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1、第六章 定积分的应用在这一章我们将通过计算曲线围成的面积、立体的体积、曲线的弧长、函数的平均值、变力做功、平板的质心、坝的压力以及许多生物学、经济学、统计学方面感兴趣的事情来探讨定积分的应用。关于这些主题的应用在方法上和寻求曲线下的面积方法相似。我们将一个量Q分成许多小的部分，当对每一部分计算出它的近似值时，我们就可以通过黎曼和得出Q的近似值。然后取极限，用积分表示Q，最后，我们利用计算定理或辛普森法则计算定积分。6.1 平面图形的面积在第五章我们定义并求出了函数曲线下方区域的面积，在这里我们计算更一般区域的面积。首先我们讨论两个函数曲线之间区域的面积，然后讨论参数曲线围成区域的面积。曲线围成
2、的面积考虑曲线、以及垂直直线、所围区域的面积，这里、是连续函数且（见图1）。图1正像在5.1节计算曲线下的面积一样，我们将区域S等分成n个长条，然后用宽为高为的矩形面积近似第i个长条的面积。（见图2，如果我们想的话，可以将所有点取为右端点，）。因此，黎曼和被直观地认为区域S面积的近似。图2这种近似随着变得越来越好，因此，我们定义区域S的面积为这些近似矩形面积和的极限值。 （1）我们认出（1）式中的极限是函数的定积分，因此我们有下面的面积公式。 曲线、以及垂直直线、所围区域的面积是 （2）这里、是连续函数且。注意到的特殊情形是函数曲线下区域的面积，区域面积的一般定义源于我们之前的定义（定义5.1
3、.2）。当、都是正的时候，你从图3可以看出为什么（2）是正确的。图3例1 求以曲线、为边界的区域面积。解该区域见图4，上边界是，下边界是，因此我们用 面积公式（2），令、可得：图4在图4中我们画了一个典型的宽为近似矩形，作为面积定义（1）过程的提醒。一般的，当我们建立一个面积的定积分时，它对描绘区域以确定上曲线，下曲线以及典型的近似矩形是有帮助的（图5）。则典型的矩形面积是，而等式概括了所有近似矩形面积相加的过程（在极限意义上）。图5注意到图5中左边界退化成了一个点，相反的，图3中右边界退化成了一个点。在下一个例子中两个边界都退化成了一个点，因此，第一步是确定和。例2 求抛物线和所围区域的面积
4、。解首先，我们通过解方程组求出两条抛物线的交点。这给出或，因此，所以或，交点是和。从图6中可以看出上曲线和下曲线分别是和典型的矩形面积是同时，该区域介于和之间。因此，总的面积是图6有时候，要准确找出两条曲线的交点是非常困难的，甚至是不可能的。下面的例子显示了这一点，对这种情况我们可以利用图形计算器或计算机确定交点的近似值，然后利用之前的方法来解决。例3 求解曲线和所围区域面积的近似值。解如果试图找到两条曲线的确切交点，我们需要求解方程这看起来是一个求解非常困难的方程（事实上，是不可能求解的），因此，取而代之的是利用图形工具画出两条曲线（图7），一个交点是原点，我们放大图形寻找另外一个交点，发现
5、。于是，两曲线间的面积的近似值是为了积出第一项，令，则，当时，。因此图7例4 图8显示了两辆汽车的速度曲线A和B，它们并排行驶在同样的道路上速度曲线间的面积代表了什么？用辛普森法则计算它。图8解从5.3节我们得知速度曲线A下的面积表示的是汽车A在前16秒内行驶的距离，类似的速度曲线B下的面积表示的是汽车B在前16秒内行驶的距离。因此，两条速度曲线间的面积表示的是两条曲线下面积的差，是16秒内两辆汽车之间的距离。我们从图上读取速度并转换为英尺每秒（1米每小时=5280/3600英尺每秒）。利用辛普森法则，8等分时间区间，因此，我们估算16秒后两车的距离为：有些区域最好是将作为的函数，如果区域是以
