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1、练习题二：微元法A1、如图所示，一个身高为h的人在灯下以均匀速度v沿水平直线行走，设灯距地面高为H，求证人影的顶端。点是做匀速直线运动。解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。设某一时间人经过AB处，再经过一微小过程 t (t-O)，则人由AB到达A，B，人影顶端C点到达C，点，由于 XA/uvt则人影顶端的AVAS口移动速度 v = lim g = lim H 一 h A = C A0 AtA0At H - h可见vc与所取时间的长短无关，所以人影的顶端C点做匀速直线运动。(本题 也可用相似三角形的知识解)。A2、如图14-2所示，岸高为h，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为
2、。时， 收绳速率为u，则该位置船的速率为多大？解析要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间求它的平均速 率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率.设船在9角位置经At时间向左行驶A距离，滑轮右侧的绳长缩短AL，如图142 甲所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，ABC可近似看做是一直角三角形，因而有 AL = Ax cos9两边同除以At得：AL =Axcos9，即收绳速率u=u cos。At At船u因此船的速率为u宜几=一船 cos。0 V CA3、如图2所示，在绳的C端以速度v匀速收绳从而拉动低处的物体M水平前进一当绳A0段与水平恰成a角时，物体M的速度多大？
3、 v/(1+cosa) MA4、一只狐狸以不变的速度U沿着直线AB逃跑，一只猎犬 以不变的速率u 2追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FDAB, 且 FD=L,如图141所示，求猎犬的加速 度的大小.解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度a =咬,r为猎一pTJ图41r 1 /犬所在处的曲率半径，因为r不断变化，故猎犬的加速度I /的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D处的加堤怜I瑚速度大小，由于。2大小不变，如果求出D点的曲率半径，D图142一甲此时猎犬的加速度大小也就求得了.猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和
4、方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间A内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R，则加速度其方向与速度方向垂直，如图141一甲所示.在At时间内，设狐狸与猎犬分别至U达F 与D ，猎犬的速度方向转过的角度为a而狐狸跑过的距离是：七At & aL因而七*2七At爪,R=L七U 2/L所以猎犬的加速度大小为a = 2 U 2A5、电量Q均匀分布在半径为R的圆环上（如图314所示），求在圆环轴线上距圆心0点为X处的P点的电场图314强度.解析：带电圆环产生的电场不能看做点电荷产生的电场， 故采用微元法，用点电荷形成的电场结合对称性求解.选电荷元Aq = RA，它在P点产生的电场
5、的场强的X分量为：2兀RAqRA0QXx- TT2kR （R 2 + x 2；r 2 + x 2根据对称性 E =LAE = kQxSa0 = kQx2n= , kQxX 2(R2 + X2)32兀 l：(R2 + X2)3v(R2 + X2)3由此可见，此带电圆环在轴线P点产生的场强大小相当于带电圆环带电量集中在圆环的某一 点时在轴线P点产生的场强大小，方向是沿轴线的方向.B3、一个原来不带电的半径为r的空心金属球放在绝缘支架上，右侧放置一个电荷量为+Q的点电荷，点电荷到金属球表面的最近距离为r，则金属球上的感应电_Q荷在球心处激发的电场强度大小为k化2，方向向右Q解：点电荷Q在球心处产生的
6、场强E=k击，方向水平向左，则球面上感应电荷在球心O处的场强大小QE，=E=k击，方向水平向右.B4、一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度V的大小与距老鼠洞中心的距离s成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s1 = 1m的A点时，速度大小为V = 20cm/s，问当老鼠到达距老鼠洞中心s2 = 2m的B点时，其速度大小v2 = ?老鼠从A点到达B点所用的时间t =?解析：因为老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出的速度与通过的距离成反比，则不能通 过匀速运动、匀变速运动公式直接求解，但可以通过图象法求解，因为在1s图象中，所v围面积即为所求的时间。以距离s为横轴，1为纵轴建立直角坐标系，则s与1成正
