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1、01莫比乌斯的发现长方形有几个面？一张四边形纸条有几条边，几个面？容易知道，有4条边，2个面。那么，能否将它变成2条边，2个面呢？这个也容易做到，只要将它卷成一个圆柱形，即可。怎么判断是两个面？只要用一种颜色的绘笔，在纸圈上的一面涂抹，涂完一个 面后，提笔才能重新涂另一个面。边也一样。四边形纸条卷成圆柱形那么再问：能否将它变成1条边，1个面呢？也就是说，能否用一种颜色，在纸 圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成这种颜色而不留下任何空白？ 莫比乌斯的发现德国数学家，天文学家莫比乌斯(August Mobius， 17901868 )困惑一道数 学几何学难题：怎样在长方形的纸条上，用一种颜色，把
2、整个纸条正反面抹成 一种颜色。他头昏脑涨之余，到野外散步，一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了他脑 中绿色的纸条。叶子弯曲耸拉下来，有许多扭成半圆形。他随便撕下一片，顺着叶子自然扭曲的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现， 这绿色的圆圈儿就是他梦寐以求的那种圈。莫比乌斯捉了一只小甲虫，放 在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。莫比乌斯圈就这样被发现了，并以他的名字命名。同时独立发现这个怪圈的还有数学家约翰李斯丁。这莫比乌斯圈有一个最令人著迷的性质：它只有一条边和一个面。莫比乌斯于1809年入莱比锡大学学习法律，后转攻数学、物理和天文，尤其涉及天文和数学两大领域。担任过
3、“数学王子”高斯(Gauss， 17771855 )的助教，后在高斯的推荐下成为特级教授和莱比锡天文台的观测 员，并于1848年成为莱比锡天文台台长。莫比乌斯在数学上有很多贡献，不过他为世人所知还多半是因为这个用他的名 字命名的奇怪曲面：莫比乌斯环。莫比乌斯也因此成了拓扑学研究的先驱者。02奇特的莫比乌斯环如莫比乌斯所做的，只要将一个长方形纸条ABCD的一端AB固定，另一端CD扭转180度后，把AB和DC粘合在一起就可得到一条莫比乌斯环。拿起手中的纸条亲自做一个“莫比乌斯圈” 吧!同学们和各位家长们，请你仔细观察上面的动态演示图，不难发现这个莫比乌 斯环：虽然在每个局部都可以说正面反面，但整体
4、上不能分隔成正面和反面，即这种曲面是只有一个面的“单侧曲面”“勤奋的小蚂蚁”若是用个只有公正的蚂蚁无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面你能走到头吗?若是在这样的二维世界里行走，你不用绕过边界就可以走遍整个世界。一条边界的曲面。这个怪圈因为具有一些奇异的性质而成为数学珍品之一。圈一支笔沿着边界涂色，不用提笔就可以涂遍整个边界，就是说它也是探寻它的神秘 （一）若是在莫比乌斯环的中间画上一条线，然后用剪刀沿着这条线剪开这个莫比乌斯环，将会得到什么呢？实验结果：如果沿着莫比乌斯环中间剪开，和一般的纸带（会分成断开的两条 环）不一样，而会形成一个比原来的莫比乌斯环周长大一倍、把纸带的端头扭 转了四次再粘合
5、一起的环。（二）若是在莫比乌斯环的三等分处画一条线，然后用剪刀沿着这条线剪开这 实验结果：如果沿着莫比乌斯环三等分处剪开，剪刀绕两个圈竟又回到原出发 点，这时会形成两条带子，其中一条和原来的周长一样长，另一条则比原来的 莫比乌斯环周长大一倍，而且两条是套在一起的。个莫比乌斯环，将会得到什么呢?（三）若是在莫比乌斯环的四等分处画一条线，然后用剪刀沿着这条线剪开这 个莫比乌斯环，将会得到什么呢？实验结果：如果沿着莫比乌斯环四等分处剪开，这时会形成两条比原来的莫比 乌斯环周长都大一倍带子，而且两条是套在一起的。（四）若是在莫比乌斯环的五等分处画一条线，然后用剪刀沿着这条线剪开这个莫比乌斯环，将会得到