6、曲线、和作为边界，则它的面积是这里的和是连续函数且（见图9）. 图9 图10如果我们记右边界为左边界为，则像图10显示的那样，可得这里典型的近似矩形的尺寸是和。例5 求解直线和抛物线所围区域的面积。解通过求解方程组可得两曲线的交点是和，我们解关于的抛物线方程，并在图11中注意到左右边界曲线是和我们必须在适当的值和之间进行积分，于是图11我们已经通过对积分求出了例5中的面积，但是这种计算太复杂。这将意味着将区域分成两部分，并分别计算标记为和的面积（图12），这种方法应用于例5更简单。图12参数曲线围成的面积我们知道曲线（）下的面积是，这里。如果曲线是以参数方程和（）给出，则我们可以通过对定积分利
7、用换元法计算面积： 或例6 计算摆线（）一拱下的面积(见图13)。图13解摆线的一拱通过给定，用换元法可得6.2 体积在试图寻求立体的体积时我们遇到了和求面积同样的问题。我们有一个直观的想法体积是什么，我们必须通过计算给出体积的精确定义来使这个想法具体化。我们从一个简单的类型柱体（或更精确的，正柱体）开始。如图1(a)中显示的那样，柱体以平面区域（被称为底）和与平行且全等的区域为界。柱体由垂直于底面连接和的垂直线段上的点组成。如果底面面积是，柱体的高是，则柱体的体积被定义为图1特殊的，如果底面是个半径为的圆，则柱体是个体积为的圆柱体（见图1(b)），如果底面是一个长为宽为的矩形，则柱体是一个体
8、积为矩形盒（也被称为长方体）（见图1(c)）。对一个不是柱体的立体我们首先把它分成许多小块，然后对每一小块用柱体去近似，通过将这些柱体的体积相加来近似立体的体积。通过当块数无限大的极限过程我们可以得到体积的精确值。我们通过横切立体S得到一个称为截面的平面区域开始，令为过过点，垂直于轴，在平面上的截面面积，这里。（见图2）。截面面积随着从到增加将发生变化。图2让我们用平面将立体S等分成个宽为的平板。如果选择区间样本点为，我们可以用底面积为高为的柱体近似第个平板的体积（见图3）。图3这个柱体的体积是，因此，第个平板的体积直观概念上可以近似为将这些平板的体积相加就可以得到体积的近似值这种近似随着会越
9、来越好，因此，我们定义体积为和式当时的极限。但是我们意识到黎曼和的极限是定积分，因此我们可以得到如下的定义。体积的定义 令S为介于和之间的立体，如果过点，垂直于轴，在平面上的截面面积是，这里是连续函数，则S的体积为当我们使用体积公式时，记得过点，垂直于轴截面面积是变化的是非常重要的。例1 证明半径为的球体体积是。证 如果我们放置球体使得球心在坐标原点（见图4），则平面截球体所得是一个圆，半径是，因此，截面的面积是利用体积的定义（），可得图4图5图解了当立体是半径为的球体时体积的定义，从例1 的结果可以知道，立体的体积为。这里平板是圆柱体，图5的三部分显示了黎曼和当时的几何解释，如果我们选择样本
10、点为中点，可得注意到当我们增加近似柱体的数量时，则相应的黎曼和会越来越接近立体体积的真实值。图5例2 求解曲线绕着轴旋转所得立体的体积，通过画出典型的近似柱体来说明体积的定义。解图6(a)显示了该区域，如果关于轴旋转可以得到图6(b)显示的立体。当我们过点切下时，可以得到半径为的圆盘。截面的面积是近似柱体的体积是立体位于和之间，因此，它的体积是图6例3 求解由曲线、所围区域绕轴旋转一周所得立体的体积。解图7(a)显示了平面区域，旋转得到的立体见图7(b)。因为该区域绕轴旋转，所以感觉上垂直于轴横切立体，因此应该对积分。如果在高处横切，则我们得到一个半径为的圆盘，。因此。过的截面面积是图7(b)
