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1、第四章 直梁的弯曲,化工设备机械基础,弯曲应力,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,1、弯曲构件横截面上的（内力）应力,平面弯曲时横截面s 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)平面弯曲时横截面t 剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况),2、研究方法,纵向对称面,P1,P2,例如：,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。15006418021,P,P,a,a,A,B,Q,M,x,x,纯弯曲(Pure Bending):,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,1.梁的纯弯曲实验,横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动；
2、纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。,（一）变形几何规律：,一、纯弯曲时梁横截面上的正应力,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,2.两个概念,中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,2023/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,7,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,2023/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,8,根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称为中性层。,中性层,中
3、性轴,中性层与横截面的交线就是中性轴。,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,2023/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,9,3.假设：1、平面假设：横截面变形后保持为平面，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度,距中性轴等高处，变形相等。2、互不挤压假设：所有纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，相互之间没有挤压。即横截面上只有正应力。,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,2023/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,10,推论：1、纯弯曲时梁的变形本质上是拉伸或压缩变形，而非剪切变形，梁横截面宽度的改变是纵向纤维的横向变形引起的；2、横截面上只有正应力，而无剪应力；凹侧纤维缩短，凸侧纤维伸长。因此
4、凹侧受压缩，存在压缩应力；凸侧受拉伸，存在拉伸应力；3、梁内既没有伸长也没有缩短的纤维层，叫做中性层，中性层与横截面的交线叫中性轴，中性层将梁分成受压和受拉区，即中性层一侧作用拉伸应力，另一侧作用压缩应力，中性层上正应力为零，梁横截面的偏转就是绕其中性轴旋转的。,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,2023/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,11,梁在纯弯曲时平面假设，横截面仍保持为平面，且与梁变形后的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵对称轴的某一轴转动。,即中性轴,平面假设：,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,2023/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,12,r 中性层的曲率半径,4-
5、4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,4.几何方程：,OO1,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,由虎克定律,（二）物理关系：,由于纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。,纯弯曲时梁横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，距中性轴同一高度上各点的正应力相等。,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,2023/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,15,（三）静力学关系：,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,(3),这是纯弯梁变形时中性层曲率的表达式。EIz称为梁的抗弯刚度。,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,弯曲正应力计算公式,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,20
6、23/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,18,中性轴 z 为横截面的对称轴时,称为抗弯曲截面模量,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,2023/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,19,中性轴 z 不是横截面的对称轴时,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,2023/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,20,（四）最大正应力：,(5),4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,2023/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,21,简单截面的轴惯性矩和抗弯截面模量,矩形截面,圆形截面,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,2023/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,22,空心圆截面,(4)型钢截
7、面：参见型钢表,式中,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,2023/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,23,纯弯曲理论的推广,横力弯曲时：1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲；2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,2023/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,24,弹性力学的分析结果：对于细长梁（l/h 5），纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）11截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上
8、的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。,解：画M图求截面弯矩,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,求应力,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,求曲率半径,4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力,45 梁横截面上的剪应力,一、矩形截面梁横截面上的剪应力,1、两点假设：剪应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，剪应力 相等。,t方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。,2、几种常见截面的最大弯曲剪应力,45 梁横截面上的剪应力,圆截面：,薄壁圆环：,槽钢：,45 梁横截面上的剪应
9、力,4-6 梁的正应力强度条件 梁的合理截面,1、危险面与危险点分析：,一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；,一、梁的正应力强度条件,2、正应力强度条件：,2023/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,32,3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：,、校核强度：,4、需要校核剪应力的几种特殊情况：,梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核剪应力。,铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。,各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。,4-6 梁的正应力强度条件 梁的合理截面,解：画内力图求危面内力,例2 矩形(b
10、h=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0.9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。,A,B,L=3m,4-6 梁的正应力强度条件 梁的合理截面,求最大应力并校核强度,应力之比,4-6 梁的正应力强度条件 梁的合理截面,解：画弯矩图并求危面内力,例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于G点，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？,画危面应力分布图，找危险点,4-6 梁的正应力强度条件 梁的合理截面,校核强度,T字头在上面合理。,4-6 梁的正应力强度
11、条件 梁的合理截面,2023/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,37,拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁,为充分发挥材料的强度，最合理的设计为,4-6 梁的正应力强度条件 梁的合理截面,2023/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,38,4-7 梁的合理设计,一、合理配置梁的荷载和支座,控制强度条件：,MWz,2023/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,39,4-7 梁的合理设计,2023/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,40,二、合理选取截面形状,1、尽可能使横截面面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数与面积比值W/A增大。,4-7 梁的合理设计,2023/6/7,青岛科技
12、大学 机电工程学院,41,2、对于由拉伸和压缩强度相等的材料 制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。,4-7 梁的合理设计,2023/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,42,3、对于拉、压强度不等的材料制成的梁，应采用对中性轴不对称的截面，以尽量使梁的最大工作拉、压应力分别达到(或接近)材料的许用拉应力 st 和许用压应力 sc。,4-7 梁的合理设计,（一）矩形木梁的合理高宽比,北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b=)1.5,英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为,4-7 梁的合理设计,强度：正应力
13、：,1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,其它材料与其它截面形状梁的合理截面,4-7 梁的合理设计,4-7 梁的合理设计,工字形截面与框形截面类似。,4-7 梁的合理设计,2023/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,47,三、合理设计梁的外形,考虑各截面弯矩变化可将梁局部加强或设计为变截面梁。,4-7 梁的合理设计,2023/6/7,青岛科技大学 机电工程学院,48,若梁的各横截面上的最大正应力都达到材料的许用应力，则称为等强度梁（鱼腹梁）。,4-7 梁的合理设计,对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：,2、根据材料特性选择截面形状,4-7 梁的合理设计,（二）采用变截面梁，如下图：,最好是等强度梁，即,若为等强度矩形截面，则高为,同时,4-7 梁的合理设计,4-8 考虑材料塑性时的极限弯矩,全面屈服后,平面假设不再成立;,理想弹塑性材料的s-e 图,弹性极限分布图,塑性极限分布图,例4 试求矩形截面梁的弹性极限弯矩M max与塑性极限弯矩 Mjx之比。,解：,4-8 考虑材料塑性时的极限弯矩,Thank You!,
