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1、1,第四节 线性规划应用,合理利用线材问题：如何下料使用材最少。配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润。投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大。,建模,一、线性规划-,2,产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大。劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要。运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小。,3,数学规划的建模有许多共同点，要遵循下列原则：(1)容易理解。建立的模型不但要求建模者理解，还应当让有关人员理解。这样便于考察实际问题与模型的关系，使得到的结论能够更好地应用于解决实际问题。(2)容易查找模型中的错误。这个原则的目的显然与(1)相关。常出现的错误有：书
2、写错误和公式错误。,4,(3)容易求解。对线性规划来说，容易求解问题主要是控制问题的规模，包括决策变量的个数和约束条件的个数。这条原则的实现往往会与(1)发生矛盾，在实现时需要对两条原则进行统筹考虑。,5,建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤：(1)设立决策变量；(2)明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表示；(3)用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求极大（Max）还是极小（Min）；(4)根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负性。,6,例2.11 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：,一、人力资源分配的问题,设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并
3、连续工作8h，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?,7,解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Min z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 约束条件：s.t.x1+x6 60 x1+x2 70 x2+x3 60 x3+x4 50 x4+x5 20 x5+x6 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 0,8,例2.12 某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1m,1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？,二、套裁下料问题,解:考虑下列各种下
4、料方案（按一种逻辑顺序给出）,把各种下料方案按剩余料头从小到大顺序列出,9,假设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面前 5 种方案下料的原材料根数。我们建立如下的数学模型。目标函数：Min z=0.1x2+0.2x3+0.3x4+0.8x5 约束条件：s.t.x1+2x2+x4 100 2x3+2x4+x5 100 3x1+x2+2x3+3x5 100 x1,x2,x3,x4,x5 0,10,例2.13 明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配 三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最
5、大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？,三、生产计划的问题,11,解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。,12,求 xi 的利润:利润=售价-各成本之和可得到 xi（i=1,2,3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9元。这样我们建立如下数学模型：目标函数:Max 15x1+10 x2+7x3+13x4+9x5 约束条件：s.t.5x1+10 x2+7x3 8000 6x1+4x2+8x3+6x4+4x5 1
6、2000 3x1+2x2+2x3+3x4+2x5 10000 x1,x2,x3,x4,x5 0,13,例2.14 某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？,四、配料问题,14,解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学 模型时，要考虑：,对于甲：x11，x12，x13；对于乙：x21，x22，x23；对于丙：x31，x32，x33；对于原料1：x11，x21，x31；对于原料2：x12，x22，x32；对于原料3：x13，x23，x33；,15,目标函数：利润最大，利润=
7、收入-原料支出 约束条件：规格要求 4 个；供应量限制 3 个。,Max z=150(x11+x12+x13)+85(x21+x22+x23)+65(x31+x32+x33)-65(x11+x21+x31)-25(x12+x22+x32)-35(x13+x23+x33)=85x11+125x12+115x13+20 x21+60 x22+50 x23+40 x32+30 x33,16,s.t.0.5 x11-0.5 x12-0.5 x13 0（甲对原材料1的规格要求）-0.25x11+0.75x12-0.25x13 0（甲对原材料2的规格要求）0.75x21-0.25x22-0.25x23 0
8、（乙对原材料1的规格要求）-0.5 x21+0.5 x22-0.5 x23 0（乙对原材料2的规格要求）x11+x21+x31 100(供应量限制）x12+x22+x32 100(供应量限制）x13+x23+x33 60(供应量限制）xij0,i=1,2,3;j=1,2,3,17,例2.15 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投
9、资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。,五、投资问题,18,据测定每万元每次投资的风险指数如下表：,19,a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？,问：,20,解：1）确定决策变量：连续投资问题 设 xij(i=15，j=1、2、3、4)表示第 i 年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下决策变量：A x11 x21 x
10、31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42 C x33 D x24,21,2）约束条件：第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是：x11+x12=200 第二年：B次年末才可收回投资故第二年年初的资金为1.1x11，于是：x21+x22+x24=1.1x11 第三年：年初的资金为1.1x21+1.25x12，于是：x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12 第四年：年初的资金为1.1x31+1.25x22，于是：x41+x42=1.1x31+1.25x22 第五年：年初的资金为1.1x41+1.25x32，于是：x51=1.1x41+1.25x3
11、2 B、C、D的投资限制：xi2 30(i=1，2，3，4)，x33 80，x24 100,22,a)Max z=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24s.t.x11+x12=200 x21+x22+x24=1.1x11 x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12 x41+x42=1.1x31+1.25x22 x51=1.1x41+1.25x32 xi2 30(i=1、2、3、4)，x33 80，x24 100 xij0(i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4）,3）目标函数及模型：,23,b)Min f=（x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 s.t.x11+x12 200 x21+x22+x24 1.1x11 x31+x32+x33 1.1x21+1.25x12 x41+x42 1.1x31+1.25x22 x51 1.1x41+1.25x32 xi2 30(i=1、2、3、4)，x33 80，x24 100 1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24 330 xij0(i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4）,24,结束放映,再见！,
