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1、 4.4 解析函数的洛朗展式,1、双边幂级数,2、解析函数的洛朗展式,3、典型例题,定义 称级数,（4.3）,为复常数，称,为双边幂级数（4.3）的系数,为双边幂级数，其中,一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f(z),可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数.如果 f(z)在z0处不解析,则在 z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示.但是这种情况在实际问题中经常遇到.因此,在本节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.,4.4.1 双边幂级数,负幂项部分,非负幂项部分,主要部分,解析部分,同时收敛,收敛,f1(z),f2(z),f(z),收敛半径,收敛域,收敛半径,收敛
2、域,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H:,R1,a,z0,R,r,H,f(z)=f1(z)+f2(z),时，收敛,例如：双边幂级数,这时,级数(4.3)在圆环H:r|z-z0|R 收敛于和函数f(z)=f1(z)+f2(z),在收敛圆环域内也具有.例如,可以证明,上述级数在收敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导.,幂级数在收敛圆内的许多性质,级数,现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数?先看下例.,其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的负次幂级数:,函数 在 及 都不解析,但在圆环域 及 内部都是解析的.先研究 的情形:,由此可见,内是可以展开
3、为z的负次幂级数.,定理4.7(洛朗定理)在圆环H:r|z-z0|R,(r0,R+)内解析的函数f(z)必可展成双边幂级数,其中,(4.3),4.4.2 解析函数的洛朗展式,z0,证 设z为圆环域内的任一点,在圆环域内作以z0为中心的正向圆周K1与K2,K2的半径R大于K1的半径r,且使z在K1与K2之间.,由柯西积分公式得,和泰勒展式一样可以推得：,如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C,则根据闭路变形原理,这两个式子可用一个式子来表示:,称为函数f(z)在以z0为中心的圆环域:R1|z-z0|R2内的洛朗(Laurent)展开式,它右端的级数称为 f(z)在此圆环域内的洛朗级数.
4、,一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的,这个级数就是 f(z)的洛朗级数.,其中,注1：,注：,注3：Taylor级数是Laurent级数的特殊情形,注4：同一函数在不同区域内的展开式不同；,例如 在 z=i 和z=-i处展开函数 为洛朗级数。,展开点为i：f(z)在复平面内有两个奇点:z=0与z=-i,分别在以i为中心的圆周:|z-i|=1与|z-i|=2上.,因此,f(z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开 式有三个:1)在|z-i|1中的泰勒展开式;2)在1|z-i|2中的洛朗展开式;3)在2|z-i|+中的洛朗展开式;,展开点为-i：f(z)在复平面内有一
5、个奇点:z=0在以-i为中心的圆周:|z+i|=1上.,因此,f(z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个:1)在0|z+i|1中的洛朗展开式;2)在1|z+i|+中的洛朗展开式。,将函数展为洛朗级数,常用方法:1.直接法 2.间接法,1.直接展开法,利用定理公式计算系数,然后写出,缺点:计算往往很麻烦.,4.4.3 典型例题,例1,解：,由定理知:,其中,故由柯西古萨基本定理知:,由高阶导数公式知:,根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可,用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.,优点:简捷,快速.,2.间接展开法,另解,本例中圆环域的中心 z=0 既是各负幂项的奇点,例2,内是处处解析的,试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.,解：,由,此时,仍有,说明:,回答：不矛盾.,朗展开式是唯一的),问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?,(唯一性:指函数在某一个给定的圆环域内的洛,解：,例3 将函数 及 在z0=0的去心邻域内展成洛朗级数.,我们得,而,所以有,例4,解：,习题,内的洛朗展开式.,解：,
