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1、4.2 一般二次曲线的化简与分类（Simplification and classification of general quadratic curves）,在中学平面解析几何中,曾经学习了椭圆(圆)、双曲线和抛物线等圆锥曲线及其标准方程,它们都是二次曲线。本章讨论更一般的二次曲线。在平面直角坐标系下,关于x和y的二元二次方程所表示的曲线，称为一般二次曲线（a11，a12和a22不全为零）。,4.2.1 一些常用记号（Notations）,为了以后讨论问题和书写的方便,引进下面的一些记号：,根据这些记号的含义,可验证下面的恒等式成立：F(x,y)=xF1(x,y)+yF2(x,y)+F3(x
2、,y)称F(x,y)的系数所组成的矩阵为二次曲线(4.2-1)的系数矩阵,或称F(x,y)的矩阵 再引入几个记号：,例1 试求二次曲线 的系数矩阵A,F1(x,y),F2(x,y),F3(x,y),I1,I2,I3,和K1.解 由以上记号知,4.2.2 直角坐标变换下，二次曲线方程的系数变换规律（Variation low of coefficients equation of quadratic curves under Descartes coordinates）,为了选择适当的坐标变换来化简二次曲线的方程，需要了解在坐标变换下方程的系数是怎样变化的。由上节讨论，知道一般的坐标变换可以分解
3、为移轴和转轴两部分。因此，将分别考察移轴变换和转轴变换对方程系数的影响。,1)平移变换下二次曲线方程的系数的变化规律,将平移公式：x=x+x0，y=y+y0 代入曲线方程，化简整理，设曲线方程变为F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0比较方程系数，得平移变换下曲线方程系数的变化规律：(1)二次项系数不变；(2)一次项系数变为F1(x0,y0),F2(x0,y0)；(3)常数项变为F(x0,y0).,若取新坐标原点O(x0,y0)满足方程,则在新坐标系下,方程中将无一次项,曲线对称于原点,点(x0,y0)就是曲线的对称中心。如果对称中心是唯一的,称
4、为曲线的中心。此时方程称为中心方程。注：当I20时,上一方程组就有唯一解,这时曲线称为中心型二次曲线；当I2=0时,方程组就没有解或有无穷多解,这时曲线称为非中心型二次曲线或无心型二次曲线。,例2 求二次曲线 的中心.,解(x0,y0)是对称中心必须且只需满足中心方程,即解得(x0,y0)=(0,3).所以(0,3)是曲线的中心.,2)旋转变换下二次曲线方程的系数的变化规律,将旋转公式：x=xcos ysin,y=xsin+ycos 代入曲线方程，化简整理，曲线方程变为F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 比较方程系数，得旋转变换下曲线方程系数
5、的变化规律:(1)二次项系数一般可变,但新系下方程的二次项系数仅与旧系下方程的二次项系数及旋转角 有关,而与一次项系数及常数项无关；(2)一次项系数一般也可变，但新系下方程的一次项系数仅与旧系下方程的一次项系数及旋转角 有关，而与二次项系数及常数项无关；(3)常数项不变。,根据公式的表达式，若选取角，使,则方程中没有交叉乘积项。注：若要通过旋转变换消去交叉项，只须旋转角 满足：a12=(a22-a11)cos sin+a12(cos2-sin2)=0,即(a22-a11)sin2+2a12cos2=0从而得旋转角 满足,因为余切的值可以是任意实数，所以一定存在 满足上式。这就是说，一定可以通过
