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1、要点梳理1.直线与圆的位置关系 位置关系有三种：、.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：（1）代数法：（2）几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径 r的大小关系:dr 相交,d=r 相切,dr 相离.,9.4 直线、圆的位置关系,基础知识 自主学习,相离,相交,相切,判别式=b2-4ac,2.计算直线被圆截得的弦长的常用方法（1）几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一 半及半径构成直角三角形计算.（2）代数方法 运用韦达定理及弦长公式|AB|=|xA-xB|=说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.,3.求过点P（x0,y0）的圆x2+y2=r2的切线方程（1）若P（x0，
2、y0）在圆x2+y2=r2上，则以P为切点的圆的切线方程为：.（2）若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2外，则过P的切 线方程可设为：y-y0=k（x-x0），利用待定系数 法求解.说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的 情况.,x0 x+y0y=r2,4.圆与圆的位置关系的判定 设C1：（x-a1）2+（y-b1）2=r（r10）,C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r(r20),则有:|C1C2|r1+r2 C1与C2;|C1C2|=r1+r2 C1与C2;|r1-r2|C1C2|r1+r2 C1与C2；|C1C2|=|r1-r2|（r1r2）C1与C2；|C1C2|r1-r2|C
3、1与C2.,相离,外切,相交,内切,内含,基础自测1.（2008陕西）直线 x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于（）A.或-B.-或3 C.-3 或 D.-3 或3 解析 将圆x2+y2-2x-2=0化为标准方程得+y2=3,直线与圆相切说明圆心到直线的距离等 于半径,则有 m=-3 或.,C,(x-1)2,2.圆x2+y2-4x=0在点P（1,）处的切线方程为（）A.x+y-2=0 B.x+y-4=0 C.x-y+4=0 D.x-y+2=0 解析 圆方程为（x-2）2+y2=4，圆心（2，0），半径为2，点P在圆上，设切线方程为y-=k(x-1),即kx-y-k+=0
4、,解得k=切线方程为y-(x-1),即x-y+2=0.,D,3.（2009陕西理，4）过原点且倾斜角为60的 直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为（）A.B.2 C.D.2 解析 过原点且倾斜角为60的直线方程为 x-y=0,圆x2+(y-2)2=4的圆心（0，2）到直线的距离为d=因此弦长为,D,4.圆C1：x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2：x2+y2-4x-2y+1=0 的公切线有且仅有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析 C1：（x+1）2+（y+1）2=4，圆心C1（-1，-1），半径r1=2.C2：（x-2）2+（y-1）2=4，圆心C2（2，1），半径r2=
5、2.|C1C2|=，0|C1C2|r1+r2=4,两圆相交，有两条公切线.,B,5.若圆x2+y2=4上仅有一个点到直线x-y-b=0的距离 为1，则实数b=.解析 由已知可得，圆心到直线x-y-b=0的距离 为3，=3，b=3.,题型一 直线与圆的位置关系【例1】已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（mR）.（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线 被各圆截得的弦长相等.,题型分类 深度剖析,用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求出圆心坐标，消去m就得关于圆心的坐
6、标间的关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦长.,思维启迪,（1）证明 配方得：(x-3m)2+y-（m-1）2=25，设圆心为（x，y），消去m得x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上.（2）解 设与l平行的直线是l1：x-3y+b=0，则圆心到直线l1的距离为圆的半径为r=5，当dr，即-5-3b5-3时，直线与圆相交；当d=r,即b=5-3时，直线与圆相切；当dr，即b-5-3或b5-3时，直线与圆相离.,（3）证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直 线l1：x-3y+b=0，
7、由于圆心到直线l1的距离 d=且r和d均为常量.任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截 得的弦长相等.,探究提高 判断直线与圆的位置关系可以看成它们构成的方程组有无实数解，也可以根据圆心到直线的距离与半径长的关系进行判断.求圆的弦长有多种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后所得方程两根为x1、x2,则弦长d=|x1-x2|;三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求.对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷.本题所用方法就是第三种方法.,知能迁移1 m为
8、何值时，直线2x-y+m=0与圆x2+y2=5.（1）无公共点；（2）截得的弦长为2；（3）交点处两条半径互相垂直.解（1）由已知，圆心为O（0，0），半径r=,圆心到直线2x-y+m=0的距离 直线与圆无公共点，dr,即 m5或m-5.故当m5或m-5时，直线与圆无公共点.,（2）如图所示，由平面几何垂径定理知r2-d2=12，即5-=1.得m=2,当m=2 时，直线被圆截得的弦长为2.（3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直，弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，d=，即解得m=故当m=时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直.,题型二 圆的切线及弦长问题【例2】已知点M（3，1），直线
