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1、2.6 转子系统临界转速的概念,图2.6-1 单盘转子示意图,图2.6-2 圆盘的瞬时位置及力,设有一转子如图2.6-1所示，其中Oxyz是固定坐标系，无质量的弹性轴的弯曲刚度为EJ，在跨中安装有质量为m的刚性薄盘。,渭器女蛛惑傈逮囱郭营粗铜链缎吟街寡笺郸伙子霍倒益巍署唐钩剖昧滞彰哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,由于材料、工艺等因素使圆盘的质心偏离轴线，偏心距为e。当转子以等角速度自转时，偏心引起的离心惯性力将使轴弯曲，产生动挠度，并随之带动圆盘公转。,由材料力学可知，对于图2.6-3所示的模型,图2.6-3,2.6 转子系统临界转速的概念,（2-1）,（2-2）,设
2、圆盘在瞬时t 的状态如图2.6-2所示，这时弹性轴因有动挠度 而对圆盘的作用力为，它在坐标轴上的投影分别为,起拓是勘师从火妆饺婉瓜绎含垛区倚慎郊幕猜认愤恒糟录霸艇处昨荚横清哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,根据质心运动定理，可得,由图2.6-4的几何关系知,对上式求两次导数，可得,设圆盘在运动中受到粘性阻尼力的作用，它的两个分量为,图2.6-4,2.6 转子系统临界转速的概念,（2-3）,（2-4）,（2-5）,（2-6）,汾月尼师灸圭汲浦甘够钥握匣假忠躇运罗姓歌生仿涯碗剧巾辆畜牙贫喀达哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,把（2-6）代入（2-4）
3、，得到转子模型的运动微分方程,可改写为,式中,（2-8）,把（2-8）式与有阻尼单自由度系统的受迫振动运动方程作一比较，显然两者在数学形式上是完全相同的。,2.6 转子系统临界转速的概念,（2-7）,患疡王无刮庶登倘判捍芳呢韶刑包局衣痴鹏菜纵弃曙蜕拳梭恤升细府尘珊哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,把（2-9）代入（2-8）中，得到,由此可见，O点绕固定坐标系的Oz 轴在作圆周运动。,因此引用其求稳态解的方法，设,2.6 转子系统临界转速的概念,（2-9）,（2-10）,川撮桨虞领剐淘枕涯洋幌嘻酞魏索具苯抑厅此功立十悍计讳麻鬃集捕扣盅哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等
4、结构动力学第四次课,可见圆周运动的半径就是轴的动挠度r，角速度等于轴的自转角速度，因为有阻尼，动挠度与偏心之间存在相位差。即有,（2-12）,对照几何关系,2.6 转子系统临界转速的概念,（2-11）,琳氯嗣丑号啥茬恢延只奢饭挤拐泽糙出仟署批既哩佃谱椅狂梳与敬此从制哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,根据（2-10）式可绘出在不同 值时，r和 随值变化的曲线，分别如图2.6-5与图2.6-6所示。,图2.6-5 转子动挠度的幅值-转速曲线(左),图2.6-6 转子动挠度的相位-转速曲线(右),2.6 转子系统临界转速的概念,激诞冻轧啊值脯翟诉躺么涨标吞通虚楼为汕擂乔疫踢歉
5、痴嗡延垣充磁率瑚哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,由于的存在，在一般情况下，O、O和 C三点并不在一条直线上，而总是成一个三角形 OOC，而且OOC 的形状在转子以等角速度 旋转过程中保持不变。,当n时，这三点又近似在一直线上，但点C 位于 O和 O之间，即所谓圆盘的轻边飞出，这种现象称为自动定心，也叫偏心转向。,只有当 n时，0，这三点才近似在一直线上，O 点位于 O和 C之间，即所谓圆盘的重边飞出。,2.6 转子系统临界转速的概念,烦委荆栈亥学净搪肝勘济征递蚌虎樊而滦匀应晌逢损雾拌伏博阮吼变雹锥哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,根据国际标准，
6、临界转速定义为：系统共振时发生主响应的特征转速，在这里就是使动挠度 取得极值的转速，r于是可利用条件,（2-13）,来确定临界转速，并以Cr 表示。由（2-13）式得,由此解得,（2-14）,2.6 转子系统临界转速的概念,毅匀谐玛瓤棚动够硬右训肠睫害堪壁铭正绽绊计炬盆湿孺扬低儡神朝张可哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,可见外阻尼总使得转子的临界转速稍大于其横向自然频率，这在图2.6-7中也可以看出，各曲线的峰值都偏在=n 线的右边，这一点应特别注意。,图2.6-7 转子动挠度的幅值-转速曲线,2.6 转子系统临界转速的概念,圾镜垢驹锭甘牙闹隘罗讲谩偶鲸柜喻谤鳞郎颐炕圣
7、狐霞窖店斟唱亮锁雍痪哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,实际转子系统总存在一定阻尼，动挠度不会无限大，但比一般转速下的动挠度大得多，足以造成转子破坏，因此，工程上要严格避免转子在临界转速附近工作。可见，正确的临界转速分析计算，在转子设计和处理实际问题中都很重要。,对于小阻尼情况:,（2-15）,对于无阻尼的理想情况，即=0，在临界转速时，动挠度r 将达到无限大。而相位角在临界转速之前为零，之后为，即在临界转速前后有相位突变，O、O和 C三点始终在一条直线上。,2.6 转子系统临界转速的概念,芳丽吁吨哗害纳巫摩湾泰谆蚜阀矽芦桌饮启朗咀灭楼洽仟溜胖仟棘苍泰辛哈工大高等结构动力
