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1、1,第五章 习题,2,1.晶格常数为a的一维晶体中，电子的波函数为（1）（2），f是某一函数，求电子在以上状态中的波矢。,3,由固体物理教程（5.14）式,求解,可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足,由此得,于是,（1）,因此得,4,若只取布里渊区内的值：,则有,（2）,令,得,由上式知,所以有,由此得在布里渊区内的值为k=0。,5,2.一维周期势场为,其中a=4b，W为常数，试画出此势能曲线，并求出势能的平均值。,6,图：一维周期势场,求解,7,由图所示，由于势能有周期性。因此只有一个周期内求平均即可，于是得,8,3.用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带宽度。,9,根据
2、教科书（5.35）式知禁带宽度的表达式为Eg=2|Vn|，其中Vn是周期势场V(x)付里叶级数的系数，该系数可由固体物理教程（5.22）式,求解,求得,第一个禁带宽度为,10,第二禁带宽度为,11,5.对简立方结构晶体，其晶格常数为a。（1）用紧束缚方法求出对应非简并s态电子能带；（2）分别画出第一布里渊区110方向的能带、电子的平均速度、有效质量以及沿110方向有恒定电场时的加速度曲线。,12,求解,非简并s态电子的能带,式中Rn是晶格参考格点的最近邻格矢。对于简单立方晶体，任一格点有6个最近邻，取参考格点的坐标为(0,0,0)，6个最近邻坐标为,简单立方晶体非简并s态电子的能带则为,13,
3、（2）在110方向上 能带变成,其中,在110方向上，在第一布里渊区内，电子的能带如图所示,14,电子的平均速度,平均速度曲线,15,有效质量曲线,电子的有效质量,16,在110方向上有恒定电场情况下，电子受的力,电子的加速度,设电场方向与110方向相反，加速度曲线则如图,17,7用紧束缚方法处理体心立方晶体，求出(1)s态电子的能带为,(2)画出第一布里渊区111方向的能带曲线；(3)求出带底和带顶电子的有效质量.,18,(1)用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最近邻格点的相互作用时，其能带的表示式为,解答,是最近邻格矢,对体心立方晶格，取参考格点的坐标为（0,0,0）则个最近邻格点的
4、坐标为,19,将上述8组坐标代入能带的表示式，得,20,(2)在111方向上,其中,且第一布里渊区边界在,于是能带化成,第一布里渊区111方向的能带曲线,21,(3)由能带的表示式及余弦函数的性质可知，当kx=ky=kz=0时，Es取最小值，即kx=ky=kz=0是能带底，电子有效质量为,同理可得,其他交叉项的倒数全为零,22,而在布里渊区边界上的,处是能带顶，电子的有效质量为,其他交叉项的倒数也全为零,23,13平面正三角形结构，相邻原子间距为a，试求(1)正格矢和倒格矢；(2)画出第一和第二布里渊区，求第一布里渊区内切圆半径,24,(1)正格原胞的基矢如图所示取为,解答,i和j是相互垂直的
5、单位矢量,取单位矢量k垂直与i和j,构成的体积,则,倒格原胞的基矢为,25,(2)选定一例格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，它们是：b1,b2,(b1+b2),这6个倒格矢中垂线围成区间构成了两部分：以原点为对称心正六边形是第一布里渊区正六边形外的6个三角形部分是第二布里渊区。第一布里渊区内切圆半径,26,19证明迪阿哈斯范阿耳芬效应的周期为,其中是kz=0平面在费密球上所截出的面积,27,由热力学可知，当磁感应强度B增加dB时，磁场H所作的功,解答,即系统内能的微分,其中Vc是晶体体积,由电磁学可知，磁感应强度、磁场和磁化率的关系是,28,由(1)，(2)两式可得,其中0是真空中的磁导率
6、由上式可以看出，磁化率随磁场的倒数作振荡，应是系统内能微商U/B随1/B作振荡的反映,当不存在磁场时，能态在波矢空间分布是均匀的当由磁场存在时，能态重新分布，磁场的作用使电子的量子态高度简并，此时电子的状态密度为,29,令,则电子系统的能量,对上式求微分,30,可见，每当时，U/B将成为极大值，磁化率将变成极小值设B=Bi时，对应磁化率的一个极小值，相邻的一个极小值对应B=Bi+1,因为,所以,式中有一项,31,上式的(1/B)是一个固定的常量，这说明，每当两个1/B的间距(周期)等于这一常量时，磁化率曲线就多一个极小也就是说，磁化率以磁场倒数（1/B）作振荡因为kz=0的平面在费密球上截得的圆面积费密能所以有,其中我们假设Bi+1大于Bi，由以上两式可得,32,20从E=E0到E=EF能带都为,其中mx,my,mz都是大于零常数求电子能态密度,其中n为单位体积内的电子数,33,由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为,解答,将上式与椭球公式,比较可知在波矢空间内电子等能面是一椭面，与椭球的体积4abc/3比较可得到，能量为E的等能面围成的椭球体积,34,能量区间E-E+dE内电子的状态数目,由上式可得,Vc是晶体体积，电子的能态密度,设电子浓度为n，则E0-EF区间电子总数为Vcn且,35,将上式与能态密度,比较，得,