9、ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.（1）求过M点的圆的切线方程；（2）若直线ax-y+4=0与圆相切，求a的值；（3）若直线ax-y+4=0与圆相交于A，B两点，且 弦AB的长为2，求a的值.,思维启迪,解（1）圆心C（1，2），半径为r=2,当直线的斜率不存在时，方程为x=3.由圆心C（1，2）到直线x=3的距离d=3-1=2=r知，此时，直线与圆相切.当直线的斜率存在时，设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.由题意知 解得k=.方程为y-1=(x-3),即3x-4y-5=0.故过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.,（2）由题意有 解得a=0
10、或a=.（3）圆心到直线ax-y+4=0的距离为 解得a=-.,探究提高 求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上.若在圆上,该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解.注意，需考虑无斜率的情况.求弦长问题，要充分运用圆的几何性质.,知能迁移2 已知点A（1，a），圆x2+y2=4.（1）若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及 切线方程；（2）若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线 被圆截得的弦长为2，求a的值.解（1）由于过点A的圆的切线只有一条，则点 A在圆上，故12+a2=4，a=.当a=时,A（1，）,切线方程为x+y-4=0；当a=-时,A（1
11、,-）,切线方程为x-y-4=0，a=时，切线方程为x+y-4=0,a=-时，切线方程为x-y-4=0.,(2)设直线方程为x+y=b,由于过点A，1+a=b，a=b-1.又圆心到直线的距离d=+3=4，b=,a=-1.,题型三 圆与圆的位置关系【例3】已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10 x-12y+m=0.（1）m取何值时两圆外切？（2）m取何值时两圆内切？（3）求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和 公共弦的长.利用两圆的连心线的长与两圆半径之 间的关系判断两圆的位置关系.,思维启迪,解 两圆的标准方程为（x-1）2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=
12、61-m,圆心分别为M（1，3），N（5，6），半径分别为 和.（1）当两圆外切时，解得m=25+10.（2）当两圆内切时，因定圆的半径 小于两圆圆心间距离5，故只有-=5，解得m=25-10.,（3）两圆的公共弦所在直线方程为(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10 x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0,公共弦长为应注意两圆位置由圆心距和两半径的和与差来确定，从而确定切线的条数.求公共弦方程时，只需将两圆方程相减即可.,探究提高,知能迁移3 圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆 心O2（2，1）.（1）若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程,并求内 公切线方程；
13、（2）若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|=2，求圆O2的方程.解（1）两圆外切，|O1O2|=r1+r2，r2=|O1O2|-r1=2（-1），故圆O2的方程是(x-2)2+(y-1)2=4(-1)2.两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程 x+y+1-2=0.,（2）设圆O2的方程为（x-2）2+(y-1)2=r,圆O1的方程为：x2+(y+1)2=4,此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x+4y+r-8=0.作O1HAB，则|AH|=|AB|=，O1H=，由圆心（0，-1）到直线的距离得得r=4或r=20,故圆O2的方程为（x-2）2+(y-1)2=4或(x-2)
14、2+(y-1)2=20.,题型四 直线与圆的综合应用【例4】（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k 的直线l与圆C：（x-2）2+(y-3)2=1相交于M、N 两点.（1）求实数k的取值范围；（2）求证：为定值；（3）若O为坐标原点，且=12,求k的值.,（1）由于直线与圆C相交于M、N两点，故利用直线与圆相交的条件即可求得k的范围.（2）=|cos 0=|，故而想到切割线定理即可证得结论.（3）=x1x2+y1y2，联想根与系数的关系即可解决.,思维启迪,（1）解 方法一 直线l过点A（0，1）且斜率为k，直线l的方程为y=kx+1.2分将其代入圆C：（x-2）2+(y-3)2=1,得（1
15、+k2）x2-4(1+k)x+7=0.由题意：=-4（1+k）2-4（1+k2）70，得 4分,方法二 同方法一得直线方程为y=kx+1,即kx-y+1=0.2分又圆心到直线距离d=4分（2）证明 设过A点的圆的切线为AT，T为切点，则|AT|2=|AM|AN|，|AT|2=（0-2）2+（1-3）2-1=7，|=7.6分根据向量的运算：=|cos 0=7为定值.8分,（3）解 设M（x1，y1），N（x2，y2），则由得=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=k=1（代入检验符合题意）.12分,10分,探究提高 本题涉及的知识点很多，虽然含有向量，但只是用到了平面向
16、量最基本的知识，最后还是很常规的用到点到直线的距离、根与系数的关系等方法，能否将问题合理地转换是解题的关键.已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0.（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1,y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.,知能迁移4,解（1）将圆C配方得（x+1）2+（y-2）2=2.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y=kx,由直线与圆相切得 即k=2，从而切线方程为y=（2）x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x+y-a=0,由直线与圆相切
17、得x+y+1=0或x+y-3=0.（2）由|PO|=|PM|得x+y=(x1+1)2+(y1-2)2-2 2x1-4y1+3=0.,即点P在直线l:2x-4y+3=0上，当|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OPl，直线OP的方程为2x+y=0.解方程组得P点坐标为,方法与技巧1.过圆外一点M可以作两条直线与圆相切，其直线 方程的求法有两种：（1）用待定系数法设出直线方程，再利用圆心到 切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率，进而求得直线方程.（2）用待定系数法设出直线方程，再利用直线与 圆相切时交点唯一列出关系式求出切线的斜率，进而求得直线方程.,思想方法 感悟提高,2.若两圆相
