空间向量与空间角(2).doc

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1、空间向量求空间角导学案复习:1向量的有关知识:abO(1)两向量数量积的定义:(2)两向量夹角公式:(3)平面的法向量:与平面垂直的向量二、知识讲解与典例分析知识点1:异面直线所成的角(范围:)(1)定义:过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a与b,那么直线a与b 所成的锐角或直角,叫做异面直线a与b 所成的角.(2)用向量法求异面直线所成角设两异面直线a、b的方向向量分别为和,问题1: 当与的夹角不大于90时,异面直线a、b 所成的角与 和 的夹角的关系? 问题 2:与的夹角大于90时,异面直线a、b 所成的角与 和的夹角的关系? 结论:异面直线a、b所成的角的余弦值为思考:在正方体

2、中,若与分别为、的四等分点,求异面直线与的夹角余弦值?(1)方法总结:几何法;向量法(2)与相等吗?(3)空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别?ABCA1B1C1xyZD例1如图,正三棱柱的底面边长为,侧棱长为,求和所成的角.解法步骤:1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解:如图建立空间直角坐标系,则 , 即和所成的角为练习1:在RtAOB中,AOB=90,现将AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到A1O1B1的位置,已知OA=OB=OO1,取A1B1 、A1O1的中点D1 、F1,求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。知识点2、直线与平面所成的

3、角(范围:)(图1)思考:设平面的法向量为,则与的关系?(图2)据图分析可得:结论:例2、如图,正三棱柱的底面边长为,侧棱长为,求和所成角的正弦值.分析:直线与平面所成的角步骤: 1. 求出平面的法向量 2. 求出直线的方向向量3. 求以上两个向量的夹角,(锐角)其余角为所求角解:如图建立空间直角坐标系,则ABCA1B1C1xyZD 设平面的法向量为 由取, 和所成角的正弦值.练习:正方体的棱长为1,点、分别为、的中点.求直线与平面所成的角的正弦值.知识点3:二面角(范围:)方向向量法:将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角。如图,设二面角的大小为,其

4、中.DCBAl结论:法向量法ll 结论: 或 即: 归纳:法向量的方向:一进一出,二面角等于法向量夹角;同进同出,二面角等于法向量夹角的补角.例3、如图,是一直角梯形,面,求面与面所成二面角的余弦值.解:如图建立空间直角坐标系,则 易知面的法向量为 设面的法向量为,则有 ,取,得, 又方向朝面内,方向朝面外,属于“一进一出”的情况,二面角等于法向量夹角 即所求二面角的余弦值为.练习:正方体的棱长为1,点、分别为、的中点.求二面角的余弦值。解:由题意知,则设平面的法向量为,则,取,得 又平面的法向量为 观察图形知,二面角为锐角,所以所求二面角的余弦值为三、课堂小结 1异面直线所成的角: 2直线和平面所成的角: 3二面角:.五、布置作业

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