6、什么呢呢？此环节的活动请你一起来参与，主动去发现吧！实验结果：如果沿着莫比乌斯环五等分处剪开，这时会形成三条带子，两条比 原来的莫比乌斯环周长都大一倍带子，另一条则和原来的周长一样长，而且三 条是套在一起的。结论由此规律，你能得出什么结论呢？（五）若是在（一）的结果基础上，对剪出来的环再沿着中间用剪刀剪开，又将得到什么结果呢？（六）将两张叠在一起的长方形纸带制成一条莫比乌斯环。（1）将两张叠在一起的长方形纸带同时扭转半圈，把相应的端头粘合在一起;（2）把食指放在两层带之间移动；（3）把双层带拉开成单层带，比较双、单层带的长度与扭转半圈数；（4）将单层带恢复为双层带，同时沿它的中间线剪开。通过以
7、上这些步骤，分别又会发现什么呢？好吧！你们可以自己玩玩！相信一定能感受到这个“怪圈”神奇了。04生活、艺术中的莫比乌斯环莫比乌斯环乍看起来似乎不过是数学中意外发现的一个新奇的玩具而已。其实，这个“怪圈”远非数学中的一个拓扑游戏。莫比乌斯1858年发现了它，可有关论文在巴黎研究院的卷宗里埋藏了 7年之久. 1865年发表出来后以奇妙的单侧单面性吸引无数学者步入拓扑的殿堂，从而促 进了拓扑学的形成和发展。它更因其所具有的特性和内在的意义，被大量的运 用于生活和艺术设计中。1. 莫比乌斯环传动带普通传动带有两个面，只用到一面，而以莫比乌斯环做传动带，因它只有一而 损耗就较平均，从而可延长使用寿命，提
8、高了利用效率。1979年，美国著名轮胎公司百路驰创造性地把传送带制成莫比乌斯圈形状，这 样一来，整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了普通传送带单面受损的 情况，使得其寿命延长了整整一倍。另外，针式打印机中的色带，为充分利用其表面，常被设计成莫比乌斯环。再 如，音乐磁带中莫比乌斯圈的运用，可以加大磁带的信息承载量。2. 莫比乌斯圈过山车在美国匹兹堡著名肯尼森林游乐园里，就有一部“加强版”的云霄飞车一一它 的轨道被设计成一个莫比乌斯圈。乘客在轨道的两面上飞驰。相信，定然很刺 激。3. 各种莫比乌斯环标志莫比乌斯圈循环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义，因此常被用于各 类标志设计。微处理器厂
9、商Power Architecture的商标就是一条莫比乌斯圈，PowerArchitecture技术是一个主流平台，被广泛应用于包括汽车控制、远程通讯、 无线和有线基础架构、企业网络、服务器和数字家庭。国际通用的循环再造标志就是一个绿色的、摆放成三角形的莫比乌斯带，如垃 圾回收标志。4.埃舍尔的莫比乌斯带系列作品在所有莫比乌斯环的艺术作品中，荷兰的图形艺术家M.C.埃舍尔(M. C. Escher， 18981972 )的莫比乌斯带系列最能表现莫比乌斯环的生动形象，同时也 是最具震撼力的作品了。作为荷兰科学思维版画大师的M.C.埃舍尔是20世纪画坛中独树一帜的艺术家。 让埃舍尔备受拓扑学家关
10、注的原因则是他对于莫比乌斯环的艺术上的理解。 当然，埃舍尔并不是一开始就想到莫比乌斯环的。他曾表示：“1960年，一位 英国数学家（我已经记不起他的名字了）劝我作一幅莫比乌斯环的版画。而那 时我对这个东西还几乎一无所知。”然而，莫比乌斯环似乎一直在等待真正赏识它的人出现，一旦埃舍尔发现了它，它立即就成了埃舍尔的主题。他曾多次绘制这个有趣的莫比乌斯环：莫比乌斯I（Mobius I, 1963）骑士（Horseman，木刻，1946）缠着魔带的立方体(Cube with Magic Ribbons, 1957 )莫比乌斯带“埃舍尔不仅画各种莫比乌斯环，却并不拘泥于典型的莫比乌斯环。他将其与 自己擅
11、长的镶嵌画融合，探索各种可能，达到了形形色色的奇妙效果。”如，莫比乌斯II(Mobius II, 1963)中生动形象地展示了莫比乌斯环的拓 扑学性质。一只红蚂蚁无限地爬下去，不断地在里侧外侧徘徊，形象地展示了 莫比乌斯环的一个面的特性。如此便将理解晦涩的理论所需的空间想象能力降 低，使之更易被人所理解。5. 莫比乌斯环触发的各种设计创意上海世博会的湖南馆“桃花源里湘都(xiangdu)”，主体建筑外观采用了双莫 比乌斯环扣造型，外表用纸装饰，远观如一尊巨大的动态雕塑艺术品。整个“魔 比思环”就像展开的卷轴，环体上的影像组成循环流动的彩带，时而全景演播， 时而滚动变化，时而回归为纯净的留白，给