11、中近似柱体的体积是由于立体在和之间，所以它的体积是图7例4 区域由曲线和围成，该区域绕轴旋转一周，求该旋转体的体积。解曲线和的交点是和，图8显示了它们之间的区域，旋转体以及垂直于轴的截面。平面上的截面具有垫圈的形状，内环半径为，外环半径为，因此我们可以用外环面积减去内环面积得到截面的面积：因此，我们得到图8例5 求解例4中的区域绕选择所得立体的体积。解图9显示了该立体以及截面，截面也是一个垫圈，但是这次它的内环半径为，外环半径为，截面的面积是立体的体积是图9例1-5中的立体称为旋转体，因为它们是绕直线旋转得到的。一般情况下，我们可以通过基本的定义公式计算旋转体的体积或我们可以利用下面的其中一种
12、方式得到截面的面积：（1） 如果截面是一个圆盘（例1-3），我们可以找到圆盘的半径（根据或），利用公式求截面面积。（2） 如果截面是一个垫圈（例4-5），我们通过画图（图9、图10）确定它的内环半径，外环半径，利用外环面积减去内环面积得到截面的面积图10下面的例子给出这种过程的进一步说明。例6 求解例4中的区域绕直线旋转所得立体的体积。解图11显示了水平截面，它是一个内环半径为，外环半径为的垫圈，因此，截面的面积是体积是图11现在我们来求解两个不是旋转体的立体体积。例7 图12显示了一个底是1为半径的圆的立体，垂直于底的平行截面是等腰三角形，求该立体的体积。图12解令圆的方程为，图13显示了该
13、立体，底面以及距离原点为的典型截面。图13由于B在圆上，我们可得，因此，三角形ABC的底为。因为该三角形是等腰三角形，所以从图13(c)中可得它的高是，因此，可得截面面积立体的体积是例8 求一个锥体的体积，它的底是边长为的正方形，高是。解我们将坐标原点放在锥体的顶点，轴在它的中心轴上（见图14）。任意一个过点垂直于轴的平面截锥体为边长为s的正方形。通过观察图15中相似三角形利用表示s因此，截面的面积是 图14 图15锥体位于和之间，因此它的体积是注：在例8中不是必须要将锥体的顶点放在坐标原点，我们这样做只是为了简化方程的形式。如果我们换种方式，将底面中心放在坐标原点，顶点在轴上（图16），你可
14、以验证将得到积分圆柱壳许多体积问题利用到目前为止我们使用的切割方法是非常难以处理的。例如，让我们考虑曲线和轴所围区域绕轴旋转所得立体的体积（见图17）。如果我们切割，将会面临严重问题。为了求解内环半径和外环半径我们必须求解关于的三次方程，这是不容易的。幸运的是，有一个称为圆柱壳的方法，面对这种情况使用起来是比较容易的。下面的例子将说明这一点。图17例9 求解曲线和轴所围区域绕轴旋转所得立体的体积。解取代切割法，我们用圆柱壳来近似立体。图18显示了宽为典型近似矩形，如果将该矩形绕轴旋转，我们将得到一个圆柱壳，它的平均半径是第个子区间的中点。 图18 图19想象将该壳切开并展平（图19），结果是矩
15、形平板具有尺寸和，因此该壳的体积是如果我们对每一个子区间都这样处理并将结果相加，则可得到体积的近似值：这种近似随着的增加将会改善，因此这下面的结果看起来是合理的。它将证明由圆柱壳法给出的结果和切割法给出的结果是一致的。图20图20显示了利用计算机产生的在例9中我们计算的立体的图形。6.3曲线的弧长曲线的长度是什么意思？我们也许会想到找一根与图其中曲线相匹配的绳子，然后用直尺去测量。但是如果我们有一条比较复杂的曲线，想得到非常精确的结果是困难的。对曲线的弧长我们需要利用已经解决的面积和体积同样的思想给出一个更精确的定义。图1 如果曲线是一个多边形，将很容易求得它的长度，只需要将构成多边形的直线段
