化工设备设计之旋转薄壁容器.ppt

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1、1,第二章 压力容器应力分析,CHAPTER STRESS ANALYSIS OFPRESSURE VESSELS,2,本章主要内容,讲解厚壁圆筒应力分析，掌握厚壁圆筒理论，了解拉美公式的推导过程及应用，全屈服压力的推导过程。,讲解回转薄壳应力分析，掌握压力容器单元体受力分析方法，能够运用薄壳理论解决工程实际问题，并着重掌握无力矩理论的求解。,3,讲解平板应力分析，掌握受均布载荷的圆平板挠度、弯矩、应力表达式的推导及计算，了解厚壁圆筒、旋转薄壳及圆平板的受力分析的特点与区别，基本掌握受轴对称载荷圆平板的弯曲微分方程的建立与求解。,讲解壳体的稳定性分析，掌握外压容器失稳特点及理论分析，受均布周向

2、外压的长、短圆筒的临界压力，临界长度的计算。,4,本章教学重点,回转薄壳无力矩理论的求解；单层厚壁圆筒的弹性应力分析；受轴对称载荷圆平板的弯曲微分方程的建立与求解；受均布周向外压的长、短圆筒的临界压力，临界长度的计算。,5,2.1 载荷分析,6,一、压力载荷,压力是压力容器承受的基本载荷。,压力,绝对压力,表压,以绝对真空为基准测得的压力。通常用于过程工艺计算。,以大气压为基准测得的压力。压力容器机械设计中，一般采用表压。,内压,外压,内、外压,7,二、非压力载荷,整体载荷,局部载荷,作用于整台容器上的载荷，如重力、风、地震、运输等引起的载荷。,作用于容器局部区域上的载荷，如管系载荷、支座反力

3、和吊装力等。,8,三、交变载荷,定义大小和/或方向随时间变化,定义大小和方向基本上不随时间变化,载荷,交变载荷,静载荷,9,10,载荷工况,定义在工程上，容器受到不同载荷的情况。,制造安装正常操作开停工压力试验检修等,根据不同载荷工况，分别计算载荷,正常操作工况,特殊载荷工况,意外载荷工况,11,一、正常操作工况,载荷,设计压力,液体静压力,重力载荷,风载荷,地震载荷,其他载荷,隔热材料、衬里、内件、物料、平台、梯子、管系、支承在容器上的其他设备重量等,12,二、特殊载荷工况,一般不考虑地震载荷,1压力试验,制造完工的容器在制造厂进行压力试验时的载荷。,制造厂做压力试验的载荷,试验压力,容器自

4、身的重量,试验压力,试验液体静压力,试验时的重力载荷,现场做压力试验的载荷,立式容器卧置做水压试验考虑 容器顶部的 压力校核 液体重量,液柱静压力,试验液体静压力和实验液体的重量,13,二、特殊载荷工况（续）,2开停工及检修,载荷,风载荷,地震载荷,容器自身重量,内件、平台、梯子、管系及支承在容器上的其他设备重量,等等,14,三、意外载荷工况,容器的快速启动或突然停车容器内发生化学爆炸容器周围的设备发生燃烧或爆炸等,紧急状态下,爆炸载荷、热冲击等意外载荷,15,2.2 回转薄壳应力分析,本章重点,教学重点：（1）回转薄壳的无力矩理论；（2）微元平衡方程、区域平衡方程；（3）典型回转薄壳的求解。

5、教学难点：（1）储存液体的圆球壳、圆柱壳求解；（2）边缘力和边缘力矩的工程问题。,16,2.2.1 旋转薄壳的几何特征,2.2.2 回转薄壳的平衡方程,旋转薄壳的无力矩理论,2.2.4 回转薄壳的不连续分析,本节重点,17,2.2 回转薄壳应力分析,在石油化学工业中，钢制压力容器（如通常所见的塔、换热器、贮罐等）均为薄壁容器（）他们所具有的特点如下：1、是旋转壳体，都有一条对称轴，由旋转曲面组成，在垂直对称轴的截面上投影圆形；,18,2、是轴对称问题，即几何形状，约束和所受的外力均对称于旋转轴；3、直径比较小；4、承受压力为中低压；以上所述就是本节要解决的主要问题。,19,2.2.1 旋转薄壳