7、比，作vv1 s图象如图113所示，由图可得s = 2m时，老鼠的速度为10cm/s。在1m到2m之间 v图象与横轴包围的面积即为所求的时间，所以老鼠从（工 + 土昌=7.5s。0.2 0.12A到B爬行的时间为:B5、1、A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度 均为v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方 向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？解析：以地面为参考系，三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线，但根据对称性，三只猎犬最后相交 于三角形的中心点，在追捕过程中，三只猎犬的位置构成三
8、角形的形状不变，以绕O点旋转的参考系来描 述，可认为三角形不转动，而是三个顶点向中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可。由题意作图73，设顶点到中心的距离为s，则由巳知条件得：s =* a由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为：v = vcos30 =-厂vVq是绕O点转动的速度/ :,.-s 2a由此可知三角形收缩到中心的时间为：t二一二厂,v 3v解析：由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分 别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图61所示。所以要想求出捕捉的时 间，则需用微元法将等速率曲
9、线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解。在每一个At内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔At，正三角形的边长分别为aaa、3aAAi BBiCos60 = a vAt显然当0时三只猎犬相遇。人设经时间t可捕捉猎物，再把t分为n个微小时间间隔 t3a2 vAt =3a3X 一vAt2a = an -3 vAt23vAt=2B6、如图所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光 滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，B端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为P . 试求铁链A端受的拉力T.解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析
10、铁链的受力情况，以看成质点，分析每一小段铁边的受力，力情况.在铁链上任取长为AL的一小段（微元）因为a 0，即 nAt= t须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可 根据物体的平衡条件得出整条铁链的受为研究对象，其受力分析如图甲所示.由33ai - vAt = a2X 5 vAti+12、解法设-：元功法在拉力T作用下移动A于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：T +AT =AG cos 9 + T AT = G cos 0 = pMg cos 0由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大ATe，所以整个铁链对A端的拉力 是各段上M。的和，即T = SaT =ZpALg cos
11、 0 = pg ZaL cos 01、观察ALcos0的意义，见图乙，由于。很小，所以CDOC，ZOCE= QALcos 9表 示L在竖直方向上的投影AR，所以 旻cos0 = R 可得铁链A端受的拉力T = pg ZAL cos 0 = pgRT.i则 TAx = p AxgR得 T = p gR解法二：微元法取A0则Am = pA0又 T - T = Amg cos 0即AT = Amg cos0 = pRg cos0 .A0而RA0 = ALAL cos 0为圆弧的水平分元 求和得T = AT = pgRB7、一根质量为M,长度为L的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接 触，今
12、将链条由静止释放，让它落到地面上，如图37所示，求链条下落了长度x时，链 条对地面的压力为多大？解析：在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地面的“冲力”加上落在地面上 那部分链条的重力.根据牛顿第三定律，这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力， 这个力的冲量，使得链条落至地面时的动量发生变化.由于各质元原来的高度不同，落到地 面的速度不同，动量改变也不相同.我们取某一时刻一小段链条（微元）作为研究对象，就 可以将变速冲击变为恒速冲击.设开始下落的时刻t=0，在t时刻落在地面上的链条长为x，未到达地面部分链条的速度为V， 并设链条的线密度为P.由题意可知，链条落至地面后，速度立即