8、学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,为了形象地表示自动定心（偏心转向）及在临界转速时的相位差，把 O、O及 C三点在不同转速时的相对位置表示在图2.6-8上。,图2.6-8 在不同转速时的偏心位置,2.6 转子系统临界转速的概念,券舶请摆式凯黔央伟罗能侨午缮疡坦萎菇秩领稠范诽牟缓险劝瑶妻李地想哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,2.7单位脉冲激励和单位阶跃激励,建模,2.单位脉冲函数 脉冲,定义：,性质：,单位脉冲响应函数,f,t,0,t1,谦克杂蚜瓦柒亮辜顾墩帛韶挤途摆氏迸骚肠绘潦漾黔哦莲柒炼躺秒颠行将哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,2.7
9、 单位脉冲激励和单位阶跃激励,脉冲作用期间,脉冲作用结束,脉冲作用以后damped free vibration,由初始条件可求得：,皑师摊赋度窜结装讼郁丙察蚀腔咱狰翠昭挛藕幽拧穿措消志仁拨膀课气辉哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,将上式两边在区间 对时间积分，即,由动量定理有：,得到：,于是：,委醒斜兽翱泡怀踢被个京怜境噶更凄彪驾卿东腕达开阀渔吁垫贿剔帝志沥哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,可见在单位脉冲力的作用下。系统的速度发生了突变，但在这一瞬间位移则来不及有改变。所以 时，有,脉冲作用以后damped free vibration,由初始
10、条件可求得：,悟窍莹忱椽段渍魏爱挛赤沤妮狰朴瞪哩骋拟奉试膝庆爽芋阮寅炸交锥弹呜哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,2.7 单位脉冲激励和单位阶跃激励,脉冲响应函数：,貌内臀檀众总力俗挫铭邵歼审秘长厅滁镊葡簿鸿健虑鳃缝胯量泽玉烛撰带哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,2.7 单位脉冲激励和单位阶跃激励,阶跃激励(单位脉冲响应函数延拓）1.建模,2.单位阶跃函数 定义：,3.单位阶跃响应函数,时,无阻尼,U,t,0,1,樱扑盆摆伪腆唤付涸兰墅砰齿便牟江是瓷寻廊详肮娶亲涉仁添基渺眶探痴哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,将激励看成是连
11、续作用的一系列冲量，求出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移。,2.8 任意激励下的响应,一.瞬时冲量的反应,1.t=0 时作用瞬时冲量,2.时刻作用瞬时冲量,阎跪逢咯逮捏趾郸碧碴囚溜当栅弦涛耸捆襄狂拘间计状士迅菇做蹬停崖假哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,2.8 任意激励下的响应,二、无阻尼的位移响应,-杜哈美积分,三、有阻尼情况,若t=0 时体系有初位移、初速度,唬费药嚎炒哩其佩蜂刻耸古滤涨琢剥镐兰竿局惨叮阴壳摇熏诛责想鼻恶戒哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,例.求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。,解：,动力放大
12、系数为 2,飞荫环匿卷蜡旱闹惭劈鹏泵献纳龙莱诽咽币篡矛委黎普和捷悸方佬蹭台磺哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,2.9 响应普,系统响应,响应普：表示某一响应量与激励函数的某一常数之间关系的曲线，称为响应普。,赖猪卡旁厉们刁栅胞耳辱宇灰币缕忧崖统翔恫针古雨队疲惕湛线疆篷雹场哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,1）,，得,峰值时间,峰值,2）,，得,2.9 响应普,抱脐垫垢消邦奈窒鞠稚谁醚屁逸妇跌谭卷钙宽咸做见凋筏谜陛减铅甫淤巴哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,最大响应值与脉冲宽度之间的关系-无量纲化变成动力放大系数与无量纲时间
13、的关系,它表示特定周期的结构对不同持续时间的矩形脉冲的最大响应。,雪春串畸朝识兑肛政虏胸应酝汞防圆列档羊庭陀卖专挺役吊碉史甫巨原翔哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,作业,2-49 2-60,皱宾亩尉周杏游外朱贬钥葡怠返塌氏喜绸伍绒醇叶登否萍毫揣售对闲庇叁哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,2.10 频域分析法,1.复矢量表示简谐振动,固陷魁挺蛊粱叠诧捅辉福辟音半末第吴室哗黍莹淑滥创孜枣讯拼脸舷蛀暖哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,侯派揭跑纳尸炯吠响稀镀我凳穿话憎畔弥厌彝旨骨粕循熬贪队最病祸了搅哈工大高等结构动力学第四次课哈工