6、的几何特征,一、旋转壳体,旋转曲面,由平面直线或平面曲线绕其同平面内的回转轴回转一周所形成的曲面称为回转曲面。或者：以任何直线或平面曲线，绕其同平面内的轴线旋转即形成旋转曲面。例如：直线作为母线绕轴线旋转一周而形成 的为圆柱面，或圆锥面，即为旋转壳体。,20,21,壳体中面,是与壳体的内外表面等距离的曲面。也就是平分壳体壁厚的曲面。而内外表面的法向距离，即为壳体的壁厚。如图：AB即为中面，是壁厚，对于薄壁容器，可以用中面表示壳体的几何特征，而壳体的中面又可以用经线和纬线来表示。,22,旋转壳体,就是其中面为旋转曲面的壳体。换句话说，如果一个壳体它的中面是旋转曲面，那么它就是旋转壳体。同样，从壳

7、体的定义可以看到，壳体的形状和大小即壳体的几何特征可以用其中面来表示。,经线,通过旋转轴OO1作一个纵向平面，它与壳体的交线OBB1称为经线。即任意位置的母线经线与母线是一致的，经线与回转轴OO1所构成的平面称为经线截面。例如：OBBO1,23,24,25,母线平面：母线和对称轴所构成的平面经线平面：经线和对称轴所构成的平面,纬线,经线上任意一点绕旋转轴旋转一周所形成的轨迹称为纬线。亦即：以法线作母线绕回转轴回转一周所形成的圆锥法截面与中间面的交线称为纬线，或平行圆。,如图：在B点垂直于壳体中面的直线，即法线n，该法线必于旋转轴相交，其交点为K2，交角为平行圆的位置由确定，B点的位置由确定，即

8、经线的位置由确定。是从母线量起的角。,26,27,坐标系的建立,周向坐标（）：经线平面和母线平面的夹角，称为周向坐标，它唯一确立了经线的位置。经向坐标（）：过壳体中面上任一点B的法线与旋转轴相交于K2，交角为，这个角便唯一确立了过该点的纬线的位置，这个角就是经向坐标。,28,法向坐标（z）：由于壳体具有一定的厚度，我们引入一个法向坐标z，为过任意点B的法线。符号规定：，逆时针旋转为正，反之为负；Z的方向以指向壳体的曲率中心为正。这样，任何一个旋转壳体都可以在由经向坐标，周向坐标和法线坐标Z组成的坐标系中进行研究。,29,30,二、几何特征,第一曲率半径r1：,决定经线亦即决定旋转壳体的几何形状

9、的经线的曲率半径，用r1表示，如图中的BK1。而旋转壳体中面上任一点的第一曲率半径的圆心必然在该点的法线上，其大小可用曲率半径公式求取。对y=f(x)的曲线的r1有如下关系式：,31,32,33,经线的形状决定了旋转壳体的形状，而经线的形状由经线的曲率半径决定。,第二曲率半径r2：,经线上任意一点B，其法线与对称轴之交点为K2，则K2到B距离BK2即为r2，其值为：,34,式中：r 平行圆半径。由此可见：有了r1，r2就表明了旋转壳体的形状和大小的几何学特征了。,35,几种常见（典型）的旋转壳体的r1 和r2 的求法,圆柱壳,R圆柱体中面半径。其经线为直线，纬线为圆，故其r1=，R2=R,36

10、,球壳,其经线、纬线均为圆，故其 R1=R2=R,圆锥壳,r1=，r2=r/sin,37,椭圆壳,38,r1和r2 的关系,1、两者方向一致，均为该点的法线方向；2、r1和r2的大小：r1可用经线方程求出，r2=r/sin；3、经线线元dl1和纬线线元dl2：,39,40,课堂讨论：,如图：求r1 和r2 a点：为圆筒壳上任意一点 b点：为圆筒壳与圆锥之交点 c点：为半径为D2/2圆筒与圆锥的交点 d点：为半径为D2/2的圆筒壳上任意一点,41,作业,1、试求如图所示的回转壳上A点的主曲率半径R1 和R2,42,2、试求如图所示的尖拱壳上任意点M的主曲率半径 r1 和r2,43,3、试求如图所

11、示的碟形封头中面上A、B、C三点的主曲率半径r1 和r2,44,2.2.2 回转薄壳的平衡方程,基本假设,对于旋转薄壳，通常认为壳的厚度与壳的曲率半径相比为小量，而且研究的范围为弹性小变形，即壳体受力后其各点的位移都有远小于壁 厚。在上述前题下，在讨论旋转壳体受力和变形时，为简化计算，特工程上作如下允许的基本假设：,1、直法线假设：,变形前垂直于壳体中面的直线段，在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，即剪应力、，引起的变形可忽略不计，；也就是剪应力引起的变形可忽略不计,45,2、互不挤压假设：,即平行于中面的各纤维之间互不挤压假设，也就是认为与周向应力及径向应力相比，法向应力忽略不计，即

