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1、2023/6/3,1,第八节 函数的连续性与函数的间断点,一、问题的提出,二、函数的连续性,三、函数的间断点,四、小结与思考判断题,第一章,2023/6/3,2,一、问题的提出,一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性。,连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，从图形上看，函数的图象连绵不断。,2023/6/3,3,二、函数的连续性,1.函数的增量,2023/6/3,4,2、函数在一点连续的定义,2023/6/3,5,2023/6/3,6,例1,证,由定义知，,2023/6/3,7,3、单侧连续性,左连续,右连续,结论,2023/6/3,8,例2.,解,右连续但不左连续,
2、2023/6/3,9,4、区间上的连续函数,在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。,注:连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。,有理整函数在区间(-,+)内是连续的。,有理分式函数在其定义域内的每一点是连续的。,2023/6/3,10,例3.,证,(夹逼准则）,2023/6/3,11,在,在,三、函数的间断点,(1)函数,(2)函数,不存在;,(3)函数,存在,但,不连续:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一函数 f(x)在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为间断点.,在,无定义;,2023/6/3,12,间断点分类:,第一类
3、间断点:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点.,为跳跃间断点.,为无穷间断点.,为振荡间断点.,2023/6/3,13,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,为可去间断点.,例4.,2023/6/3,14,显然,为其可去间断点.,(4),(5),为其跳跃间断点.,2023/6/3,15,例5.,解,注 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,2023/6/3,16,例6.,解,2023/6/3,17,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,2023/6/3,18,思考与练习,1.讨论函数,x=2 是第二类无穷间断点.,间断点的类型.,2.设,时,提示:,3.P64 题 2,P65 题 5,为,连续函数.,答案:x=1 是第一类可去间断点,2023/6/3,19,P65 题5 提示:,作业 P64 3;4,仅在x=0处连续,其余各点处处间断,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,