16、相加即可。我们将通过首先近似然后取当多边形变数逐渐增加的极限来定义一般曲线的弧长。这个过程对圆来说是非常熟悉的，它的周长是圆内接多边形长度的极限（见图2）。图2假设曲线由参数方程给出我们假设曲线是光滑的，在这个意义上，导数和是连续的，而且当时不同时为零。我们将参数区间等分成个子区间（宽度为），如果是这些子区间的末端点，则和是与曲线C上点相对应的，多边形的顶点是,用这样的多边形来近似曲线C（见图3）。曲线C的长度可以用多边形的长度来近似，而且近似的结果随着的增加会变得更好（见图4）。因此，我们可将曲线C的长度定义为这些标记的多边形的长度的极限：图3图4注意到定义曲线弧长的过程和已经定义的面积和体
17、积的过程是非常相似的。我们将曲线分成许多小段，然后近似这些小段并相加，最后取时的极限。为了计算，我们需要给L一个更方便的表示形式。如果我们令和，则多边形的第个直线段的长度是但是，由导数的定义我们知道如果非常小，则因此于是因此这是函数的黎曼和，因此我们的结果表明事实上，我们的理由可以更具体，排除曲线的一部分重叠的情形，这个公式是正确的。曲线的弧长公式1如果具有参数方程的曲线是光滑的，当由增加到时它是严格遍历的，则它的长度是例1 求解曲线位于点和之间的弧长（见图5）。图5解首先从参数方程可以看出点和之间的部分对应的参数区间是，因此，由弧长公式1可得如果我们采取换元，则，当时，时，因此如果给定的曲线
18、方程是，则我们视为参数。于是参数方程为，公式1变成 （2）类似的，如果给定的曲线方程是，则我们视为参数，弧长为 （3）因为公式1,2,3中根号的出现，导致弧长的计算中积分计算是非常困难的甚至是不可能精确求解的。因此，在接下来的例子里我们必须满意于弧长的近似解。例2 计算双曲线从点到部分的曲线弧长。解我们有因此，由公式2可得精确地计算这个定积分是不可能的，因此利用辛普森法则（见5.9节）令，于是通过计算机代数系统产生更精确的近似结果检查该定积分的值我们会发现，利用辛普森法则得到的近似结果精确到小数点后四位。例3 求解抛物线从点到点部分的弧长。解 由于，因此可得，由公式3可得利用计算机代数系统或积
19、分表,可得例4 计算摆线一拱的长度。解 从1.7节例7中我们看到摆线的一拱由参数区间确定，由于所以，有该积分可以不用计算机代数系统，而是进一步利用三角恒等式计算：6.4函数的平均值对于有限多个数是容易计算它们的平均值的：但是，如果一天内读取无穷多个温度值是可能的，那么如何计算温度的平均值？图1显示了温度函数的曲线和猜测的温度平均值，这里的单位是小时的单位是。图1一般的，让我们尝试计算函数的平均值。我们先将区间等分成个子区间，每个子区间的长度是，然后我们依次在每个子区间上选择点并计算的平均值：由于，所以可得，平均值变为如果让增加，我们将可以计算许多接近于零值的数的平均值。通过定积分的定义可得，极
20、限值是因此，我们定义函数在区间上的平均值为例1 计算函数在区间上的平均值。解令，可得如果是时刻的温度，我们也许感到诧异的是恰好有某一时刻的温度值等于平均温度。对于图1中的温度函数，我们有两个这样的点，恰好是正午前和午夜前。一般的，对于函数是否也存在一点恰好使得该点的函数值等于函数的平均值，也就是？下面的定理指出对于连续函数这个结论是正确的。积分中值定理 如果是区间上的连续函数，则存在区间上的一个数，使得也就是说，积分中值定理是微分中值定理和微积分基本定理的结果，练习17给出了简要证明。积分中值定理的几何解释是，对于正值函数，存在一个数使得底为高为的矩形面积恰好等于曲线下从到的面积（图2）。图2
