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1、1.5 条件概率,一、条件概率 二、乘法公式 三、全概率公式 四、贝叶斯公式,一、条件概率,引例 袋中有7只白球，3只红球；白球中有4只木球，3只塑料球；红球中有2只木球，1只塑料球。现从袋中任取1球，假设每个球被取到的可能性相同。设 A:取到的球是白球。B:取到的球是木球。求：1）P(A);2)P(AB);3)在已知取出的球是白球的条件下，求取出的是木球的概率。,解：,列表,3).所求的概率称为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。记为,定义：设 A、B 为两事件,P(A)0,则称 为事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率。记为,若事件A已发生,为了使 B也发生,试验结果必须是
2、既在 B 中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道A已发生,故A变成了新的样本空间,于是 有上式。,条件概率 也是概率，它符合概率的定义，具有概率的性质：,可列可加性,规范性,非负性,条件概率的计算,1)用定义计算:,P(B)0,2)从加入条件后改变了的情况去算（即在缩小的样本空间中算）。,P(A|B）=,例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解:设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,解法1:,解法2:,已知某厂生产的灯泡能用到1000小时的概率为0.8,能用到1500小时的概率为0.4,求已用到1000小时的灯泡能用到
3、1500小时的概率。,解 令 A：灯泡能用到1000小时；B：灯泡能用到1500小时。,所求概率为,例2,某人外出旅游两天，据天气预报，第一天下雨的概率为0.6,第二天下雨的概率为0.3,两天都下雨的概率为0.1.当第一天下雨时，求第二天不下雨的概率。,解：设A1,A2 分别表示第一天下雨与第二天下雨,例3,利用条件概率求积事件的概率,推广：,二、乘法公式,有52张扑克牌。（1）依次取三张（无放回），求三张都是的概率。（2）一次性抽取三张，三张都是的概率,例4,(1),一盒中装有5件产品，其中有3件正品，2件次品，从中不放回地取两次，每次1件，求：（1）都取得正品的概率（2）第二次取得正品的概
4、率（3）第二次才取得正品的概率,解：令 Ai 为第 i 次取到正品i=1,2。,（1）,（2）,例,(3)第二次才取得一等品的概率,例6 P(16)波里亚罐子模型,一个罐子中包含 b 个白球和 r 个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c个与所抽出的球颜色相同的球.连续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,解:设 Wi=第i次取出是白球,i=1,2,3,4,Rj=第j次取出是红球，j=1,2,3,4,A=W1 W2 R3 R4,利用乘法公式：,P(W1W2R3R4),=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),当 c0
5、时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率。为一传染病模型。每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率。,三、全概率公式与Bayes 公式,引例 有三个箱子，分别编号为1,2,3。1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，（1）求取得红球的概率。（2）已知取出的是红球，求此球来自1号箱的概率。,(1)解：记 Bi=球取自 i 号箱,i=1,2,3;A=取得红球,B1A,B2A,B3A 两两互斥,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式。,全概率公式,全概率公式的来由,“全”部概率 P(A)
6、被分解成了许多部分之和。,它的理论和实用意义在于:,在较复杂情况下直接计算 P(A)不易,但 A 总是伴随着某个 Bi 出现，适当地去构造这一组 Bi 往往可以简化计算。,(2)解：,引例 有三个箱子，分别编号为1,2,3。1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，（1）求取得红球的概率。（2）已知取出的是红球，求此球来自1号箱的概率。,AB1,Bayes公式,这类问题，是“已知结果求原因”是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。,设B1,B2,Bn是两两互斥的事件，且P(Bi)0，i=1,2,n,另有一事件A，它总是与
7、B1,B2,Bn 之一同时发生，则,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率。,贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件 A）发生的最可能原因。,每100件产品为一批，已知每批产品中的次品数不超过4件，每批产品中有 i 件次品的概率为：,从每批产品中不放回地取10件进行检验，若发现有不合格产品，则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格。求：（1）一批产品通过检验的概率；（2）通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率。,例1,设 Bi：一批产品中有 i 件次品 i=0,1,4,A：一批产品通过检验,则,由