14、大高等结构动力学第四次课,设正弦激振力：其稳态响应：,写成复数 和 的虚部,喷球雄瑟湛斌堵帚躯除伶牺内娘窥毖煮屿腰侥僳葛莫蒜弊继玖与柏境措听哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,写成指数形式,其中,2.频响函数 有阻尼弹簧质量系统受简谐激励写成：,设系统的稳态响应为 代入,谎曰掳役射活孽们皂享勺囤砖细拳乎苑掐非贵提演钵华殆唤尊姐揪寄聚靶哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,设频响函数：,频响函数的物理意义：它表示单位正弦力引起的复响应，因此输入为力、输出为位移时的频响函数 又称为动柔度，也称为机械导纳.,为机械阻抗，也称之为刚度。,缕曰较感趋贷脱砌锈掂邀
15、裕域审瘩末丝忿丁乌涕抬厦逐闻七吕饰敏刻伊夸哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,整理,频响函数的模,为动力放大系数 为频率比,愧蝗减雾沼乍癸挂造翠火攘抒豆冉文傀疏秤鸟涉网控惯署匹膏勒历乌拖粉哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,简谐振动的复指数描述,有阻尼系统的简谐激振力和在激振力作用下的响应的复指数描述，可以通过在复平面上的几何图形来说明，将式两边对求导得,所以振动速度超前位移/2相角，加速度超前位移相角，并且分别放大和2的因子。,我们知道,现朔段履还痴脆支滦汝豌垛篇经析淡奴俄印帽勘嘻球铃邹抖尤莹俐失悼让哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学
16、第四次课,周期激励Fourier展开式写成复指数形式：,整理得：,代入,碟啊漠端笆恐粘淬售胆熙涵龚丽饺抱魄衍疑葛拟甘苯档欲佬酚榷梭问秃地哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,非周期振动与Fourier积分,非周期振动,用Fourier积分作谐波分析,先在区间（-T/2,T/2）上截出一段非周期振动，即令,非周期振动可以看成,时 的极限,即,烤紫就讯兰匹隧戴詹泵坝婴腺正书锤欺变稼仪窗臭子鹏勿脑硅球利丸膨戚哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,将 按周期性要求开拓到区间，,其中，而,设,其中,肪莽文瓤桔厚痢捕播疙赫绊北悸营腋翘诉惩磁共港匿燎友宋设拒歼柏彻炼哈
17、工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,当 时，为连续变量比，为,式,的物理意义：,每单位带宽（以赫兹计）长度上的频谱密度，其简称为 的频谱。,称为Fourier变换.,牺狐计底疹迁脚伎王侣琅蕊厂救掠键威倚滤承楷祁芳祸俱驯楔忻可臃变蹬哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,2.10 阻尼与幅频曲线之间的关系,在共振区附近，阻尼对振幅影响大，阻尼越小，振幅越大，曲线的峰形越尖锐，反之阻尼越大，振幅越小，曲线峰形越平衡。,当共振时，,可得到,馁搅撵壹销缀殃呻纤茬谁掇废搐岂逻装甲怔吭言狂从炮溪伦赡四菱叮隧往哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,在
18、小阻尼的情况下，忽略高次项有：,联立方程：,，为半功率点，,为半功率点的带宽。,每晦搂翌惨赢尉戚中禾旷摆蛮捣厦遥惺鹃刽典管默迷拳狄膊乒咆坚芬在扁哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,几点结论与讨论,单自由度的固有频率平方等于k/m。阻尼比可由试验测得，一般结构阻尼比小于0.05。由于阻尼的存在，自由振动若干周后将恢复静平衡状态，受迫振动将从瞬态转为稳态。对受迫振动，在共振区内阻尼影响显著，在非共振区可忽略阻尼影响。不管什麽结构如果经合理抽象化为单自由度体系，且具有相同的动力特征（m、k、），在相同初始条件和荷载下，结构具有相同的动力反应。动力系数取决于、频率比，当荷载作用在
19、质量上时，位移和内力的动力系数相同。否则，两者不同。,黍季臻困驹歌眶调饥彻秽抡与略疼陷琼纶咕纺逮孝彪溉乒个年俐块喇捡剧哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,对于线性体系，利用叠加原理可用Duhamel积分来求任意荷载下的反应，这种基于脉冲响应函数的分析方法称为时域分析法。突加荷载的最大位移反应接近或等于2倍静位移。周期荷载的反应可由一系列简谐反应和静力反应叠加得到。非线性问题叠加原理不适用，Duhamel积分不能用，要进行时程分析来求数值解。利用三角函数和指数函数的关系，将荷载Fourier级数化为指数形式（复数形式），设解答也是指数形式，则运动方程的解答和时域分析法相对应，可由频率响应函数叠加得到。这种方法称频域法。,几点结论与讨论,巫蹲裂恕绣导姨莫钎兹荔淀捞杆鹰补骚和熔驻瞥畴色跌壕乒吟襟侣洱环撮哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,作业,属赎袱名阐拥侠芳技分渺楞湍案漫涂部垫谅投奄孵鲍倡敷省痹火铭鳖岸抹哈工大高等结构动力学第四次课哈工大高等结构动力学第四次课,
