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1、平面问题的极坐标解答,基本方程厚壁筒问题锲形体与半无限平面体圆孔孔边应力集中,1、基本方程,直角坐标与极坐标的关系,x,y,o,位移分量的关系,问题：逆关系？,应力分量的关系,平衡微分方程,微元体的取法应力的正负号 切应力互等,三个几何方程,三个物理方程,应力函数与用应力分量表示的变形协调方程(不计体力时）,Where,结论,不计体力时，在极坐标中求解平面问题，就是要找到一个应力函数，且按它求得的应力分量满足应力边界条件，对多连体，还需满足位移单值条件。,2 厚壁筒问题,对受内压和外压的厚壁筒这类轴对称问题，应力、应变分布对称于圆筒的中心轴线，任一点位移只有径向分量和z方向分量，与角度无关。且
2、由于垂直于oz轴的平面变形后仍为平面，固u只与有关，w只与z有关。,应变分量为,应力分量为：,应力分量与角度无关,平衡方程只有一个,用位移分量表示,求出,C1，C2为待定常数，由边界条件确定，为此，先求出应力分量,边界条件,a,b,3 半无限平面体问题-锲形体,x,y,应力函数,应力分量,边界条件：如何写？,常数A由脱离体平衡条件确定：,y,F,a,a,Y方向合力自动满足X方向合力：,x,半无限平面体问题,y,x,F,应力分量用直角坐标系表示,用x,y表示为：,相应的位移按下列步骤求出：,（2）代入几何方程，,（1）由物理方程求形变,对第一式积分，求出，含；,对第二式积分，求出，含；,由对称条
3、件，,代入第三式，分开变量，求出 和，得,（3）求刚体位移H,I,K。,x 向无约束条件,I 不能确定。,因刚体位移 不能确定，用相对沉陷表示：,此解答用于基础梁 问题。地基一般为平面 应变问题，故应取,（4）半平面体表面的沉陷,M点 为,为基点,s。,思考题,1、试考虑书中的应力解答(4-22)具有下列特点：在图示直径为OA=D的圆上，如图，,y,x,o,F,D,A,B,都等于,3、试考虑在下图中，当 的边界上有均布压力q作用时，如何用量纲分析方法假设应力的函数形式？,2、试考虑在下图中，o点有外力偶M作用时，如何用量纲分析方法假设应力的函数形式？（答案：）,（答案：）,M,4 坝体应力,x
4、,y,o,M,分别写出直角坐标系与极坐标系下的边界条件,液体密度：坝体材料密度：,极坐标,直角坐标,5 圆孔孔边应力集中,x,y,2a,q,q,工程结构中常开设孔口最简单的为圆孔。,本节研究小孔口问题，应符合,（1）孔口尺寸弹性体尺寸，,孔口引起的应力扰动局限于小范围内。,（2）孔边距边界较远（1.5倍孔口尺寸）,孔口与边界不相互干扰。,当弹性体开孔时，在小孔口附近，将 发生应力集中现象。,1.带小圆孔的矩形板，四边受均布拉力q，图(a)。,内边界条件为，,将外边界改造成为圆边界，作 则有,利用圆环的轴对称解答，取,且Rr，得应力解答：,2.带小圆孔的矩形板，x,y向分别受拉压力，图(b)。,
5、所以应力集中系数为2。,内边界条件为,最大应力发生在孔边，,作 圆，求出外边界条件为,用半逆解法求得的应力解答为：,在孔边，最大、最小应力为，应力集中系数为。,3.带小圆孔的矩形板，只受x向均布拉力q。,应用图示叠加原理（此时令）得应力解答:,讨论：,（1）孔边应力，,最大应力 3q，最小应力-q。,（2)y轴 上应力，,可见，距孔边1.5D处，由于孔口引起的应力扰动5%。,（3）x 轴 上应力，,同样，距孔边1.5D处，由于孔口引起的应力扰动5%。,4.小孔口的应力集中现象,（1）集中性-孔口附近应力远处的应力，,孔口附近应力无孔时的应力。,（2）局部性-应力集中区域很小，约在距孔边,1.5
6、倍孔径（D）范围内。此区域外的应力扰动，一般5%。,（3）凹角的角点应力高度集中，曲率半径愈小，应力愈大。,因此，工程上应尽量避免接近直交的凹角出现。,如正方孔 的角点，,角点曲率半径,5.一般小孔口问题的分析：,（1）假设无孔，求出结构在孔心处的、。,（2）求出孔心处主应力,（3）在远处的均匀应力场 作用下，求出孔口附近的应力。,为便于工程上的应用，下图为远处为(压应力场)作用下，椭圆类孔口的应力分布情况。,-4,3/2,b,a,1,1,-2.23,1,2/3,-1,1,0,1,-3,1,例题1 试考察应力函数 能解决图中所示弹性体的何种受力问题？,y,x,a,a,0,解：本题应按逆解法求解
