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1、乘法公式,一个事件发生的条件下另一事件发生的概率等于这两个事件同时发生的概率除以已经发生的事件的概率,两个事件同时发生的概率等于其中一个事件发生的概率乘以这个事件发生的条件下另一事件发生的概率,定义(P9)：已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为A对B的条件概率，记作P(A/B),一、条件概率与乘法公式,二、全概率公式与贝叶斯公式,如果事件A1，A2，An 构成一个完备事件组，则对任何一个事件B，有,某一事件B在随机试验中发生的概率受不同因素的影响，事件B在所有不同因素情况下发生的概率有所不同且已知，而随机试验中各因素发生的概率也已知，（1）若要求在这一随机试验中事件B发生的概率就用全
2、概率公式。（2）若进行了试验结果事件B发生了，则要判断各因素引起的可能性大小，就用贝叶斯公式。,要求：（1）掌握条件概率和乘法公式的应用。(2)明确全概率公式和贝叶斯公式适用题型(3)掌握全概率公式和贝叶斯公式的运用方法。,一、事件的独立性(P14),定义(P14)：若事件A的发生不影响事件B发生的概率，即P(B)P(B|A)，则称事件B对A独立。,两个事件互不相容是指在同一个随机试验中的两个事件在同一次试验中不会同时发生 两个事件若相互独立是指这两个事件发生的可能性大小互不影响，但可能同时发生。,第五讲事件的独立性,事件独立的性质(P15),P(B)P(B|A)，则称事件B对A独立。,性质1
3、:若事件B对A独立，则A对B独立,性质3:若事件A、B独立，则,(P15),此时 A对B是否独立？,性质2:事件A与 B相互独立 P(AB)=P(A)P(B),例1：甲、乙两人分别同时向同一固定目标射击，已知甲击中目标 的概率为0.82，乙击中目标的概率为0.60，求目标被击中的概率。,解：设A=“甲击中目标”，B=“乙击中目标”，则,P(A)=0.82，P(B)=0.60,目标被击中即是事件,而,=0.82+0.60-0.820.60=0.928,故，目标被击中的概率为0.928,定义（P14）：设A、B、C是三个事件，如果满足关系：P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)
4、，P(BC)=P(B)P(C)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则称事件A、B、C为相互独立的。,记在P15,独立事件积的概率等于概率的积,性质:若事件A、B、C相互独立，则,均相互独立,例2：甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管，某时它们不需要工人照管的概率分别为0.9、0.8、0.85。求某时有机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率。,解：设事件A、B、C分别表示在某时机床甲、乙、丙不需工人照管。,依题意，A、B、C相互独立，且P(A)=0.9，P(B)=0.8,P(C)=0.85。,(1)某时有机床需要工人照管：,(2)某时有机床因无人照管而停工：,二、独立试
5、验概型（贝努利概型）(P16),若试验共进行n次，即称为n重贝努里(Bernoulli)试验。,如：投n次硬币,（2）每次试验的结果与其它各次试验结果无关，即在每次试验中事件A发生的概率不变,具有下述特征的试验称为贝努利试验：,进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其它各次试验结果的影响，则称这n次试验是相互独立的。,概率论中，把在相同条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验系列概型。,（1）每次试验中某事件A或者发生或者不发生；,定理：(P16)设一次试验中事件A发生的概率为,则n重贝努里试验中，事件A恰好发生k次的概率为：,定理：(P16)设一次试验中事件A发生的概率为,其
6、中,则n重贝努里试验中，事件A恰好发生k次的概率为：,例3：一条自动生产线上的产品的一级品率为0.6，现检查10件，求至少有两件一级品的概率。,解：设A“检查一件是一级品”，,所以：,同学们可自己计算下：恰有4件或恰有5件一级品的概率,现检查了10件，B=“至少有两件一级品”,则每次检查时P（A）0.6；,=“A至少发生2次”。,例4：一大批产品中次品率为0.003，现检查10件，求抽到两件次品的概率。,解：设A“检查一件是次品”，,所以所求概率为：,严格意义上，第一次抽取时事件A发生的概率是0.003，但从第二次直至第十次抽取时，事件A发生的概率就不是0.003，而且各不相同，即是说十次抽检
7、不是独立的。,但由于产品是一大批（较多），抽取次数（10次）对整体产品结构影响不大，因此，通常将每次抽取看作是独立的。,例5：某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的百分比是0.7，现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾问意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率。,解：,又由于是按多数人意见作出决策，则要作出正确决策即是要9个顾问中至少5人贡献正确意见。,由于是个别征求各位顾问的意见，每位顾问提供意见是相互独立的，这就相当于做了9次试验，而每次获得正确意见的概率均为0.7。,本次课要求：明确事件的独立性、独立试验概型及其概率的计算。,一、复习课堂所授内容及教材P141
8、7,二、练习五教材P17 T2 T5,三、预习教材P21P27,课后作业,本章重点：（1）事件与运算关系式的含义和关系；（2）掌握古典概率的计算；（3）学会概率的几个重要公式如:加法公式、乘法公式、对立事件的概率关系公式、全概率公式、独立概型概率计算公式等的运用。,第1章 随机事件及其概率,人们在观察自然界和社会现象时，常常发现三类不同的现象：,一类是在一定条件下必然发生的现象（必然现象）或必然不发生的现象（不可能现象）统称为确定性现象。,（不用试验，预先知道结果）,另一类是事物本身的含义不确定的现象，这类现象称为模糊现象。,很重要的一类：在一定条件下有多种结果，在试验或观察前无法预知出现哪种