8、全概率公式与Bayes 公式可计算P(A)与,解：,结果如下表所示,1.0 0.9 0.809 0.727 0.652,0.123 0.221 0.397 0.179 0.080,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04,某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验的反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验的反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,解:,设 C=抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性，,已知 P(C)=0.005,P()=0.995,求P(C|A).,例 2,=0.1066,结果的意义：,1.这种试验对于诊断一个人是
9、否患有癌症 有无意义？,如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率为：P(C)=0.005,若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(CA)=0.1066 将近增加约21倍,说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义。,2.检出阳性是否一定患有癌症?,试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066,即使检出阳性，尚可不必过早下结论就有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.,称 P(Bi)为先验概率，它是由以往的经验得到的，它是事件 A 的原因。,称 为后验概率，它是得到了信息 A
10、 发生，再对导致 A 发生的原因Bi发生的可能性大小重新加以修正。,值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计”。可见贝叶斯公式的影响。,全概率公式,Bayes公式,条件概率,乘法公式,1.6 独立性,一、两个事件的独立性,二、多个事件的独立性,引例 在52张牌中，有放回地抽取两次，令：A=“第一次是”;B=“第二次是K”求：,解：,一、两个事件的独立性,定义：若事件 A、B满足上式，则称事件A、B相互独立，简称独立。,事件的独立性可根据实际经验判断。如：天气好坏与学习成绩，二人打枪各自的命中率。又：甲乙两人上课讲话（不独立），前后两次抽牌（无放回和
11、有放回）。,定理一：设A,B是两事件，且P(A)0。若A,B 相互独立，则。反之亦然。,定理二：若事件A,B相互独立，则下面几个事件对也相互独立。,两人射击，甲射中概率0.9，乙射中概率0.8，各射一次，求目标被击中的概率。,A：“甲中”，B：“乙中”。“目标被击中”：,例1,解：,三个事件的独立性,定义：设 A,B,C 是三个事件，如果满足：,则称事件 A,B,C 相互独立。,二、多个事件的独立性,强调几个概念,独立性和不相容性不要混淆（不影响与不相交）。,事件的独立性是很普遍的现象，概率性质简单。,有放回的抽样是相互独立的，无放回的取样是不独立的。当总数很庞大时，可认为近似独立。,对目标进
12、行三次射击，命中率依次为0.4，0.5，0.7，求至少有一次命中的概率。,解：设Ai“第i 次命中”(i=1,2,3)，,展开有7 项，（4正，3负）,太麻烦!,例2,另一种算法是计算未击中的概率,n个事件的独立性定义：,等式总数为：,设A1,A2,An是 n个事件，如果对任意k(1k n),任意 1 i1i2 ik n,具有等式：则称 A1,A2,An 为相互独立的事件.,多个事件两两独立与相互独立的区别与联系:,注意:,对 n(n2)个事件,相互独立,两两独立,？,例3 独立性的概念在可靠性理论计算中的应用,下面是一个系统示意图.由 n 个独立工作的元件 1,2,n.串连组成。每个元件正常
13、工作的概率（元件可靠性）为 r。求系统可靠性 R（即系统正常工作的概率）。,解：将系统正常工作记为W，元件 i 正常工作记为 Ai 由于各元件独立工作，有:,为提高系统可靠性，有两种选择方案：,系统 1：,系统 2：,分别计算两个方案的可靠性。,系统 1：,2,系统 2：,n,系统 2 优于 系统 1,例 4 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.,解:,设A=飞机被击落 Bi=飞机被i人击中 i=1,2,3,则,为求 P(Bi),i=1,2,3 设:Hi=飞机被第 i 人击中,i=1,2,3,可得:,将数据代入计算得:,P(B1)=0.36;,P(B2)=0.41;,P(B3)=0.14。,P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3),=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,=0.458,即飞机被击落的概率为0.458.,于是：,我们介绍了事件独立性的概念.不难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分简单，因而也就特别重要和有用.如果事件是独立的，则许多概率的计算就可大为简化。,
