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1、材料力学,哈尔滨建筑大学 张如三重庆建筑大学 王天明,教材选用：,中国建筑工业出版社,课件制作：陶钦贵, 研究截面几何性质的意义,应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A、极惯性矩IP、惯性矩Iz等一些几何量密切相关。因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。 另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。,第五节 截面的主惯性轴和主惯性矩,第四节 惯性矩和惯性积的转轴公式,第三节 平行移轴公式,第二
2、节 惯性矩、极惯性矩、惯性积,第一节 静矩、形心及其相互关系,第五章 平面图形的几何性质,第一节 梁的内力, 梁的类型:, 简支梁：一端固定铰支、另一端可动铰支的梁。, 外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁。, 悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁。,常见静定梁,静不定梁:,约束反力数超过有效平衡方程数的梁。,静矩是面积与它到轴的距离之积。,平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。它常用单位是m3或mm3。,图形对于 y 轴的静矩：,图形对于 z 轴的静矩：,第一节 静矩、形心及其相互关系, 静矩的概念:,定义：
3、形心即是图形几何形状的中心。,第一节 静矩、形心及其相互关系, 平面图形的形心:,形心的位置只与平面图形的几何形状、尺寸有关。(1)图形具有一根对称轴，则形心在此对称轴上；(2)图形有两根对称轴，则形心在两对称轴的交点；(3)三角形平面图形，其形心在三角形的三根中线的交点上，距各边相应高度的13处。,平面图形的形心坐标,当微面积A0时，则用积分法求形心坐标：,第一节 静矩、形心及其相互关系, 平面图形的形心:,平面图形对z 轴（或 y 轴）的静矩，等于该图形面积A与其形心坐标yC（或 zC ）的乘积。,第一节 静矩、形心及其相互关系, 形心与静矩的关系:,当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为
4、零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。通过平面图形形心的轴称为形心轴。 如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。, 已知静矩可以确定图形的形心坐标, 已知图形的形心坐标可以确定静矩,第一节 静矩、形心及其相互关系, 形心与静矩的关系:,第一节 静矩、形心及其相互关系, 组合图形的静矩和形心:,组合图形：由若干个简单图形（矩形、三角形、圆等）组成的平面图形即组合图形。,组合图形对z 轴（或 y 轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即：,式中 yC i 、zC i 及Ai 分别为各简单图形的形心坐标和面积; n
5、为组成组合图形的简单图形的个数。,组合图形形心坐标的计算公式,第一节 静矩、形心及其相互关系, 组合图形的静矩和形心:,例1 试计算如图所示的平面图形对z和y的静矩，并求该图形的形心位置。,解 将平面图形看作由矩形和组成,矩形,矩形,A1=10120mm2=1200mm2,A2=7010mm2=700mm2,该平面图形对z轴和y轴的静矩分别为,求得该平面图形的形心坐标为,A1=1200mm2,A2=700mm2,另解：用负面积法求解。将平面图形看作由大矩形减去矩形组成。,矩形:,矩形:,A1=80120=9600mm2,A2= 70110mm2= 7700mm2,求得该平面图形的形心坐标为,惯
6、性矩是面积与它到轴的距离的平方之积。,极惯性矩是面积对极点的二次矩。,惯性矩是对坐标轴来说的，同一图形对不同的坐标轴其惯性矩不同。惯性矩的数值恒为正。 极惯性矩是对点来说的，同一图形对不同点的极惯性矩也各不相同。 常用单位为 m4 或 mm4 。,第二节 惯性矩、极惯性矩、惯性积, 惯性矩与极惯性矩:,惯性积是面积与其到两轴距离之积。,惯性积是平面图形对某两个正交坐标轴而言，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。惯性积可能为正或负，也可能为零。 单位: m4或mm4。,第二节 惯性矩、极惯性矩、惯性积, 惯性积:,如果坐标轴 z 或 y 中有一根是图形的对称轴，则该图形对这一对坐标轴的惯性