13、变为零.从t时刻起取很小 一段时间，在内又有 M=PAx落到地面上静止.地面对AM作用的冲量为(F -AMg)At = AI 因为 AMg A 0所以FAt = AM - v一0 = pvAx解得冲力:一AxAxF = P V At 其中&就是t时刻链条的速度， 故F = p V2链条在t时刻的速度v即为链条下落长为x时的即时速度，即v2=2gx，代入F的表达式中，得F = 2pgx 此即t时刻链对地面的作用力，也就是t时刻链条对地面的冲力.3Mgx所以在t时刻链条对地面的总压力为N = 2 pgx + pgx = 3 pgx =B8、一截面呈圆形的细管被弯成大圆环，并固定在 竖直面内，在环内
14、的环底A处有一质量为m、直径比管 径略小的小球，小球上连有一根穿过环顶B处管口的轻 绳，在外力F作用下小球以恒定速度v沿管壁做半径为 R的匀速圆周运动，如图3所示.已知小球与管内壁中位于大环外侧部分的动摩擦因数为R，而大环内侧 部分管内壁是光滑的.忽略大环内、外侧半径的差 别，认为均为R.试求小球从A点运动到B点过程 中F做的功W解析：由于WF = wg + Wf，故寻求Wf即可。*.* f = gN 而 N mgcosO = m2Rf = gmgcosO + gm 旦R将轨道分为很多微小的元段，每个元段的长度为AS，则每元段对应摩擦力做功dWf = gmgcosO A S + gm A S=
15、gmg Sx + gm A S功是标量，求和遵从代数累积，故Wf匪关+ g咔件。其结果需要分两种情形讨论(1)若N始终存在且大于零，即mgcosn + m2 N0 (或v2gR)，则求和为全程累积，R有 SSx = 0，NS = nR，(2)若 Y2gR , N所以 Wf = gnmv2 ；存在的最大角度0= arccos二竺，求和为部分累积，有NSmax gRRsinOmax，SS = R0max，所以W = gmgRi - (-v2)2 + gm v2 Rarccos v2 = gm ( ig2R2 - V4 + v2arccos v2 ) fgR R gRgR答案：若 v2gR，则 Wf
16、 = 2mgR + gnmv2 ；若 v2gR，则 Wf = 2mgR + gm( t g2R2 - v4 +-v2 、v2arccos )。gRC1、把一个容器内的空气抽出一些，压强降为p，容器上有一小孔，上有塞子，现把塞子拔掉，如图313所示._问空气最初以多大初速度冲进容器？(外界空气压强为p0、f密度为p )解析：该题由于不知开始时进入容器内分有多少，不知它I一一!们在容器外如何分布，也不知空气分子进入容器后压强如* - f何变化，使我们难以找到解题途径.注意到题目中“最初”二字，可以这样考虑：设小孔的面积为S，取开始时位于小孔外一薄层气体为研究对象，令 薄层厚度为L，因AL很小，所以
17、其质量Am进入容器过程中，不改变容器压强，故此薄 层所受外力是恒力，该问题就可以解决了.由以上分析，得：F=(p0-p)S对进入的m气体，由动能定理得：FAL = mv2 而mup SL联立、式可得：最初中进容器的空气速度v =I - P）T所PM LR VC2、一质量为M且均匀分布的圆环半径为r,几何轴与 能经受的最大张力为T,求此圆环可以绕几何轴旋转的最 解析：因为向心力F=mr32，当3一定时，r越大，向心力越大， 对应的角速度3, r应取最大值.如图36所示，在圆环上取一小段 L，对应的圆心角AAO _0，其质量可表示为AmM，受圆环对它的张2兀AO .力为T，则同上例分析可得2Tsi
18、n二厂=Amr2 m . AOAO图3-6因为0很小，所以sin p ，即AOAO2kT2八5 =况如解得最大角速度MC3、在近地表面上空，一枚质量为M的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止， 如果喷出气体的速度为s那么火箭发动机的功率是多少？（火箭的质量视为不变）Ff解析:如图所示选取在At时间内喷出的气体柱Am为研究对象，设火箭推气体的力为F , 根据动量定理有FAt = Amv（忽略了 Am气体本身的重力）因为火箭静止 在空中，根据牛顿第三定律有F =F = Mg对这一部分气体，发动机所 做的功W等于这部分气体动能的增加，根据动能定理有W=?Amv21A匚Amv2 /根据功率的概念有p=K=m=2Mgv.M解析：火箭喷气时，要对气体做功，取一个很短的时间，求出此时间内， 火箭对气体做的功，再代入功率的定义式即可求出火箭发动机的功率 选取在时间内喷出的气体为研究对象，设火箭推气体的力为F，根据动量定理，有FAt=Am v 因为火箭静止在空中，所以根据牛顿第三定律和平衡条件有F=Mg 即 Mg t=m v t=m v/Mg对同样这一部分气体用动能定理，火箭对它做的功为：W = 1 mv 21 A 9w2Amv 21所以发动机的功率P = M、=耳MgVAt (AmV / Mg) 2