12、属于平面应力问题。,3、小位移假设：,假设在变形前后薄壳厚度没有变化，即法向应变为零，就是说：在厚度截面上各点的法向位移可以近似看成为中面的法向位移，从以上可以看出旋转壳体为，的函数，与z无关。通过以上这些假设，简化了问题，使用空间壳体的三向应力问题变为两向应力问题，并可利用平面梁理论来求解壳体。,46,取单元体进行受力分析,（一）取单元体,旋转壳体（薄壳）可用中面研究，即可沿整个壁厚切取，并且要包含经线和纬线。所以：1、用两个夹角为d的经向截面；2、用两个夹角为d旋转法截面(即形成纬线的圆截面)；3、沿着整个壁厚截取单元体。如图ABCD,47,48,49,50,（二）单元体受力分析,1、外力

13、,作用于旋转薄壳的外力通常包括分布面力（气压、液压等）和体力（重力、惯性力等）。但有时体力也可以化作分布面力外理。单位面积上的分布面力的分量有：P（指向 x 正向）P（指向正向）PZ（指向 z 轴反向）N/mm2对于轴对称载荷，P=0，所以旋转薄壳仅是的函数，与无关。它们都是单位面积上的力。,51,2、内力,在外力作用于下，切取单元体后，截面上必然暴露出内力，这些内力称为内力素，包括力和力矩。,52,53,54,55,经向力N,周向力N,单位：N/mm；方向：拉为正，压为负,横剪力Q 及Q+(dQ/d)d,内力矩（单位长度）：,符号规定：当截面的外法线沿着坐标的正向时,沿z 的正向为正,反之为

14、负；当外法线沿的负向时,沿z 的负向为正,反之为负。,符号规定：使截面向壳体外侧旋转为正,反之为负。即力矩向量顺时针为正。单位：Nmm/mm,56,内力素表达式-建立应力与内力素之间关系,单位面积上的力就是应力，即应力的总和（或积分）就是内力素，也就是说可以将内力素表示为截面上应力的积分。如前述。中面上的线元为:,57,58,如前图，距中面为Z的相应线段长度为：,59,60,为作用于在距离中面为z 外的微元面上的应力，则在旋转法截面上的经向合力为：,设,经向合力矩为：,61,横剪力为：,将上述三个表达式两端同时消去dl2 得到如下的合力公式,62,同理，可推得五个表达式如下：,63,平衡方程,

15、对于微元按照小角定理可得,对所取的微元体，其表面积为,根据静力平衡原理，可建立三力的平衡方程式，即：x，z方向以及y方向的力矩矢量平衡,64,65,66,1、诸力在 x方向的平衡（Fx=0）（1）经向力在x 方向的分量：,67,68,69,（2）周向应力在x方向的分量:作用在微元体上的母线截面上的力等于：,其合力在平行圆的半径方向内等于：,如图：它在x 方向的分量为：,70,（3）横剪力在x 轴上的合力分量为：如图（C），作用在单元体上部旋转法截面的横剪力在x方向无分量，作用在单元体上部旋转法截面上的横剪力在x方向的分量为:,（4）外力在x方向的分量为：,71,过 程 设 备 设 计,72,根

16、据力的平衡条件Fx=0得：,73,旋转薄壳的一般平衡方程只有上述三式：,74,上述三个方程是轴对称载荷作用于下旋转薄壳的一般平衡方程式，它有五个内力未知数组成，为静不定问题。解决办法：1、忽略工程上向所允许的次要量（力矩）-无力矩理论2、找补充方程（几何，物理方程）-有力矩理论,75,2.2.3 旋转薄壳的无力矩理论,（1）,（2）,（3）,76,从前一节中的分析知道，壳体的内力素中有力矩的作用，而在很多实际上情况中，薄壁壳体中弯矩的影响是可以忽略不计的，（对部分容器，在某些特定的壳体形状，载荷和支承条件下，其由弯矩引起的弯曲应力与薄膜应力的比值，其数量级为/R，是很小的，大约为/R1/20）

