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1、例1 重要的艺术一书的作者、意大利医生兼数学家卡当，据说曾大量地进行过赌博。他在赌博时研究不输的方法，实际是概率论的萌芽。据说卡当曾参加过这样的一种赌法：把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容。已知骰子的六个面上分别为16点，那么，赌注下在多少点上最有利？,第二章 初等模型(上)2.1 概率问题,某位不贪心的赌者依据下列决策赌博：（1）每次上赌场的目标是赢一块钱.（2）一旦赢钱立刻停赌（3）他第k次的赌注为,假如每次赢的概率为p，则输的概率为q=1-p,显然连输K次的概率为 因此开k次至少有一次赢的概率为。不论“常胜的概率p0有多大，只要p0 0且q 1,只要K充分大,必有，即
2、只要赌徒有足够多的本钱，则可百赌百胜。,是不是花6分钱,准可以得到2粒红色的糖或者她花去8分钱准可得到2粒白色的糖,所以她需要花8分钱是吗?-,如果出售机内有6粒红色的,4粒白色的,5粒蓝色的.琼斯夫人最多要花多少钱?,最坏的情况是她拿到了2粒红的,2粒白的和2粒兰的,第七粒肯定与前六粒中的两粒同色,所以她最多需要花7分钱.,最坏情况是她每种颜色的泡泡糖都买了 k-1 粒,那么再买一粒即可,所以她最多需要花 n(k-1)+1 分钱.,让我们假设有 m 组不同色的泡泡糖少于 k 粒,并且设其中第 i 组糖有 ai 粒,那么情况怎样?,所以她最多需要花:(n-m)(k-1)+1+ai,琼斯夫人最倒
3、霉的事情是,她把所有少于 k 粒的同色糖都买了,并且其他种类的糖每种都买了 k-1 粒,最后再买一粒才能得到 k 粒同色的糖.,这种类型的题目,显然需要 4(7-1)+1=25 张.,一种简单的计算方法是把所有可能的情况列成一个表格,其结果表明两个婴儿搞错的情况共有六种.,现在假设标签搞乱了后,恰有三个是正确的,只有一个搞错了,问这个问题有多少种不同情况?,但是你如果用鸽笼原理思索一下,情况就一清二楚了.,这个问题许多人都茫然不解,其原因是他们作了下列错误的假设:在四个婴儿中,三个婴儿与其标签相符的情况有许多种,一般地,如果 n 件物品,其中已经有n-1件放对了地方,那么剩下的一件也必定放置在
4、正确的位置上了.,借一匹马,在18匹马中，大儿子分到匹、二儿子分到匹、小儿子分到匹，剩下匹又还给了借来得人.,2.2 崖高的估算,假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。,方法一,我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。,令k=K/m，解得,代入初始条件 v(0)=0，得c=g/k，故有,再积分一次，得：,若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h73.6米。,听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间,进一步深入考虑,不妨设平均反
5、应时间 为0.1秒，假如仍 设t=4秒，扣除反应时间后应 为3.9秒，代入 式，求得h69.9米。,多测几次，取平均值,再一步深入考虑,某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。,2.3 舰艇的会合,即：,可化为：,（航母的路线方程）,（护卫舰的路线方程）,即可求出P点的坐标和2 的值。本模型虽简单，但分析极清晰且易于实际应用,由于要确定两个参数，至少要用仪器检测两次?,2.4 黑匣子定位,黑匣子所在 方向很容易确定，关键在于确定 距离。设在同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和I2，两测量点间的距离为 a，则有,在方法一中，两检测点与黑匣子 位于一直线上，这一点比较容易 做到，主要缺点是结果对照度测 量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在 A点测得黑匣子方向后，到B点再测方向，AB 距离为a，BAC=，ABC=，利用正弦定理得出 BC=asin/sin(+)。需要指出的是，当黑匣子位于较远处而 又较小时，+可能非常接近（ACB接近于0），而sin（+）又恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。,
