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1、第11课时导数与函数的单调性、极值,2014高考导航,本节目录,教材回顾夯实双基,考点探究讲练互动,名师讲坛精彩呈现,知能演练轻松闯关,基础梳理1.函数的单调性与导数在区间(a，b)内,函数的单调性与其导数的正负有如下的关系:如果_，那么函数yf(x)在这个区间单调递增；如果_，那么函数yf(x)在这个区间单调递减；如果_，那么函数yf(x)在这个区间为常数,f(x)0,f(x)0,f(x)0,思考探究1若函数yf(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0吗？f(x)0是否是yf(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数yf(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)0，f(x)0
2、是yf(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件.,2.函数极值的概念函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧_，右侧_，则点a叫做函数yf(x)的_，f(a)叫函数yf(x)的_函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧_，右侧_，则点b叫做函数yf(x)的_，f(b)叫函数yf(x)的_极大值点、极小值点统称为_，极大值、极小值统称为_,f(x)0,f(x)0,极小值点,极小值,f(x)0,f(x)0,极大值点,极大值,极值点,极值,思考探究2若f(x0)
3、0，则x0一定是f(x)的极值点吗？提示：不一定可导函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而不是充分条件如函数f(x)x3，在x0时，有f(x)0，但x0不是函数f(x)x3的极值点,课前热身,答案：B,2.函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3时取得极值，则实数a等于()A2 B3C4 D5答案：D,4.已知函数yf(x)的导数的图象如图，则随着x的增大，函数值先_后_答案：减增5.已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调递增函数，则a的取值范围是_解析：f(x)3x2a，f(x)在1，)上是单调增函数，f(x)0，a3x2，a3.又a0，可知0a3.答案：(
4、0，3,【解】(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x11，x2a0.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：故函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a),【规律小结】利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.,跟踪训练1.已知函数f(x)4x33tx26t2xt1，xR，其中tR.(1)当t1时，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)当t0时，求f
5、(x)的单调区间解：(1)当t1时，f(x)4x33x26x，f(0)0，f(x)12x26x6，f(0)6.所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y6x.,考点2由函数的单调性求参数的取值范围 已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由,(2)若函数f(x)在R上单调递减，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立ex0，x2(a2)xa0对xR都成立(a2)24a0，即a240，这是不可能的故函数f(x)不可
6、能在R上单调递减若函数f(x)在R上单调递增，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立，ex0，x2(a2)xa0对xR都成立而(a2)24aa240，故函数f(x)不可能在R上单调递增综上可知，函数f(x)不可能是R上的单调函数,【规律小结】由函数的单调性求参数的取值范围，这类问题一般已知f(x)在区间I上单调递增(递减)，等价于不等式f(x)0(f(x)0)在区间I上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围,跟踪训练2.已知函数f(x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(2，3)上为减函数？若存在，求出a的取值范围，若不
7、存在，说明理由解：f(x)exa，(1)若a0，则f(x)exa0，因此f(x)在R上递增若a0，exa0，exa，xln a.因此f(x)的递增区间是ln a，),(2)由f(x)exa0在(2，3)上恒成立aex在x(2，3)上恒成立又2x3，e2exe3，只需ae3.当ae3时，f(x)exe3在x(2，3)上，f(x)0，即f(x)在(2，3)上为减函数，ae3.故存在实数ae3，使f(x)在(2，3)上单调递减,考点3函数的极值与导数(2012高考江苏卷节选)若函数yf(x)在xx0处取得极大值或极小值，则称x0为函数yf(x)的极值点已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2
8、bx的两个极值点(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点,【解】(1)由题设知f(x)3x22axb，且f(1)32ab0，f(1)32ab0，解得a0，b3.(2)由(1)知，f(x)x33x.因为f(x)2(x1)2(x2)，所以g(x)0的根为x1x21，x32，于是函数g(x)的极值点只可能是1或2.当x2时，g(x)0；当2x1时，g(x)0，故2是g(x)的极值点当2x1或x1时，g(x)0，故1不是g(x)的极值点所以g(x)的极值点为2.,【规律小结】求可导函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)
9、求方程f(x)0的根；(4)检验f(x)在方程f(x)0的根的左、右两侧的符号，如果在根的左侧附近f(x)0，右侧附近f(x)0，那么函数yf(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近f(x)0，右侧附近f(x)0，那么函数yf(x)在这个根处取得极小值,跟踪训练,1.“f(x)0(或f(x)0)”是“函数f(x)在某一区间上为增函数(或减函数)”的充分不必要条件；“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处取得极值”的必要不充分条件2.可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较3.可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点，如函数yx3在x0处导数为零，但x0不是极值点,规范解答,1,2,3,【方法提炼】利用导数法求函数的单调区间，应按照求单调区间的一般步骤，注意函数单调性是函数在其定义域上的局部性质，函数的单调区间是函数的定义域的子区间，求函数单调区间时千万不要忽视函数的定义域,本部分内容讲解结束,按ESC键退出全屏播放,
