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1、1,第六章 定积分及其应用,6.1定积分的概念6.2定积分的性质6.3微积分学基本定理6.4定积分的计算方法6.5广义积分6.6定积分的应用,2,第六章 定积分及其应用,4.如何计算定积分和应用定积分?,前一章讨论了已知一个函数的导数,如何求原来的函数,这样一个积分学的基本问题不定积分.,这一章将讨论积分学的另一个基本问题定积分.,1.什么是定积分?,2.定积分有哪些性质?,3.定积分与不定积分有何关系?,本章的主要问题有:,3,一.引例(曲边梯形的面积),定义1.在直角坐标系中,由一条连续曲线y=(x)和三条直线x=a、x=b和y=0(x轴)所围成的图形,称为曲边梯形,如右图AabBA(与直
2、边梯形AabB的区别).,o,x,y,y=0,y=(x),x=a,x=b,a,b,B,A,6.1 定积分的概念,当y=(x)0 时,曲边梯形AabB的面积怎么求呢?中学里会求直边多边形(特别是矩形)的面积,下面利用矩形的面积来求曲边梯形AabB的面积.,问题:,4,从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积.,o,x,y,y=(x),a,b,B,A,x+x,x,H,C,D,E,F,y,因而,如果把区间a,b任意地划分为n个小区间,并在每一个区间上任取一点,再以该点的高来近似代替该小区间上窄曲边梯形的高,从而每个窄曲边梯形就可近似地,分析:问题的难度在于曲边梯形Aa
3、bB的高对整个区间a,b来说是一个变量,其最大值与最小值之差较大;但从区间a,b的一个局部(小区间)来看,它也是一个变量;,但因(x)连续,从而当 x 0时,y0,故可将此区间的高近似看为一个常量,5,视为一个小窄矩形,而且全部窄矩形的面积之和也可作为曲边梯形面积的近似值.,要想得精确值,只需区间a,b的分法无限细密(即每个小区间的长度 x 0)时,全部窄矩形的面积之和的极限一定是曲边梯形面积的精确值.,从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:,I.化整为零(或分割)任意划分,(如右图)用分点,o,x,y,y=(x),将区间a,b任意地划分为n个小区间,6,o,x,y,y=(x),记第 i
4、个小区间的长度为,过每个分点作垂直于x轴的直线,将曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形(如上图).,若用S表示曲边梯形的面积,表示第i个窄曲边梯形(阴影部分)的面积,则有,II.近似代替(或以直代曲)任意取点,在每个小区间,上任取一点,以 为高、以小区间 的长度为底,7,则该窄矩形的面积,为了从近似过度到精确,将所有的窄矩形的面积相加,就得曲边梯形的面积的近似值,即,III.求和、取极限,作窄矩形(如右图).,近似等于,即,记各小区间的最大长度为,当分点数n无限增大且各小区间的最大长度,对上述和式取极限就得曲边梯形的面积,即,8,二.定积分的定义,由引例知,把一个求曲边梯形的面积的问题可以归结为一个
5、特殊和式的极限.这种和式的极限应用极广,可解决数学、物理、工程及经济等众多领域中的不少实际问题,将上述获得这类极限的思想方法加以概括和抽象,定义1.设(x)在a,b上有定义,点,在每个小区间,上任取一点,就有定积分的定义:,将区间a,b任意地划分为n个小区间;每个小区间,的长度为,作和式,9,若当 时,有确定的极限值 I,且 I 与区间a,b的,分法和 的取法无关,则称函数(x)在区间a,b上可积,并称此极限值I为(x)在区间a,b上的定积分,记为,称为积分和.,其中(x)为被积函数,(x)d x称为被积表达式,x 称为积分变量,a称为积分下限,b称为积分上限,a,b称为积分区,即,注1.若(
6、x)在区间a,b上可积,则定积分,的字母无关,即,它仅与被积函数(x)和积分区间a,b有关,而与积分变量,C 常数,10,注2.极限过程,既保证了分点个数无限增多(),又保证了区间分割无限细密(即所有小区间的长度都趋于0).,因此,对于可积函数(x),若要用定义来计算,若只有 则不能保证区间分割无限细密.,注3.(x)在区间a,b上可积的充要条件是极限,且此极限值与a,b的分法和 的取法无关.,则可选择较为方便的区间分法和 的取法,使得计算简便.,11,三.函数可积的条件,由注3知,每个函数的可积性与积分和的极限的存在性等价,但求积分和的极限,却非常困难.,定理1.若(x)在区间a,b 上无界
7、,则(x)在a,b上必不可积.,问题:,下面给出函数可积的几个定理:,其等价命题为“可积函数必有界”函数可积的必要条件.以下三个定理是函数可积的充分条件.,定理2.若(x)在区间a,b上连续,则(x)在a,b上可积.,定理3.若(x)在区间a,b上有界且只有有限个间断点,则(x)在a,b上可积.,12,注4.有了函数可积的充分条件,就可借助定义1来,例1 利用定积分定义计算定积分,可将区间0,4 特殊划分并特殊取点.,定理4.若(x)在区间a,b上单调有界,则(x)在a,b上可积.,解 因(x)=2x+3 在 0,4 上连续,.将某些极限问题转换为一个定积分.,.计算给定的定积分的值;,故它在
8、a,b上可积,从而,不妨在区间0,4 内插入 n 个等分点,分成 n 个小区间,取右端点为,13,例2 将,表示成定积分,在区间0,1上可积,14,用等分分点法所得的积分和为,15,习题提示:P213.4.(2),16,注5.前面的讨论中已默认区间a,b中的a b呢?为方便作如下规定:,且ab时,定积分,从而可消除对定积分上下限的大小限制.,.若a=b,则,.若ab,则,四.定积分的几何意义,表示一个在 x 轴上方的曲边梯形的面积;,由定义1知,当连续函数,17,且 a b时,定积分,当(x)在a,b上有正有负时,定积分,形的面积与 x 轴下方的曲边梯形的面积之差(即面积的代数和).,表示一个在 x 轴下方的曲边梯形的面积的相反数.,的值就是 x 轴上方的曲边梯,当,18,例3 利用定积分的几何意义,计算曲线 y=sinx、直线,表示由曲线y=sinx、直线x=0、x=2,及 x 轴所围成的曲边梯形的面积,即,解 根据题意,所求曲边梯形的面积如右图.,x=0、x=2及x轴所围成的曲边梯形的面积.,利用定积分的几何意义知,
