3x+F4x=1+2+0+2=5 kN,FRy=SFiy=10+15 5+10=30 kN,FRz=SFiz=3+4+1 2=6 kN,一、汇交力系平衡的几何条件,反之，要使汇交力系成为平衡力系，则必须使其合力为零，即力多边形自行封闭。必要性,汇交力系平衡的几何条件是：,汇交力系的力多边形自行封闭，或力系中各力的矢量和为
12、零。,22 汇交力系的平衡条件,由前，汇交力系可合成为一个合力，且其为力多边形的封闭边。,当力多边形自行封闭时，其合力为零，即,则该汇交力系为平衡力系。充分性,即：,可用来解决刚体受汇交力系作用时的平衡问题。,二、汇交力系平衡的解析条件,由前知，汇交力系的平衡条件为：,由合力的解析式有：,即：,汇交力系平衡的解析条件：,即：,力系各力在三个坐标轴上投影的代数和分别为零。,力系各力在 x 轴上投影的代数和为零；,力系各力在 y 轴上投影的代数和为零；,力系各力在 z 轴上投影的代数和为零。,上式称为汇交力系的平衡方程，可求解 3 个未知量。,对平面汇交力系，若力系位于 Oxy 平面内，,则：,为
13、平面汇交力系的平衡方程，可求解 2 个未知量。,例4 利用铰车绕过定滑轮 B 的绳子吊起一货物重P=20 kN，滑轮由两端铰接的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B。不计铰车的自重，试求杆AB和BC所受的力。,解：,1.取滑轮 B 轴销作为研究对象,2.画出受力图,3.列平衡方程：,联立求解得,约束力FAB为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反，即杆AB实际上受拉力。,解析法的符号法则：,SFx=0 FBCcos30+FAB Fsin30=0,SFy=0 FBCsin30 P Fcos30=0,FAB=5.45 kN,FBC=74.5 kN,当由平衡方程求得某一未知力为正值时，表示该力实际指
14、向与原先假定指向相同；,若结果为负值时，则该力实际方向与假设方向相反。,例5 如图所示，重物 P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 B 上。杆AB与BC铰接，并以铰链A，C与墙连接。如两杆 与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡 时杆AB和BC所受的力。,解：,取滑轮B为研究对象，忽略滑轮的大小，画受力图,列平衡方程,解方程，得杆AB和BC所受的力：,若取x1 y1为直角坐标轴时，得平衡方程为：,SFx1=0 FABcos30 F2+FBCcos30=0,此时每个方程中均含有两个未知量，需联立解方程组才能求解，过程较繁。,SFy1=0 FABsin30 F1+FBCsin30=0,F
15、BA=0.366P=7.321 kN,FBC=1.366P=27.32 kN,SFx=0 FBA+F1sin30 F2cos30=0,SFy=0 FBC F1cos30 F2sin30=0,例6 如图所示压榨机中，杆AB和BC的长度相等，自重忽略不 计。A、B、C处为铰链连接。已知活塞D上受到油缸内的 总压力为F=3kN，h=200 mm，l=1500mm。试求压块C对工件与地面的压力以及杆AB所受的力。,解：1.选活塞杆为研究对象，受力分析如图,列平衡方程,解方程，得杆AB，BC所受的力为：,2.选压块C为研究对象，受力分析如图,解方程得：,列平衡方程,SFx=0 FABcosa FCBco
16、sa=0,SFy=0 FABsina+FCBsina F=0,SFx=0 FCx+FCBcosa=0,SFy=0 FCBsina+FCy=0,例7 如图所示用起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在 地面上，B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的C 点和D点，连线CD平行于x轴。已知CE=EB=DE，角a=30，CDB平面与水平面间的夹角EBF=30，重物P=10 kN。如不计起重杆的重量，试求起重杆所受的力和绳子的拉力。,简图：,1.取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图,解：,其侧视图为,2.列平衡方程,SFx=0 F1sin45 F2sin45=0,SFy=0 FAsin30 F1cos45cos30 F2cos45cos30=0,SFz=0 F1cos45sin30+F2cos45sin30+FAcos30 P=0,3.联立求解,得：F1=F2=3.54 kN,FA=8.66 kN,解题步骤及说明：,2.分析研究对象的受力情况，作受力图：已知力、未知力。,1.选取研究对象。,3、选取适当坐标系，列平衡方程，求解。,坐标轴应与未知力作用线平行或垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。,研究对象应联系已知力和未知力。,是否汇交力系？几个未知量？能否求解？,注意平衡方程中各力投影的符号。,
