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1、地球上两点最短走法的初步探索（地球上两点间最近航线的方向判断问题的延伸）作者：郑致远，杨文君，林璐瑶山东省北镇中学2017级4班在高中地理必修一第一章行星地球的学习中，我们有时会遇上这样 一种题，下图是一架飞机从2姓起飞时的地球光照图仆月影部分为黑夜，非阻彩部分为白天），已知1地所在经度为据此回答下列问题，小题1】飞机从2处沿固中箭头路线飞往1的航向是A.先向西向西南B.从南向北C.先向茶4席向东南D.从东南向西北而地理老师，也常常给我们合理的解析，并总结一些简单的规律，有了 这些规律，至少高考就不会发愁了。但是作为一名学地理的理科生，我并不 能满足这种无意义的结论。于是，本文的核心问题油然而
2、生：对于任意的已知经度和纬度的点A、点B。如何判断两点之间的最短航线 的方向是否会发生由偏南到偏北或由偏北到偏南的转换。下面对此问题展开论述。先复习一下高中内容：对于同一纬线圈上的两点，我们知道它们最短航线的规律如下:1. 赤道（0）上正东正西走劣弧（圆心角小于180 ）2. 北半球航线向北偏（先向X北再向X南）；3. 南半球航线向南偏（先向X南再向X北）。（ps:X为东或西 走经度差小于180的一侧（废话）二. 对于同一经线圈上的两点，我们知道它们最短航线的规律如下：1. 最短航线过极点2. 最短航线为经线圈上的一部分（两点间的劣弧）3. 劣弧的寻找方法为：记N为正，S为负，将两点纬度值（处
3、理了正负之后的）相加，为正则走北极点，为负则走南极点。（你愿意反着设正负我也没办法）（ps :经线圈不解释，不懂自己查（我不信你们老师没讲过）三. 其他的一些东西1.对于地球上任意两点，我们知道它们最短航线应为过两点的大圆上两 点之间的劣弧（因为此类问题在教学中经常出现，广为人知，且不是我们讨论的焦点，故不展开解释，不懂请百度“地球上两点间最近航线的方向判断问题”） 但是仅仅知道这个还不够，什么时候这个劣弧会出现“先向东北再向东南” 之类的大方向转向，而什么时候只有“向东北”之类的大方向直飞呢？这就 是我们将重点讨论的问题。正式研究研究思路:1. 对于任意两个点的分析可能太过困难，所以我们可以
4、先从位于同一南北半球上的任意两个点入手，由于我们对于北半球相对习惯， 所以从北半球上任意的两个点开始研究。如图所示，我们找到了两个点A，点B。 由于在这一讨论中，我们忽略了地球的形 状（赤道略鼓，两极稍扁），那么不同经 度之间更为微小的差异也就理所当然的 一并省略了，直接把地球看成一个完美球 体。那么，我们就可以轻松的知道，两点的 具体经度对本问题是没有影响的，有影 响的是两点之间的经度差。所以我们可以直接把经线扔掉，得到一 个简化的地球如下图。并标明相关垂直便于理解。对于该问题，两个点的情况太多，所以想到可以考虑固定一个点， 对任意的另一个点进行讨论。所以我们把B点固定下来，并思考A、 B恰
5、好不用转弯的情况。容易想到，当B点恰好是AB大圆的最高点时恰好不用转弯，亦即 当大圆AB与B所在的纬线圈在B点恰好相切时为是否出现大方向 改变的分界情况。那么如果确定了 B点位置，又已知大圆AB的圆 心即球心O,那么就可以确定唯一的大圆OB，即A在分界情况下是 有范围的。作得分界情况如图所示。考虑极限情况，当纬度的影响远大于经度的影响时，即把经度看做 相同时，显然，此时不需要出现大方向的转向.而当经度的影响远大于纬度的影响时，即把纬度看做近似相同时。同理易知，此时需要出现大方向的转向。因此可得，当B点确定时，圆OB所截球面的右下侧橙色区域的球面为不需要出现大方向转向的A的取点范围如图那么我们的
6、计算目的就很明确了，即对于上图，计算其蓝色线条上 的任意一个不与B重合的第二点A与第一点B的关系 如图所示，A为绿色经线圈上与圆OB相交的点。做出垂直关系和相关连线后如图。设A点纬度为a，B点纬度为B，将A处放大如图所以得：赤道圆与圆OB的二面角=BA，B经度的差值为。ZAOE=aZEOD= (n/2)AC垂直于OE于CFC垂直于OD于FOD=OE=R由ZAFC=（赤道圆与圆OB的二面角）得 tanZAFC=tan B 所以：AC/CF=tan B AC/OC=tan a FC/OC=sin （n /2 - 0） =cos 0联立解得tan a =cos 0 *tan B（a不等于0）此时恰好
7、不需要大方向转向当 tan a cos 0 *tan B 时验证得，此时需要大方向转向当 tan a cos 0 *tan B 时验证得，此时不需要大方向转向2. 研究完位于同一半球的两个点之后，对位于整个球体的两个点进 行分析，根据我们之前求出来的关系，我们可以发现，这个规律基 本适用于整个球面上的任意两点。但有几个前提条件。1. 代入a，B时，记两个点纬度的绝对值大的一侧纬度值为正 值，另一半球为纬度值负值。如：若两点分别为30 N，50 S，则 分别记为-30，+50代入计算。2. 计算0时取0 cos。*tan B时，此时需要大方向转向当tan a =0）,a 为两点中纬度的绝对值小的点的纬度值。2. 若两点分属不同半球则a 04. 计算。时取。=1805. 当A, B中有极点时不适用（tan90不存在）