7、积一定等于零。,第二节 惯性矩、极惯性矩、惯性积, 惯性积:,式中 iz、iy、iP 分别称为平面图形对z 轴、y 轴、和极点的惯性半径，也叫回转半径。单位为 m 或 mm。,或改写成,惯性半径愈大，平面图形对该轴的惯性矩（或对极点的极惯性矩）也愈大。,常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即,第二节 惯性矩、极惯性矩、惯性积, 惯性半径:,组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴惯性矩之和。即,第二节 惯性矩、极惯性矩、惯性积, 组合图形的惯性矩:,例2 矩形截面的尺寸如图所示。试计算矩形截面对其形心轴 z、y 的惯性矩、惯性半径及惯性积。,解 (1)
8、计算矩形截面对z 轴和y轴的惯性矩 取平行于 z 轴的微面积dA， dA到z轴的距离为 y，则 dA=b dy,截面对z 轴的惯性矩为,截面对 y 轴的惯性矩为,(2) 计算矩形截面对z轴、y轴的惯性半径截面对z 轴和y 轴的惯性半径分别为,(3) 计算矩形截面对 y、z 轴的惯性积因为z、y 轴为矩形截面的两根对称轴，故,例2 矩形截面的尺寸如图所示。试计算矩形截面对其形心轴 z、y 的惯性矩、惯性半径及惯性积。,例3 计算圆形截面对其形心轴 z、y 的惯性矩及惯性半径,对圆心C的极惯性矩。,解 取平行于 z 轴的微面积dA， dA到z轴的距离为 y,截面对z 轴的惯性矩为,根据对称性:,D
9、,R,惯性半径：,截面对C 的极惯性矩为,对于图示的空心圆，可看成是两个同心圆形的组合，则惯性矩为,极惯性矩：,第二节 惯性矩、极惯性矩、惯性积, 组合图形的惯性矩:,式中： a，b图形形心在yoz坐标系中的坐标，或形心轴与其平行轴的距离。 A图形面积。Iyc 、Izc图形对形心轴的惯性矩。 Iyczc图形对形心轴的惯性积。,图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。 由于a2（或b2）恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。,第三节 平行移轴公式,例4 计算如图所示的矩形截面对z1轴和y1轴的惯性矩。,解 z、y轴
10、是矩形截面的形心轴，它们分别与z1轴和y1轴平行，则由平行移轴公式得，矩形截面对z1轴和y1轴的惯性矩分别为,第三节 平行移轴公式,组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴惯性矩之和。即,计算组合图形对其形心轴的惯性矩步骤： 1. 确定组合图形的形心位置； 2. 求得各简单图形对自身形心轴的惯性矩； 3. 利用平行移轴公式，就可计算出组合图形对其形心轴的惯性矩。,第三节 平行移轴公式, 用平行移轴公式计算组合图形对其形心轴的惯性矩:,zc,C,例5 试计算图示T形截面对形心轴的惯性矩。,yc,第三节 平行移轴公式,解 （1） 求截面形心位置,由于截面有一根对称轴y，故形心
11、必在此轴上，即,zc=0,选坐标系yoz，以确定截面形心的位置yC。将截面图形分为两个矩形。,矩形,矩形,例5 试计算图示T形截面对形心轴的惯性矩。,zc,C,y,（2）计算 Izc及 Iy c,整个截面图形对其形心轴zc、yc 的惯性矩应分别等于两个矩形对zc、yc 轴的惯性矩之和。即：,其中：,yc,对自身形心轴的惯性矩,平行移轴公式,计算 Iy c,两个矩形对自身形心轴yc的惯性矩分别为,yc轴正好经过矩形截面A1和A2的形心，所以,yc,计算 Izc,两个矩形对自身形心轴的惯性矩分别为,yc,所以,其中：,yz坐标轴绕原点旋转角至y1z1时，图形对转动前后坐标轴的惯性矩和惯性积的关系可
12、表示为：,已知： Iy、Iz、Iyz、,可求： Iy1、Iz1、Iy1z1,第四节 惯性矩和惯性积的转轴公式,主惯性轴: 若平面图形对通过O点的任意两根正交坐标轴z、y的惯性积 Iyz0，则这对坐标轴称为通过O点的主惯性轴，简称主轴。 主惯性矩：截面对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。 形心主惯性矩：图形对应任意点（图形内或图形外）都有主轴，而过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩（简称形心主矩）。形心主惯性矩一个为最大，一个为最小。,工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。,第五节 截面的主惯性轴和主惯性矩,对于具有对称轴的平面图形，其形心主轴的位置可按如下方法确定：
13、1）如果图形有一根对称轴，则该轴必是形心主轴，而另一根形心主轴通过图形的形心且与该轴垂直。 2）如果图形有两根对称轴，则该两轴就是形心主轴。 3）如果图形具有两个以上的对称轴，则任一根对称轴都是形心主轴，且对任一形心主轴的惯性矩都相等。,第五节 截面的主惯性轴和主惯性矩,静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是不同坐标系中的数值有一定的关系。2. Iz、Iy 恒为正，Sz、Sy、Iyz可正可负，与坐标轴位置有关。3. 对形心轴静矩为0，对称轴 Iyz = 0，对称轴就是形心 主惯性轴。4. 平行移轴公式中，对形心轴的惯性矩最小。5. 主惯性系不唯一，但主形心惯性系唯一； 主形心惯性矩一个为最大，一个为最小。,截面几何性质小结,
