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1、2023/6/4,常微分方程,4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法,2023/6/4,常微分方程,一、可降阶的一些方程类型,n阶微分方程的一般形式:,1 不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)阶导数的方程是,若能求得(4.58)的通解,对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解,即,2023/6/4,常微分方程,解题步骤:,第一步:,第二步:,求以上方程的通解,即,第三步:,对上式求k次积分,即得原方程的通解,2023/6/4,常微分方程,解,令,则方程化为,这是一阶方程,其通解为,即有,对上式积分4次,得原方程的通解为,例1,2023/6/4,常微分方程,2 不显含
2、自变量t的方程,一般形式:,因为,2023/6/4,常微分方程,用数学归纳法易得:,将这些表达式代入(4.59)可得:,即有新方程,它比原方程降低一阶,2023/6/4,常微分方程,解题步骤:,第一步:,第二步:,求以上方程的通解,第三步:,解方程,即得原方程的通解,2023/6/4,常微分方程,解,令,则方程化为,从而可得,及,这两方程的全部解是,例2,再代回原来变量得到,所以得原方程的通解为,2023/6/4,常微分方程,3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶,的非零解,令,则,代入(4.69)得,即,2023/6/4,常微分方程,引入新的未知函数,方程变为,是一阶线性方程,解之得,因而,
3、则,2023/6/4,常微分方程,因此(4.69)的通解为,2023/6/4,常微分方程,解题步骤:,第一步:,第二步:,解之得,即,2023/6/4,常微分方程,第三步:,第四步:,(4.69)的通解为,注,一般求(4.69)的解直接用公式(4.70),2023/6/4,常微分方程,解,这里,由(4.70)得,例3,2023/6/4,常微分方程,2023/6/4,常微分方程,代入(4.2)得,2023/6/4,常微分方程,事实上,2023/6/4,常微分方程,若,则,即,因此,对(4.67)仿以上做法,2023/6/4,常微分方程,2023/6/4,常微分方程,二、二阶线性方程的幂级数解法,
4、对二阶变系数齐线性方程,其求解问题,归结为寻求它的一个非零解.,下面考虑该方程及初始条件,用级数表示解?,2023/6/4,常微分方程,定理10,2023/6/4,常微分方程,定理11,2023/6/4,常微分方程,例4,解,设级数,为方程的解,由初始条件得:,因而,将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得,2023/6/4,常微分方程,即,因而,也即,2023/6/4,常微分方程,故方程的解为,2023/6/4,常微分方程,例5,解,将方程改写为,易见,它满足定理11条件,且,2023/6/4,常微分方程,将(4.75)代入(4.74)中,得,2023/6/4,常微分方程,由(4.76)得,即,2023/6/4,常微分方程,从而可得,2023/6/4,常微分方程,因此(4.77)变为,2023/6/4,常微分方程,若取,则可得(4.74)的另一个特解,由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.,2023/6/4,常微分方程,因而(4.74)的通解为,因此,不能象上面一样求得通解;,因此,(4.74)的通解为,2023/6/4,常微分方程,例6,解,代入方程得,2023/6/4,常微分方程,代回原来的变量得原方程的通解为,2023/6/4,常微分方程,作业,P165 2,5,P165 8,10,