12、人以更多静思与遐想的空间。还有坐落在哈萨克斯坦共和国首都阿斯塔纳的哈萨克斯坦国家图书馆集现代特 色和传统经典于一身，整个建筑呈向内“循环”的螺旋流线造型，简约而雅致。BIG建筑师事务所资金合伙人BjarkeIngels解释道：“国家图书馆的设计是将 穿越空间与时间的四个世界性经典造型一一圆形、环形、拱形和圆顶形一一以 莫比乌斯环的形式融合在了一起。它拥有环形的清晰明了，拥有圆形大厅的庭院设计、拥有拱形的走廊通道，以 及蒙古圆顶帐篷般的柔和轮廓，四种建筑原型的结合创造了一个新的兼具地方 性和国际性特色，既现代又永恒经典，既独特又具有建筑归属感的全新国家标 志性建筑。”这种建筑设计，可以在同样平面
13、面积中通过不同角度的“空间扭曲”而让原有 的空间在不同方向得以“延伸”，从而获得更多的可用空间。“它让墙壁在不 同的角度变化，时而是墙，时而是屋顶，时而成了地板，最后又变成了墙。”国 家图书馆项目负责人托马斯克里斯托弗森如是说。又如，这是中国科技馆的展品之一，叫“三叶扭结”。它是由“莫比乌斯环” 演变而成的，是由一条三棱柱带经过三次盘绕，将其中的一端旋转120后首尾 相接，构成三面连通的单侧单边的三叶扭结造型。三叶扭结虽是立体图形，但 只有一个面，即单侧面。这蓝白相间的灯不停地闪烁，乍看是个漂亮的灯饰， 但细瞧，它也只有一面和一边，正喻示着科学没有国界，各种科学之间没有边 界，科学是相互连通的
14、，科学和艺术也是相互连通的!一年一度的英国古德伍德速度节上，为莲花汽车公司设计的雕塑，以类似莫比 乌斯环的无限延伸空间向人们展示了汽车竞速的无限乐趣，无论是形体还是构 思都让人无比震撼。6. 邮票上的莫比乌斯环ISVERIGE瑞典1982年发行了 “不可能的图形”系列邮票，其中有一枚邮票，这是一个立 体化的“莫比乌斯圈”。只是，这种莫比乌斯环在现实中是不可能存在的，意 在引导人们关注科学，探索宇宙不解之谜。7. 史上最浪漫的结婚戒指这枚莫比乌斯环婚戒标写着：“我会一直在你身边！”真是寓意深远！8. 影视、文学作品中的莫比乌斯环以爱丽丝漫游奇境享誉文坛的路易斯卡洛尔，恐怕是世界上最有数学情怀 的
15、童话作家。在他的故事中，少不了妙趣横生的数学谜题。其中“手绢中的宇 宙”就是如此一个奥妙无穷的莫比乌斯环：怎样用两张方手绢，缝成一个没有 里面与外面之分的“口袋”？一一这个口袋由于两面相通，所以能够“装下全 宇宙”。由A.J.Deutsch创作的短篇小说一个叫莫比乌斯的地铁站为波士顿地铁站 创造了一个新的行驶线路，整个线路按照莫比乌斯方式扭曲，走入这个线路的 火车都消失不见。哆啦A梦（赶走讨厌的客人）一集中，哆啦A梦有个道具的外观就是莫比 乌斯带，在故事中，只要将这个环套在门把上，则外面的人进来之后，看到的 仍然是外面。9.密码青铜西班牙现代雕塑大师苏比拉克作品的“密码”这件作品由三部分组成：
16、作品上部分的数字方格是“苏比拉克幻方”，方框内的16个数字横、竖、斜或 分组相加均为33。33是耶稣死亡的年龄，也是耶稣复活的年龄！作品中间部分的“环带”就是“莫比乌斯带”，象征无限远的意义。同时，又有魔幻和神秘之意义。作品下部分的织物皱褶则象征古希腊文明的艺术特点。整个作品将组合数学与拓扑学等科学主题与雕塑艺术融合在一起，算是用艺术表现科学的杰出典范。最后，我们以这样一个故事结束吧！一位农夫请了工程师、物理学家、逻辑学家和拓扑学家来解决一个问题，想用最少的篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线，假设篱笆有无限长，认为围起半个地 球总够大了。逻辑学家用很少的篱笆把自己围起来，自豪地说：“我现在是在外面。”最后，拓扑学家来了，用篱笆围出一个莫比乌斯环，说：“我的这边就是。” 于是，他围住了整个平面。