9、结果。这类现象称为随机现象（偶然现象）。,（试验前后都难知道准确结果）,（试验前不能确定结果，但试验后就知道准确结果）,一、随机事件,为了掌握随机现象的规律性，常需对随机现象进行大量的观察或试验。,（1）可重复性：在相同条件下能重复进行；（2）可观察性：试验（或观察）的所有可能结果是已知的并且不止一个；（3）不确定性：每次试验出现这些可能结果中的一个，但在每次试验之前，不能确定出现哪一个结果。,称满足下述条件的试验为随机试验。,样本点（基本事件）随机试验中每一个最基本的可能结果称为一个样本点，也称基本事件，记为。,样本空间（必然事件）随机试验的所有可能结果构成的集合称为该随机试验的样本空间，记
10、为（有的书上也记为S）。,在观察随机现象时，人们常常关心某些特定的结果，这些结果在每次试验时可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中却具有某种规律性。,称这类特定结果为随机事件（简称事件）,事件一般用大写字母A、B、C、表示。,（随机事件就是由某些特定的基本事件组成的集合）,复合事件由一个以上基本事件构成的事件。,事件的发生如果某次试验中事件A包含的某个基本事件出现了，则称事件A发生了。,不可能事件在一定条件下必然不会发生的事件。记为。不含任何基本事件的事件。相当于集合中的空集。,1、事件的包含关系:若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于事件B，或事件B包含事件A，记为AB,2、事件
11、的相等：AB AB且BA.,3、事件的并(和)：“事件A与事件B至少有一个发生”这一事件称为事件A与B的并（和）记作AB,n个事件A1,A2,An至少有一个发生，记作,4、事件的交(积):“事件A与事件B同时发生”这一事件称为事件A与B的交（积），记作 ABAB,n个事件A1,A2,An同时发生，记作 A1A2An,二、事件的关系与运算,5、事件的差：“事件A发生而事件B不发生”这一事件称为事件A与事件B的差，记为：AB(显然：ABAAB）,6、互斥(互不相容)事件：若在同一试验中事件A与事件B不能同时发生，则称事件A与事件B为互不相容事件。记为AB。,7、互逆(对立)事件：若事件A与事件B在
12、同一试验中不能同时发生，但必有一个发生 AB,且AB。则称事件A与事件B为互逆事件。,事件A与事件B是互逆事件,事件A与事件B是互斥事件,？,9、事件的运算律,1、交换律：ABBA，ABBA2、结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)3、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)4、对偶(De Morgan)律：,8、完备事件组：,三、古典概率,（1）试验的所有基本事件为有限个；（2）每一个基本事件发生的可能性相等。,具有下列两个特征的试验称为古典试验，相应数学模型称为古典概型。,概率（古典定义）：如果古典试验的所有基本事件数为n个，而事件A中包含的基本事件数（有
13、效基本事件数）为m个，则称m/n 为事件A发生的概率，记为P（A）。,性质：（1）P（）1；（2）P（）0；（3）0P（A）1。,四、几何概型,若随机试验E的样本空间可以用欧氏几何中的某一有界区域表示（区域内每一点都是一个样本点），且其任一基本事件的发生具有等可能性，则称试验E为几何型随机试验（或几何概型）.,几何概率：,定义：设E是随机试验，是它的样本空间，A是其中的任一事件，与A对应的一个实数P(A)如果满足：,（2）完备性：P（）1,（1）非负性：P（A）0,（3）可列可加性：,称P(A)为事件A的概率,五、概率公理与概率性质,性质1：,概率的性质,性质2：,(有限可加性）,性质3：,性
14、质4：,性质5：,性质6：,推广：,不相容事件和的概率等于概率的和,乘法公式,一个事件发生的条件下另一事件发生的概率等于这两个事件同时发生的概率除以已经发生的事件的概率,两个事件同时发生的概率等于其中一个事件发生的概率乘以这个事件发生的条件下另一事件发生的概率,定义：已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为A对B的条件概率，记作P(A/B),六、条件概率与乘法公式,七、全概率公式与贝叶斯公式,如果事件A1，A2，An 构成一个完备事件组，则对任何一个事件B，有,某一事件B在随机试验中发生的概率受不同因素的影响，事件B在所有不同因素情况下发生的概率有所不同且已知，而随机试验中各因素发生的概
15、率也已知，（1）若要求在这一随机试验中事件B发生的概率就用全概率公式。（2）若进行了试验结果事件B发生了，则要判断各因素引起的可能性大小，就用贝叶斯公式。,八、事件的独立性,定义：若事件A的发生不影响事件B发生的概率，即P(B)P(B|A)，则称事件B对A独立。,(重要公式),性质：(1)若事件B对A独立，则A对B独立,(3)若事件A、B独立,一组事件相互独立，则其与相关的对立事件之间也是相互独立的,（2）事件A与 B相互独立 P(AB)=P(A)P(B),独立事件积的概率等于概率的积,若试验共进行n次，即称为n重贝努里(Bernoulli)试验。,（2）每次试验的结果与其它各次试验结果无关，即在每次试验中事件A发生的概率不变,具有下述特征的试验称为贝努利试验：,进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其它各次试验结果的影响，则称这n次试验是相互独立的。,概率论中，把在相同条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验系列概型。,（1）每次试验中某事件A或者发生或者不发生；,定理：设一次试验中事件A发生的概率为,其中,则n重贝努里试验中，事件A恰好发生k次的概率为：,