18、交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就 得到两圆的公共弦所在的直线方程.3.求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离 求弦心距，再结合勾股定理求弦长.4.求圆外一点P到圆O上任意一点距离的最小值为|PO|-r,最大值为|PO|+r（其中r为圆O的半径）.,失误与防范1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用 圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股 定理或斜率之积为-1列方程来简化运算.2.注意利用圆的性质解题，可以简化计算.例如，求圆外一点到圆上任意一点的最小距离或最大 距离利用两点的距离减去或加圆半径就很简便.,一、选择题1.（2009重庆理，1）直线y=x+1与圆x2+y2=1的
19、位置关系是（）A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 解析 圆心到直线的距离d=dr且d0,直线与圆相交但不过圆心.,定时检测,B,2.（2008辽宁理，3）圆x2+y2=1与直线y=kx+2 没有公共点的充要条件是（）A.k(-,)B.k(-,-)(,+)C.k(-,)D.k(-,-)(,+)解析 圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），则O到 直线y-kx-2=0的距离为 由于直线和圆没有公共点，因此 1+k24,k.,C,3.设O为坐标原点，C为圆（x-2）2+y2=3的圆心，且圆上有一点M（x,y）满足=0，则 等于（）A.B.C.D.解析=0，OMCM，OM是 圆的
20、切线.设OM的方程为y=kx,由 得k=，即=.,D,4.已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0(k0)上一动 点，PA、PB是圆C：x2+y2-2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的 值为（）A.B.C.2 D.2,解析 圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1,圆心C（0，1），半径为1，|PC|2=|PA|2+1.又S四边形PACB=2|PA|1=|PA|，当|PA|最小时，面积最小，而此时|PC|最小.又|PC|最小为C到直线kx+y+4=0的距离面积最小为2时，有22=解得k=2（k0）.,答案 D,5.过点（0，-1）作直线l与圆x2+y2-2x-
21、4y-20=0交于 A、B两点，如果|AB|=8，则直线l的方程为（）A.3x+4y+4=0 B.3x-4y-4=0 C.3x+4y+4=0或y+1=0 D.3x-4y-4=0或y+1=0,解析 圆：(x-1)2+(y-2)2=25,易知直线斜率存在，设l:y+1=k(x-0)，即kx-y-1=0，圆心（1，2）到l的距离d=由+42=52,得4k2+3k=0,k=0或k=-，当k=0时，l:y=-1;当k=-时，l:3x+4y+4=0.答案 C,6.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且|+|=|-|,其中O 为坐标原点，则实数a的值为（）A.2 B.2 C.-2 D.解析
22、如图，作平行四边形OADB，则+=，-=，|=|.又|=|，四边形OADB为正方形，易知|为直线在y轴上的截距的绝对值，a=2.,B,二、填空题7.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相切，则实数ab的取 值范围是.解析 圆心（0,0）到直线的距离 a2+b2=1.|ab|,8.（2009四川理，14）若O：x2+y2=5与O1:(x-m)2+y2=20(mR)相交于A、B两点，且两圆 在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是.解析 如图所示，在RtOO1A中，OA=，O1A=2，OO1=5，AC=AB=4.,4,9.（2009天津理，14）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0
23、(a0)的公共弦的长为2,则a=.解析 x2+y2+2ay=6,x2+y2=4，两式相减得y=.联立 消去y得x2=(a0).解得a=1.,1,三、解答题10.自点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴 反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0 相切，求光线l所在直线的方程.解 已知圆（x-2）2+(y-2)2=1关 于x轴的对称圆C的方程为（x-2）2+(y+2)2=1,如图所示.可设光线l所在直线方程为 y-3=k(x+3)，,直线l与圆C相切，圆心C（2，-2）到直线l的距离解得k=-或k=-.光线l所在直线的方程为3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.,11.
24、设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点 仍在圆上,且与直线x-y+1=0相交的弦长为2，求圆的方程.解 用待定系数法求圆的方程，设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2.则所求圆的圆心为（a，b），半径为r.点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点A仍 在这个圆上，圆心（a,b）在直线x+2y=0上，a+2b=0，（2-a）2+(3-b)2=r2.又直线x-y+1=0截圆所得的弦长为2，r2-,解由方程、组成的方程组得：所求圆的方程为（x-6)2+(y+3)2=52或（x-14）2+(y+7)2=244.,12.如右图所示，已知圆 C1:x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0和圆C2：x2+y2+2x+2y-2=0交于A、B两点且这 两点平分圆C2的圆周.求圆C1的圆心C1的轨迹方程，并求出当圆C1的 半径最小时圆C1的方程.,解 圆C1：（x-m）2+（y-n）2=n2+1，圆C2：（x+1）2+（y+1）2=4，而C1C2AB且AB为圆C2直径.|AC2|=2，又|AC1|2=1+n2，|AC2|2=4，|C1C2|2=（m+1）2+（n+1）2.（m+1）2=-2（n+2）即为点C1的轨迹方程.又-2（n+2）0，n-2，当n=-2时，m=-1，=，此时圆C1的方程为（x+1）2+(y+2)2=5.,返回,