21、例2 由于是区间上的连续函数，积分中值定理指出存在区间上的一个数使得在这种特殊情况下我们可以找出的精确值。从例1中我们知道，因此值满足因此 于是因此，在这种情况下我们可以在区间上取使得积分中值定理成立。图3说明了例1和例2。图3例3 证明汽车在时间区间上速度的平均值等于行程中的平均速度。证 如果是汽车在时刻的位移，则由定义可得汽车在时间区间上的平均速度是另一方面，速度函数在区间上的平均速度是6.5物理和工程应用在许多物理和工程的应用中我们讨论三个：功、水压力、物体的质心。正像之前解决的几何应用(面积、体积、弧长)一样，我们的策略是将物理量分成许多小部分，对每一部分进行近似求解，然后将结果相加，
22、取极限，最后计算定积分。功“work”在日常语言中的意思是完成一项任务需要付出的大量努力，在物理学中，它有一个技术上的含义，该含义依赖于力的概念。直观上，你可以想象力描述为推或拉一个物体。比如，水平推桌子上的书或地球引力对球的向下拉。一般的，如果一个物体具有位移函数沿直线移动，则物体受的作用力被牛顿运动定律定义为物体的质量和加速度的乘积： （1）在SI度量系统中，质量的测量单位是千克，位移的测量单位是米，时间的测量单位是秒，力的单位是牛顿。因此，1牛顿的力作用在1千克的物体上产生的加速度是1米每平方秒。在美国的常规系统中基本单位被选为力的单位磅。加速度是常数的情况下，则力也是常数，该力做的功被
23、定义为力和位移的乘积： （2）如果力的单位是牛顿，位移的单位是米，则功的单位是牛顿米，被称为焦耳（J）。如果力的单位是磅，位移的单位是英尺，则功的单位是英尺磅，1英尺磅等于1.36J。例如，假如你举起地板上1.2千克的书放到0.7米高的桌子上。你使用的力等于地球引力的反作用力，因此，等式1可以给出等式2给出功为但是，如果20磅的重量从地面上举到6英尺，则力为，因此功是这里我们没有乘以g是因为给的是重力而不是质量。等式2定义的功是力为常数，但是如果力是变化的将会发生什么呢？让我们假设物体沿着轴正向从移动到，在、之间的任一点处物体所受的力为，这里的是连续函数。我们将区间用点等分成宽度为的个子区间，
24、在第个子区间上选取样本点，在该点处的力为。如果大，则就小。由于是连续函数，所以函数值在子区间上不会有太大的变化。换句话说，在该区间上基本上是个常数，因此从点移动到点做的功可由等式2近似得到：于是，我们可以通过式3得到功的近似值。 （3）看起来当更大时近似精度也更好，因此，我们定义将物体由移动到所做的功为式3当时的极限。由于式3的右边是黎曼和，我们记得它的极限是定积分，所以例1 当一个质点位于距原点英尺处受力磅的作用，问将该质点从移动到处所做的功是多少？解所做的功是。在下个例子中我们使用物理定律：库克定律指出要使弹簧拉伸超出原始长度单位所需要的力与成正比：这里的是正常数（被称为弹簧系数），库克定
25、律指出不能太大（见图1）。图1例2 一个弹簧从其原始长度10cm拉伸至15cm需要受40N的作用力，问将该弹簧从15cm拉伸至18cm需要做多少功？解 根据库克定律，将弹簧拉伸米需要受的力是。当弹簧从15cm拉伸至18cm，拉伸长度是，这意味着，因此于是，将该弹簧从15cm拉伸至18cm需要做的功是例3 一个倒圆锥形状的贮水池高10米，底是半径4米的圆，装水至8米高，问将水从贮水池的顶部抽空需要做多少功？解 图2 图3建立垂直坐标系（图2）以便测量贮水池的深度，水从2米到10米被抽出。因此，我们将区间用点等分成个子区间，在第个子区间上选取样本点，这将水分成层，利用图3以及相似三角形可以计算出如
26、下：于是，第层水体积的近似值是它的质量是抽出该层水克服地球引力做功是这一层的每一个质点移动的距离近似为，将这层水移动到顶部需要做的功约等于力和距离的乘积：为了计算将水抽空需要做的功，我们将每层水的功相加并取时的极限可得：静水压力和压力深水潜水员意识到水压力会随着潜水深度的增加而加大，这是因为他们上面的水的重力增大了。一般的，假设一个面积为A平方米的水平薄板浸入密度为千克每立方米的液体里，在液面下d米处（图4）。平板正上方的液体体积是，因此它的质量是。于是，液体对薄板产生的压力是这里的g是重力加速度，平板上的压强被定义为单位面积上的压力：图4SI单位测量压强的单位是牛顿每平方米，被称为帕（简写为
