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1、第二章 各向异性 弹性力学基础,2.2 各向异性弹性体的本构关系,2.1 各向异性弹性力学基本方程,2.3 正交各向异性材料的工程弹性常数,回总目录,2.1 各向异性弹性力学 基本方程,各向异性弹性力学基本方程包括：,2.1(1),1工程应力方程2工程应变方程3平衡方程,4几何关系方程5变形协调方程6物理方程,工程应力,工程应变,几何关系方程,变形协调方程（1）,变形协调方程（2）,平衡方程,注：以上关系与各向同性体相同,物理方程,(本构关系)Hooke 定理：,记作=C，C刚度矩阵，可以证明，C是对称矩阵，因此它只有21个独立变量。,物理方程,同样，S也是对称矩阵，它也有21个独立变量。,同
2、样，可用应力分量表示应变分量：,SC-1柔度矩阵。,2.2,完全各向异性 具有一个弹性对称面的材料 正交各向异性材料 横观各向同性材料 各向同性材料,2.2 各向异性弹性体的 本构方程,2.2,2.2,应变势能密度为：,一、完全各向异性（21个弹性常数）,各向异性体具有耦合现象：剪应力可以引起正应变，正应力也可引起剪应变，反之亦然。注意：各向同性体无此耦合现象。,二、有一个弹性对称面（13个弹性常数）,取xOy坐标面为弹性对称面，取A与A为相互对称点，则它们的弹性性能相同。即将z轴转到z轴时，应力应变关系不变。xy面为弹性对称面，z轴为材料主轴或弹性主轴.,有一个弹性对称面的材料,此时：z=-
3、z，w=-w，,有一个弹性对称面的材料,为保证W值不变,将含有xz和yz(4与5)一次项的Cij置为零，只剩下13个独立变量。,有一个弹性对称面的材料,同理：,三、正交各向异性（9个弹性常数）,如果具有三个正交弹性对称面，则：,正交各向异性材料,只有九个独立系数（后面再详细讨论）,四、横向同性（5个弹性常数）,各向同性面在该平面内，各点的弹性性能在各方向上相同。,假定：1，2，3都是弹性主轴，12面是各向同性面。,则：S11=S22，S13=S23，S44=S55，C11=C22，C13=C23，C44=C55,横观各向同性材料,又设某点应力状态：1=，2=，4=5 6，有,将1、2坐标轴在面
4、内转450到1、2，则1=2 30，6 12，23 31 0：,则：S662(S11 S12),横观各向同性材料,横观各向同性材料,只有五个独立系数,五、各向同性材料（3个弹性常数）,如果材料任一点、任一方向弹性特性都相同。,有：C11=C22=C33，C12=C13=C23，,S11=S22=S33，S12=S13=S23，,各向同性材料,各向同性材料,只有三个独立参数，可以用E、G表示。实际上只有两个，因为E、G之间有关系。,六、,正交各向异性材料的 工程弹性常数取值范围,单独在j方向有正应力时i方向上应变与j方向应变之比的负值,工程常数是指弹性模量Ei,泊松比ij和剪切模量Gij，这些常数由实验测定。,分别在各弹性主方向有作用力时的应力应变之比,对正交各向异性材料：,因为S是对称的，所以,对于各向同性材料：E0，G0,-11/2,对于各向异性材料，考虑到应变能W0，所以C和S必须正定。,一般EiEj，所以，ij ji。,因此共有九个参数。,矩阵正定的定义：特征值都大于零的实对称矩阵。充分必要条件：所有主子式都大于零 Ai0(i=1,26)主子式：,在S（或C）中任意取第i1,i2,i3,ik行和i1,i2,i3,ik列交点处的元素构成的行列式称为矩阵 S（或C）的主子式。,12,同理可得：,3,这些关系式可用于检验材料实验数据。,