6、转角 消去交叉项。上式中的 不是唯一的，为确定起见，一般规定0 需要说明的是,我们为什么不用?这是因为当 a11=a22 时,该式没有意义,而 完全可以决定旋转角=/4.当a12=0时,虽然 也无意义,但这时方程中已经不含交叉项,就用不到转轴变换了.,例 利用转轴变换,消去二次曲线x2+2xy+y2-4x+y-1=0中的交叉项.,解 设旋转角为,由决定方程得 可取,故转轴公式为：代入原方程化简整理得转轴后的新方程为,4.2.3 二次曲线的判别（Quadratic curve discriminant）,从前面的讨论可知，二次曲线化简的关键是如何消去方程中的交叉项xy和一次项。化简一般二次曲线方
7、程，首先要判别二次曲线的类型，然后根据曲线的类型，采用不同的坐标变换。二次曲线的类型可以用I2来判别：当I20时,二次曲线是中心型曲线；当I2=0时,二次曲线是非中心型曲线.又可以细分为以下3种类型：(1)椭圆型：I20，(2)双曲型：I20，(3)抛物型：I2=0。注：二次曲线类型判别的严格证明，参看后文的利用不变量化简曲线方程部分。,4.2.4 二次曲线的化简与作图（Simplification and graphing of Quadratic curves）,根据坐标变换下方程系数的变化规律，对于中心型二次曲线，可以先求出曲线的中心，通过移轴变换消去一次项，然后再作转轴变换时，就不用整
8、理一次项了。而对于非中心型二次曲线，由于曲线没有中心，只能先作转轴变换。这就是说，要根据曲线的类型，采用不同的化简方法。,1)中心型二次曲线(I20)的化简与作图：,对于中心型二次曲线，采用“先移后转”，较为简便。其具体步骤是：1、解中心方程组，求出曲线的中心(x0,y0)；2、作平移变换，消去一次项；3、利用旋转角公式，求出cos、sin；4、作旋转变换，消去交叉项，得到曲线的标准方程；5、将旋转变换代入平移变换，得到直角坐标变换公式；6、作出新旧坐标系O-xy、O-xy和O-xy，在新坐标系下按照标准方程作出曲线的图形。,例 化简二次曲线方程5x2+4xy+2y2-24x-12y+18=0
9、，并画出它的图形。,解 因 I252-2260，所以曲线为中心型二次曲线。“先移后转”。1、解中心方程组得到曲线中心（2,1）2、做移轴变换 原方程变为5x2+4xy+2y2-12=0 这里实际上只需计算F(2,1)12，因为移轴时二次项系数不变,一次项系数变为0。3、再做转轴变换消去xy项，令得 tan=1/2 或 tan=-2取 tan=1/2，可得 cos=2/51/2，sin=1/51/2,4、转轴变换公式：,代入,可将方程化简为标准方程是这是一个椭圆,如图所示.作图要点：要比较准确地画出新旧坐标系和曲线的图形,必须掌握好比例、新旧原点的位置以及坐标轴的旋转角.本题中坐标系O-xy平移
10、到(2,1)成O-xy,再把坐标系O-xy旋转角得 O-xy.在新坐标系O-xy 中根据椭圆的标准方程作图.,注：本题转轴时若取tan-2，,则可得cos=1/51/2，sin=-2/51/2，所得的转轴公式是 得到的标准方程为,图形相对于原坐标系的位置不变。此时Ox轴的正向恰好是图中y 轴的反向。,例 化简二次曲线方程x2-3xy+y2+10 x-10y+21=0,写出坐标变换公式并作出它的图形,解 因为I20,所给的二次曲线是双曲型的.中心方程组解得中心坐标为(2,2).作移轴变换原方程化为再作转轴变换，得旋转角为.故转轴变换为,二次曲线的方程化简为,标准方程为 这是一条双曲线,其图形如图
11、所示。作图时,先将坐标系O-xy平移到(-2,2)成O-xy,再把坐标系O-xy旋转角/4得 O-xy.在新坐标系O-xy 中根据双曲线的标准方程作图.,将转轴公式,代入移轴公式,得坐标变换公式为,注：利用移轴可以直接化简缺少xy项的二次曲线方程,化简的关键是找到恰当的移轴公式.常用的方法有配方法和代入法.在应用配方法时必须注意,要分别先对关于x与y的项进行集项,然后把x2与y2项的系数括出来再配方.利用直角坐标变换的方法化简曲线方程，不仅能够得到曲线的标准方程，而且同时得到坐标变换公式，并能作出曲线的图形，这是其它方法所不能做到的。,2)非中心型二次曲线(I2=0)的化简与作图：,对于非中心