27、：1N/M2=1Pa），由于这是一个小单位，所以经常使用千帕。例如，因为水的密度是，所以游泳池底部2m处的压强是一个重要的液体压强定律是实验证明液体中任一方向上的压强都是一样的。因此，液体密度为深度为任一方向上的压强是 （4）这将帮助我们确定垂直放入液体中的平板、墙或大坝的静压力，这不是一个简单的问题，因为随着深度的增加压强不再是常数。例4 一个梯形状的大坝（见图5），高度是20m，上底是50m，下底是30m。如果水平面距离大坝顶部4m，计算大坝的静压力。图5解我们选择坐标原点在水平面，轴垂直（图6(a)）。水深是16m，因此我们用端点将区间等分成若干个子区间，选择。第个大坝水平长条用高为宽为
28、的矩形近似，这里，由相似三角形（图6(b)）可得或于是 如果是第个长条的面积，则如果比较小，则第个长条上的压强几乎等于常数，利用等式4可得 图6第个长条上的静压力等于压强与面积之积：将这些压力相加并取当时的极限，便可得到大坝的总压力：矩和质心这里我们的主要目标是对任意形状的平板找到一点使其保持水平平衡（图7），这一点称之为平板的质心。 图7 图8我们首先讨论图8中的简单情形，这里两个质点和放在质量可以忽略不计的杆的两端，两质点距离支点的距离分别为和。如果 （5）则杆能保持平衡。这是由阿基米德发现的一个实验事实，并被称之为杠杆定律。现在我们假设杆位于轴上，质点在处在处，质心在处。对比图8和图9，
29、我们看到，则由等式5给出 （6）数和称为质点和的力矩，等式6指出质心由力矩之和除以总质量得出。图9一般的，如果个位于轴上点处具有质量的质点系，则它的质心可以类似的表示为： （7）这里是质点系的总质量，每个力矩的总和是被称为质点系相对于原点的力矩。由于等式7可以被重写，这说明如果总质量被考虑集中到质心上，则它的力矩等于质点系的力矩。现在我们讨论个具有质量的质点系，该质点系位于平面上（图10）。图10通过类比一维情形，我们定义质点系关于轴的力矩 （8）关于轴的力矩 （9）反应了质点系绕轴旋转的倾向，反应了质点系绕轴旋转的倾向。根据一维的情形，根据力矩给出质心坐标公式这里是总质量。由于，质量为的质点
30、在质心处将和质点系具有相同的力矩。例5求解物体系的质心和力矩，各物体的质量和位置分别是3,4,8和。解利用等式8和9可得力矩：由于，利用等式10可得因此，质心是（见图11）。图11接下来我们讨论占有平面区域具有相同密度的平板（被称为薄板）。我们希望确定平板的质心，它被称为平面区域的形心。在处理的过程中我们使用物理原理：对称原理说如果区域关于直线对称，则区域的形心也关于直线对称。于是，矩形的形心就是它的中心。力矩应该被定义，如果整个质量集中在质心一点上，力矩保持不变。此外，两个非重叠的联合区域的力矩应该等于两个区域的力矩之和。假设区域具有图12(a)的形状，也就是，位于直线和之间，轴上方，曲线下方，这里的是连续函数。我们将区间利用端点等分成宽度为的子区间，选择样本点为第个子区间的中点，也就是，这决定了区域的多项式近似（见图12(b)）。第个近似矩形的形心是它的中心。它的面积是，因此它的质量是。区域关于轴的力矩是它的质量与到轴的距离之积，所以将这些力矩相加，我们可以得到区域力矩的多项式近似，然后取时的极限将得到区域关于轴的力矩：类似的方式我们可以计算关于轴的力矩是它的质量与到轴的距离之积，所以同样的我们将这些力矩相加并取极限就可以得到关于轴的力矩：
