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1、定 积 分 及 其 应 用习 题 课,问题1:曲边梯形的面积,问题2:变速直线运动的路程,存在定理,广义积分,定积分,定积分的性质,定积分的计算法,牛顿-莱布尼茨公式,一、主要内容,定积分的应用,1、问题的提出,实例1（求曲边梯形的面积A）,实例2（求变速直线运动的路程）,方法:分割、求和、取极限.,2、定积分的定义,定义,记为,可积的两个充分条件：,定理1,定理2,3、存在定理,4、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,性质5,推论：,（1）,（2）,性质4,性质7(定积分中值定理),性质6,积分中值公式,5、牛顿莱布尼茨公式,定理1,定理2（原函数存在定理）,定理 3（微积分基本公式）,也
2、可写成,牛顿莱布尼茨公式,6、定积分的计算法,换元公式,（1）换元法,（2）分部积分法,分部积分公式,、广义积分,(1)无穷限的广义积分,(2)无界函数的广义积分,5、定积分应用的常用公式,(1)平面图形的面积,直角坐标情形,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程所表示的函数,极坐标情形,(2)体积,平行截面面积为已知的立体的体积,(3)平面曲线的弧长,弧长,A曲线弧为,弧长,B曲线弧为,C曲线弧为,弧长,(4)旋转体的侧面积,五、定积分在经济上的应用,主要目的：如已知目标函数的边际函数，如何求原函数（即目标函数）,例1.求,解:因为,时,所以,利用夹逼准则得,典型例题:,一、
3、与定积分概念有关的问题的解法,思考例1下列做法对吗?,利用积分中值定理,不对!,且,说明:,故没理由认为,解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式,已知,利用夹逼准则可知,(1998考研),例2.求,思考:,提示:由上题,故,练习:1.,求极限,解：,原式,2.求极限,提示：,原式,左边,=右边,例3.,估计下列积分值,解:因为,即,例4.证明,证:令,则,令,得,故,例5.,设,在,上是单调递减的连续函数，,试证,都有不等式,证明：显然,时结论成立.,(用积分中值定理),当,时,故所给不等式成立.,明对于任何,例6.,且由方程,确定 y 是 x 的函数,求,解：方程两端对 x 求导,得,
4、令 x=1,得,再对 y 求导,得,故,例7.,求可微函数 f(x)使满足,解:等式两边对 x 求导,得,不妨设 f(x)0,则,注意 f(0)=0,得,例8.求多项式 f(x)使它满足方程,解:令,则,代入原方程得,两边求导:,可见 f(x)应为二次多项式,设,代入 式比较同次幂系数,得,故,再求导:,二、有关定积分计算和证明的方法,1.熟练掌握定积分计算的常用公式和方法,2.注意特殊形式定积分的计算,3.利用各种积分技巧计算定积分,4.有关定积分命题的证明方法,思考:下列作法是否正确?,例9.求,解:令,则,原式,例10.选择一个常数 c,使,解:令,则,因为被积函数为奇函数,故选择 c
5、使,即,可使原式为 0.,例11.设,解:,例12.如图,曲线 C 的方程为,解:,是它的一,个拐点,线,其交点为(2,4),设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定,积分,直线 l1与 l2 分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切,(2005 考研),0,例13.若,解:令,试证:,则,因为,对右端第二个积分令,综上所述,例14.证明恒等式,证:令,则,因此,又,故所证等式成立.,例15.,试证,使,分析:,即证,故作辅助函数,至少存在一点,即,证明:令,在,上连续,在,至少,使,即,因在,上,连续且不为0,从而不变号,因此,故所证等式成立.,故由罗尔定理知,存在一点,思考:本题能否用柯
6、西中值定理证明?,如果能,怎样设辅助函数?,提示:设辅助函数,例15,例16.,设函数 f(x)在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且,(1)在(a,b)内 f(x)0;,(2)在(a,b)内存在点,使,(3)在(a,b)内存在与 相异的点,使,(2003 考研),证:(1),由 f(x)在a,b上连续,知 f(a)=0.,所以f(x),在(a,b)内单调增,因此,(2)设,满足柯西中值定理条件,于是存在,即,(3)因,在a,上用拉格朗日中值定理,代入(2)中结论得,因此得,例16 题,例17.设,证:设,且,试证:,则,故 F(x)单调不减,即 成立.,例18.,设,在,上是单调递减的连续
7、函数，,试证,都有不等式,证明：显然,时结论成立.,(用积分中值定理),当,时,故所给不等式成立.,明对于任何,例19.求抛物线,在(0,1)内的一条切线,使它与,两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.,解:设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与 x,y 轴的交点分别为,所指面积,且为最小点.,故所求切线为,得 0,1 上的唯一驻点,例20.设非负函数,曲线,与直线,及坐标轴所围图形,(1)求函数,(2)a 为何值时,所围图形绕 x 轴一周所得旋转体,解:(1),由方程得,面积为 2,体积最小?,即,故得,又,(2)旋转体体积,又,为唯一极小值点,因此,时 V 取最小值.,例21.过坐标原
8、点作曲线,轴围成平面图形D.,(1)求 D 的面积;,(2)求D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积.,解:(1)设切点的横坐标为,则所求切线方程为,由切线过原点知,的切线.该切线与曲线,因此,故切线方程为,D 的面积为,(2003考研),(2)求D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积.,切线、x 轴及直线,所围三角形绕直线,旋转所得圆锥的体积为,曲线、x 轴及直线,所围图形绕直线,旋转所,因此所求旋转体体积为,得旋转体体积为,例22.证明曲边扇形,绕极轴,证:先求,上微曲边扇形,绕极轴旋转而成的体积,体积元素,故,旋转而成的体积为,故所求旋转体体积为,例23.求由,与,所围区域绕,旋转所得旋转体体积.,解:曲线与直线的交点坐标为,曲线上任一点,到直线,的距离为,则,