12、型二次曲线，采用“先转后移”，较为简便。其具体步骤是：1、利用旋转角公式，求出cos、sin；2、作旋转变换,消去交叉项，同时消去1个二次项；3、对转轴后的方程“配方”，先配二次项,再配一次项；4、令“配方”后的括号内分别为x和 y(相当于作平移变换),得到曲线的标准方程。5、将平移变换代入旋转变换,得到直角坐标变换公式。6、作出新旧坐标系O-xy，O-xy和O-xy,在新坐标系下按照标准方程作出曲线的图形。,例 化简二次曲线方程下x2+4xy+4y2+12x-y+1=0,写出坐标变换公式并画出它的图形。,解 由于I2=14-22=0,曲线是非中心型的,应先转轴后移轴。1、设旋转角为,则有得
13、tan=-1/2 或 tan=2取 tan=2(若取 tan=-1/2,同样可将原方程化简),则有：cos=1/51/2，sin=2/51/2 2、得转轴公式为,代入原方程化简整理得转轴后的新方程为,配方得：3、再做移轴变换曲线方程就化为最简形式4、写成标准方程为：,这是一条抛物线.它的顶点是新坐标系O-xy 的原点,原方程的图形可以根据它在坐标系O-xy 中的标准方程作出,如图 所示.,将移轴公式代入转轴公式,得坐标变换公式为 作图要点：坐标系O-xy旋转角tan2成O-xy,再把坐标系O-xy 平移,得到O-xy.在新坐标系O-xy 中可根据抛物线的标准方程作图.为了看出曲线在原坐标系中的
14、位置,作图时需要将新旧坐标系同时画出.,例 化简二次曲线方程 2x2+xy-3y2-13x-2y+21=0,解 计算得I2 0,I3=0,可知所给二次曲线是退化的双曲型曲线,表示两条相交直线直接将原方程左边分解因式,得(x-y+3)(2x+3y-7)=0,故原二次曲线的方程表示两条相交直线 x-y+3=0 和 2x+3y-7=0.综上所述,利用直角坐标变换化简二次曲线方程,不仅可以得到二次曲线的标准方程,还可以写出所作的坐标变换公式,并作出曲线的图形,这正是直角坐标变换的优势所在.,4.2.5 二次曲线方程的分类（Classification of equation of Quadratic
15、curves),根据上面的讨论可知,对于中心型二次曲线,先通过移轴消去一次项,再通过转轴消去交叉项,曲线的方程可化为标准方程 按照标准方程系数的正负,中心型二次曲线又分为椭圆型和双曲型()椭圆型:I2=a11a220。1 实椭圆:a330,a11 a330；3 点椭圆:a33=0。,()双曲型：I2=a11a220。,4 双曲线：a330；5 两条相交直线：a33=0。对于非中心型曲线也称为抛物型曲线,通过转轴消去交叉项,再对转轴后的方程“配方”,曲线的方程可化为标准方程 或按照系数情况分为,()抛物型：I2=0，a11=0，a220。,6 抛物线：a130；7 一对平行的直线：a13=0，a22 a33 0;8 无轨迹(两平行共轭虚直线)：a13=0，a22 a33=0;9 一条直线(两重合直线)：a13=0，a33=0。抛物线6没有对称中心,称为无心曲线。7-9类型的曲线有无穷多对称中心,他们构成一条直线,也称为线心曲线。综上所述,通过适当地选取坐标系,二次曲线的方程总可以写成下面9种标准方程中的一种形式(为简便起见,标准方程中的撇号略去),一般二次曲线按照标准方程，可以分为3类9种：椭圆椭圆型：I20 虚椭圆 点椭圆双曲型：I20 双曲线 一对相交直线抛物型：I2=0.抛物线 一对平行直线 一对虚平行线 一对重合直线,End,