17、这种不考虑弯矩的影响，而近似的求得薄壳中的应力，称为薄膜应力，此种理论联系实际称为无力矩理论或薄膜理论。无力矩理论联系实际在工程上有着广泛的应用。见教材。,77,（一）无力矩理论联系实际的一般方程,1、单元体平衡方程,据上述无力矩理论联系实际知M=M=0，由平衡方程式（3）得，Q=0，此时上述（1）（2）方程式便成为：,（4）,（5）,78,以上两个方程式中含有两个未知数N、N 故为静定问题。由 r=r2 sin，将（5）式除以r r1 得：,微元体平衡方程。又称拉普拉斯方程。它表示壳体中任意一点两向内力的关系。,（6）,79,将式（4）sin，（5）cos 并相加得,即：,积分得：,80,令

18、：,得：,由此可见，由（7）式求出N，即可由（6）式求出 N,（7）,81,2、区域平衡方程,82,如图：在任意壳体上切下一块，设作用在壳体单位面积上的分布面力分量P、Pz，并设总外力的轴向合力为Q，沿平行圆取微圆环，其面积为：,则轴向总载荷为：,83,如图：由壳体区域平衡条件知：,所以：,即为薄壳的区域平衡方程,为薄壳的区域平衡方程的另一种形式,84,4、无力矩理论的基本方程,设：薄壳厚度为，经向薄膜应力为，周向薄膜应力为，则周向力N、经向力N 在忽略弯矩的情况下：,由,和,得,85,上两式即为无力矩理论的基本方程,86,分析几种工程中典型回转薄壳的薄膜应力 无力矩理论的应用,承受气体内压的

19、回转薄壳,球形壳体,薄壁圆筒,锥形壳体,椭球形壳体,储存液体的回转薄壳,圆筒形壳体,球形壳体,87,一、承受气体内压的回转薄壳,气压是化工厂中主要的载荷之一，当容器承受气体内压P作用时，气体压力P垂直于容器壳体内表面。而且是一种轴对称载荷，各处相等。当P为内压时，Pz=p为常数，P=0 如果忽略壳体的自重，可应用区域方程直接求出Q：,由,88,对于顶端连续的壳体，当由角所确立的平行圆r以上部分壳体在P作用下，壳体轴向力：,89,下面来看一下是否满足：取微元体，如图：,90,作用在环形带上的总压力为：,此力在旋转轴上的分力为：,则在壳体只受气压作用时，整个轴向力为：,91,用J()的表达式求：,

20、92,而,所以总的轴向载荷,而,所以,93,此式即为任意壳体的受气压作用时旋转壳体的两向应力,94,1、圆柱壳（以下壳体均为封闭容器）,如图所示：薄壁圆筒中各点的第一曲率半径和第二曲率半径分别为：R1=；R1=R；=/2,95,则：,即：在气压作用下，圆柱壳的周向薄膜应力是经向（或轴向）薄膜应力的2倍。均与P、R成正比，与成反比。,96,由此可见：在结构设计或容器制造时，应尽量避免或减少对其轴向强度的削弱。如在圆柱壳上开设椭圆孔时 应把短半轴放在轴向方向上。结论：两向应力，沿壁厚均匀分布；周向应力最大，。,97,98,2、球壳及部分球壳,球形壳体上各点的第一、二曲率半径相等，即R1=R2=R,

21、所以:,应力特点：球壳中两向薄膜应力相等 其值均为圆柱壳最大应力的一半,99,部分球壳(周边简支),100,3、圆锥壳,如图，其半顶角为，,得,101,也可以写成：,应力特点：由上可知，当接近于零时，环向应力接近于圆筒形壳体的环向应力值，当接近于时/2，即由锥壳展开成平板，应力趋于无限大，后者仅仅证明了这个假设：薄壳平板不承受垂直于其平面的载荷。,102,结论：周向应力最大，是经向应力的2 倍。即：,（与圆柱壳相同）。薄膜应力值是坐标x的线性函数，锥体大端x值最大应力最大,锥体小端x=0，应力最小，所以，锥壳开孔尽量开在小端处。,同时，因大端有最大应力值，所以当选用锥形封头时常常选用带折边的。