7、。,首先校核相容方程，是满足的。然后，代入应力公式，求出应力分量：,再求出边界上的面力：,读者可由此画出边界上的面力分布。,半平面体表面受有均布水平力q，试用应力函数 求解应力分量。,例题2,解：首先检验，已满足。由 求应力，代入应力公式得,再考察边界条件。注意本题有两个 面,即，分别为 面。在 面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有,代入公式，得应力解答，,设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力矩为M，试求应力分量。,例题3,（2）将 代入相容方程，得,（1）应比应力的长度量纲高2次幂，可假设。,删去因子，得一个关于 的常微分方程。令其解为，代入上式，可得到一个关于 的特
8、征方程，,其解为 于是得 的四个解；前两项又可以组合为正弦、余弦函数。由此得 本题中结构对称于 的 轴，而 是反对称荷载，因此，应力应反对称于 轴，为 的奇函数，从而得,（5）考察边界条件。由于原点o有集中力偶 作用，应分别考察大边界上的条件和 原点附近的条件。在 的边界上，有,（4）由 求得应力分量，,为了考虑原点o附近有集中力偶的作用，取出以o为中心，为半径的一小部分脱离体，并列出其平衡条件，,前一式自然满足，而第二式成为,(a),上式中前两式自然满足，而第三式成为,再由式（a）得出,(b),代入应力公式，得最后的应力解答，,设有厚度为1的无限大薄板，在板内小孔中受集中力F，试用如下的应力
9、函数求解，,例题4,（1）经校核，上述 满足相容方程。,解：,（2）代入应力公式，得,（3）考察边界条件。本题只有原点o附近的小孔口上作用有集中力F，可取出包含小孔口在内的、半径为 的脱离体，列出其3个平衡条件：,将应力代入上式，其中第二、三式自然满足，而第一式得出,(a),（4）由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定常数。注意到本题是多连体，应考虑位移的单值条件。因此，先求出应变分量，再积分求出位移分量，然后再考虑单值条件。,由物理方程求出应变分量，,代入几何方程，得,由前两式积分，得,将 代入第三式，并分开变量，得,为了使上式在区域内任意的 都成立，两边都必须等于同一常数G。这样，得到
10、两个常微分方程，,由式（b）解出,(b),将式（c）对 求导一次，再求出,再将上式的 代入，得,显然，式（d）中第二项是多值项。为了保证位移的单值性，必须,(d),(e),将式（a）代入上式，得,将式（a）、（f）代入应力公式，得无限大薄板在小孔口受集中力F的解答：,圆盘的直径为d，在一直径AB的两端点受到一对大小相同，方向相反的集中力F的作用，试求其应力。,例题5,解：本题可应用半平面体受铅直集中力的解答，进行叠加而得出。（a）假设GH以下为半平面体，在A点的F作用下，,（b）假设IJ以上为半平面体，在B点的F作用下，类似地得出,（c）对于圆周上的点M，分别作用 且，并有,显然，在圆周上有,
11、因此，圆盘在对径受压时，其应力解是(a),(b),(c)三部分解答之和。,两者合成为圆周上的法向分布压力 为了消除圆周上的分布压力，应在圆周上施加分布拉力 其对应的应力分量为,由于,最大压应力发生在圆盘的中心，,得到CD线上的应力分量,现在来计算水平直径CD线上的 值。对于N点，设 则有,读者试求出CD线和AB线上的水平正应力 值，并证明在中心线AB上，为常量的拉应力。AB线上的常量拉应力，便是劈裂试验的参考解答。,例题6 图示的三角形悬臂梁，在上边界 受到均布压力q的作用，试用下列应力的函数,求出其应力分量。,解：应力函数 应满足相容方程和边界条件，从中可解出常数,得出的应力解答是,例题7 图中所示的半平面体，在 的边界上受到均布压力q的作用，也可以应用下列用极坐标 表示的应力函数,进行求解，试求其应力分量。,本题的应力分量用极坐标表示的解答为,图中所示的半平面体，在 的边界上受到均布切力q的作用，也可以应用下列用极坐标 表示的 应力函数,进行求解，试求其应力分量。,例题8,本题的应力解答是,
