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1、dL,1.变分法1.1 泛函与变分定义1.1.1 泛函的概念引例1：平面两点 A(x0,y0)、B(x1,y1)，求连接A、B两点的最短弧线。解：设A、B 两点间函数为y=y(x)则由弧长微分公式 L 随函数y=y(x)的选取而变，它是一个泛函。用间接法确定使L最短的函数曲线即泛函有极值的自变函数曲线为 y=c1x+c2,1阶导数2个待定常数其中常数 c1、c2可由边界点A、B的坐标（即边界条件）确定。,引例2：求通过两点A(x0,y0)、B(x1,y1)且长度l 为一定值的函数曲线y=y(x)，使图中曲边梯形ABCD的面积AS达到最大。,（1.2）AS依y的选取而定，它也是一个泛函，约束条件
2、为AB长度（1.3）这是带约束条件的泛函极值由间接变分法，泛函As的极值曲线为其中常数c1,c2,r 可由条件 来确定。,引例3：由最小势能原理，变形全能随所选取的三个位移函数ui(i=1,2,3)而变，u也是一个泛函。而ui必须满足的体积不变条件,L、As、都是依赖于可变化的函数。称其为自变函数，随自变函数而变的量称为泛函。用符号、J 表示，记作y(x)或(y)等。变分法就是研究求泛函极大值和极小值的方法。,1.1.2 泛函自变函数的变分,函数y=y(x),自变量为x，增量 x,称dx为自变量x微分。泛函y(x),自变函数为y(x)，当y(x)变化无限小时，称为自变函数的变分，表为y(x)，
3、yy是指函数y(x)和跟它相接近的另一函数y1(x)的微差。,零阶接近度：对任何x值，一阶接近度:不仅纵坐标值很接近.y1(x)和y2(x)的差都很小，y=y2(x)y1(x)y=y2(x)y1(x)很小.y=y(x)y1(x)也很小n阶接近度：,dy和y的区别,dy:是针对一条曲线 y=y(x)，当x=dx 时 函数值增量的线 性主部是 dy。dy一般不等于零。？y：是在x不变时，针对两条接近 的函数曲线 y(x)和 y1(x)的微差 y。y 是x 的函数。y 在边界点一定为零。,y,1.1.3 泛函的变分,微分一般定义：y=y(x+x)-y(x)A(x)x+(x,x)x拉氏定义：微分也等于
4、y(x+x)对导数在=0时的值。,(1.5),泛函变分定义,一般定义：,是泛函增量的 线性主部,拉格朗日定义,即证明了拉格朗日的泛函变分的定义：,例：简单泛函 一阶变分。,泛函二阶变分及增量为：,1.2变分运算与泛函极值条件,1,2 变分号可由积分号外进入积分号内,1.2.1 运算规则,1.2.2 泛函极值的条件泛函极值条件与函数极值条件具有相似的定义。如果,泛函取极小值,泛函取极大值(1.17),1.3 变分基本引理与欧拉方程,1.3.1 变分基本引理 设F(x)在x0,x1上连续，(x)是一类任意的连续函数，一阶或若干阶可微；在线段（x0，x1)端点为零；若下列积分为零,则在 x0,x1
5、上就有F(x)0.,证明用反证法,1.3.2 欧拉方程,端点固定条件,由基本引理式(1.18),注意到F（x,y,y)是对x的全导数,代人式(1.20),上述欧拉方程为二阶偏微分方程。解此方程可求出使泛函(y)达到极值的y(x)，称间接解法.其它欧拉方程形式为：,1.4泛函的条件极值变分法,表1.1第四行：,构成新的泛函,新泛函欧拉方程组,共k+n个方程，k+n个未知数：,边界条件：2n?个积分常数,1.5 泛函极值的直接解法,以求解欧拉方程求极值函数（解析解），叫泛函变分的间接解法，用近似方法直接求极端函数，叫直接解法，包括：有限差分法，里兹法，康托罗维齐法，有限元法，搜索法等，直接解法简单
6、，得到近似解。,1.5.2 里兹法设y是泛函(y)取极值m的极端函数，若（试验函数）,满足给定的边界条件，且使泛函 之值接近于m,则就是该问题的近似解.步骤：,为n个任意的待定常数，wi 彼此线性无关,经先微分后积分,(i=1,2,n)，解上述方程组来确定ai,代回原式即可，,1.5.3 康托罗维奇法化偏微分为常微分方程组,依赖多自变量的单自变函数的泛函,选取 以权重自变量xn为自变量的Ai(xn)待定函数；以其余自变量构成选取函数i(x1,x.xn-1)；要 满足给定边界条件。,经微积分运算化掉 x1,x2.xn-1，得到以,为自变函数新泛函（多自变函数单变量）,代人原式即得到近似解。,泛函解法综合例,例：求泛函 极值函数 1.间接法：,2.直接法Ritz法 满足边界条件函数,离散化成4单元5节点；i=0,1,2,3,4;建立插值关系，写成矩阵形式；计算单元泛函与总泛函；总泛函求导建立联立方程组求节点函数值。,5.搜索法,结果比较,1.何为泛函极值间接解法？直接解法（近似解法）？有几种直接解法？直接解法与间接解法有何区别？,