22、,103,4、椭圆壳,在压力容器中，经常采用椭球封头，这种壳体主要是椭圆曲线绕固定轴旋转而成。但是，椭圆曲线的各曲率半径是变量，计算要麻烦的多。,104,过 程 设 备 设 计,105,对于椭圆上任一点C的第一，二曲率半径：,其中：a-椭圆长半轴；b-椭圆短半轴。,106,所以：,下面通过一些特殊点看一下其应力特点：,（1）在椭圆壳顶点A(=0,x=0),其sin=0,=1 则,由此可见：此时椭圆壳的两向应力相等，并且与m成正比。,107,（2）在椭圆赤道上,即,此时,则：,108,而,，对于球壳来说m=1，则：,当,时即大到一定值时，,这也就是说当m足够大时，,当,时，,当,时，,而,与m无

23、关，,随m发生变化。,109,由此可见：,与m无关，并永远是拉应力，而,与m有关，当,时,，而当,时，,即由拉应力变为压应力,110,由此可见：椭球壳在承受均匀内压时，在任何m(ab)值下，恒为正值，即为拉伸应力，且由顶点处最大值向赤道逐渐递减至最小值。当m（a/b）时，应力 将变号。从拉应力变为压应力。随周向压应力增大，大直径薄壁椭圆形封头出现局部屈曲。措施：整体或局部增加厚度，局部采用环状加强构件。,111,(3)工程上常用标准椭圆形封头,其m（a/b）=2。的数值在顶点处和赤道处大小相等但符号相反，即顶点处为，赤道上为-，恒是拉应力，在顶点处达最大值为。,112,下面分别取,表达式中看一

24、下应力的变化特点，如图：,m=1,m=2,m=3,113,5、碟形壳：,蝶形壳主要有三部分组成：部分球壳，部分环壳 和圆柱壳，或者说：球顶，过渡圆和圆柱壳。,114,球顶大小由半径R和展开角0决定。过渡圆 的经线曲率半径r0 与过渡圆 的对应角有关。当r0和R变化时，对于给定内直径D的圆柱壳，则有无数个碟形封头廓形。封头高度h取决于R和r0值。展开角的选择要保证球顶与过渡圆环拱a平滑连续，即使两母线连接处有一个共切点。一般在200-300 之间最宜，一般取25 左右。通常由图表示。,115,如图，球面部分为弧aa，折边为弧ab,对于球面部分r1=r2=R,116,对于折边区部分：,将上式展开并

25、整理，可得到下式：,117,对于球面部分，应力可按球壳计算：,折边部分：,118,应力分析：,1、球面部分的两向应力相等，即,2、折边部分的两向应力,均是变化的.,在折边部分的连接处,其两向应力值为:,在折边部分的b点处,即,处：,119,由此可见，薄壁碟形封头的应力分布是比较复杂的，甚至于在内压作用下还存在稳定性的问题，而且往往计算值与实际值还有差别，所以实际应用较少。这一点可举例说明如下：,设,则此时：,此时在a点：,120,在b点:,由计算可见：应力突变发生在连接点a处,121,练习题：1、试用无力矩理论计算下图中所示容器承受均匀气体内压P作用时器壁中A点的经向应力和周向应力。已知：D=

26、1000mm，L=1000mm，X=L/2，=45，=30，a=200mm，壁厚均为=10mm。,122,123,2、一具有椭圆形封头（a/b=2）和锥形底的圆筒，尺寸如图所示，试求：（1）当承受均匀气压P=1.0MPa时，A、B、C三点处的薄膜应力；（2）当椭圆形封头a/b分别为，3时，封头上的薄膜应力的最大值及其位置（a不改变）。,124,125,126,127,128,二、储存液体的回转薄壳,与壳体受内压不同，壳壁上液柱静压力随液层深度变化。,设容器内充满液体，则顶部压力 P=0，或假设容器是开口的，则无表压力。当容器装液体时，由于液体静压作用沿壳体同一经线上各点承受的压力是不同的，随液

27、面深度h而变化，液柱静压力为,即,盛装液体的比重,129,由壳体的薄膜应力公式：,当液压作用时其两向应力为：,130,a.受液体静压作用的直立圆筒形贮罐,131,对于圆柱壳有r1=，r2=R,液柱高度H，,由此可知，在深度为h处液柱压力为,而,所以可直接求其轴向力,132,a)支座以上：,无轴向力，则,因此：,b)支座以下：,总轴向载荷：,因此：,133,c)当x=0 时,即：,应力分析：由上面的计算可以看到a)在支座以上，径向应力为零，支座以下为常量，,与x 无关。,b)周向应力为变量，随液面深度而增加，在x=0处,与支座位置无关。,思考：若液面上部存在压力，如何求？,134,有一圆筒形容器

28、，悬挂于o-o处，内盛重度为的液体。液深ho，圆筒半径为R，厚度为。如不考虑容器自重，试计算m-m、n-n、h-h三个截面处薄膜应力表达式，并简要分析，讨论底部支承圆筒与悬挂圆筒的受力状态有何不同。,135,过 程 设 备 设 计,136,b.受液体静压作用的沿平行圆支承的球形容器,137,设容器内充满液体，则顶部压力 P=0，液体密度为,角度为,壁厚为,，此时，求轴向力Q比较,比较简单。,的平行圆内,如图：支座位于,复杂，而求,138,a)求,139,而,则,利用边界条件求积分常数c：,A：在支座以上,A点因无轴向力，即Q=0，则,则有,140,所以此时：,B：在支座以下,此时可由,处的边界

29、条件确定常数c，即,处,则有,所以此时,141,建立薄膜应力公式,A：在支座以上,此表达式当中,时无意义，所以要变换。变换以后得到：,142,B：在支座以下,c)应力分析：A:将应力沿球壳高度标绘：a:顶点A处：,b:支座 C、D点处：（如一般取,）,143,支座以上公式计算：,支座以下公式计算：,c:当,时（E点）,支座以下公式计算：,d:当,时,支座以下公式计算：,144,145,B:支座位置对应力分布的影响很大,当支座位置改变时，应力分布图如图中虚线所示,当,时,（支座以上公式计算）,当,当,时,时,径向应力出现负值，且随,上升，,两向应力值上升。,应力值出现无穷值，一般工程取,146,

30、无力矩理论应用条件,壳体的厚度、中面曲率和载荷连续，没有突变，且构成壳体的材料的物理性能相同。,壳体的边界处不受横向剪力、弯矩和转矩作用。,壳体的边界处的约束可沿经线的切线方向，不得限制边界处的转角与挠度。,对很多实际问题：,无力矩理论求解 有力 矩理论修正,147,应掌握的问题,1、什么是薄壳？轴对称问题必须具备哪些条件？中面、回转曲面、旋转壳体母线、经线、法线、纬线、平行圆、第一、二曲率半径、平行圆半径的定义如何？2、第一、二曲率半径的求法及典型壳体的第一、二曲率半径。3、弹性旋转薄壳应力分析的几点基本假设是什么？,148,4、旋转壳体微元的取法，什么是薄膜应力？无力矩理论的一般方程？5、

31、几种典型壳体在受气压、液压时的应力分 析，尤其是球、柱、锥壳的应力求法及表 达式。6、无力矩理论的应用条件是什么？7、什么是边缘问题？为什么会产生边缘效应 边缘力和力矩及边缘应力？8、边缘应力的特点，工程上对边缘力作何种 考虑？,149,一容器如图所示，圆筒中面半径为R，壁厚为,圆锥与圆筒的壁厚相等，半锥顶角为,内承受气体压力P的作用，且圆筒中液柱高度为H1，圆锥液柱高度为H2，液柱的重度为。忽略壳体的自重。试求:按无力矩理论求A-A、B-B、C-C截面处的径向和周向应力。若H1 H2，试求圆锥壳中最大应力作用点的位置及大小。,例 题,，容器,150,151,解：1、A-A、B-B、C-C截面

32、处应力：(1)A-A截面：对于圆筒容器：r1=r2=R，且A-A处仅受气压P作用，则有：,152,(2)B-B截面：B-B截面既受气压P，又受液柱静压为：(H1+H2-H)的作用，取B-B截面上部区域作为分离体，由于此截面在支座以上，所以所受的轴向力只是由气压引起的部分，即,则有：,153,而：,所以：,154,(3)C-C截面：,此时：,取C-C截面以下为分离体：如下图所示,155,156,列力的平衡方程：,代入上式整理得：,157,2.锥体中的最大应力及位置：(1),的最大值及其位置：,表达式求一阶导数：,对,158,如图所示，锥体部分,的最大值为,在上式中对任何的,，当,时，必有：,即,为单调增函数，所以,大端，取,代入,表达式，可得：,出现在锥体,159,160,(2),的最大值及其位置：,的表达式求一阶导数：,同上道理：将,代入可得：,对,161,一锥形容器盛装液体，如图所示，锥壳半顶角为,高度为H，液体比重为，试确定壳体中的应力表达式，并讨论与气压作用的锥壳有何不同。,162,半径为R，厚度为,比重为的液体。容器沿其上缘处支承，如图所示，试求壳体中应力。,的半球形容器，容器内盛有,163,164,