《中值公式的证明.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中值公式的证明.ppt（60页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、微分中值定理与中值公式的证明,定理：若函数f(x)满足:,(1)在开区间(a,b)内连续且可导;,(2)f(a+0)=f(b-0).,则至少存在一点(a,b),使,证明:情形1:a,b都是有限实数,且f(a+0),f(b-0)也,由洛尔定理,至少存在一点(a,b),使,是有限实数.,令,(a,b),时,则F(x)在a,b上连续;在开区间(a,b)内可导;F(a)=F(b),但,情形2:a,b都是有限实数,但,令,令,则F(x)满足情形1的所有条件,因此,存在(a,b),使,即,情形3:a是有限实数,b=+,f(a+0),f(b-0)是有限实数.令,可以证明.,情形4:a=-,b=+,f(a+0
2、),f(b-0)是有限实数.令,可以证明.,情形6:a=-,b=+,f(a+0),f(b-0)=+(-)类似于情形5.,情形5:a是有限实数,b=+,f(a+0),f(b-0)=+时,f(x)有,最小值.f(a+0),f(b-0)=-时,f(x)有最大值.,拉格朗日定理：若函数f(x)满足:,(1)在a,b上连续;,(2)在开区间(a,b)内可导;,则至少存在一点(a,b)使,注1如果函数f(x)在(a,b)内可导,则对任意x,y(a,b),存在(在x与y之间)使,注2 对x,x+x(a,b),存在(01),使,注3 拉格朗日定理有明显的几何意义.,如果函数f(x)在(a,b)内可导,则对任意
3、x,x(a,b),存在,使曲线y=f(x)在点C(,f()处的切线平行于连结A(x,f(x),B(x,f(x)的弦.,柯西定理：若f(x)与g(x)满足:,(1)在a,b上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)对任意x(a,b),g(x)0,则至少存在一点(a,b),使,泰勒定理：若函数f(x)在x=x0的某邻域内有n+1阶导数,则,其中,在x与x0中间.,定理：若函数f(x)在x=x0的某邻域内有n阶阶导数,则,特别地,当x0=0时,2.中值公式的证明,(1)与洛尔定理有关的问题,例1 假设f(x)和g(x)都是可导函数,试证:在f(x)的任意两个,零点之间必定有函数f(x)g(x)+
4、f(x)的零点.,证：作辅助函数,并设x1,x2是f(x)的,任意两个零点,且x1x2则易知,在x1,x2上,满足罗尔定理的条件,故至少存在一点(a,b),使,但,而,所以,即在f(x)的任意两个零点x1,x2之间有,的零点.,注1 取定g(x)可以得到许多类似的命题.如f(x)的任意,两个零点之间必有函数,的零点.,例2 设f(x)在0,1上可导,f(0)=f(1)=0,试证存在(0,1),使得,证：由于,其中1为常数.,所以令,在0,1上对,用罗尔定理可得到证明,注：解微分方程,可得到辅助通解为,那么就作辅助函数,这是中值公式证明过程构造辅助函数的常用方法.,例3 设f(x)在a,b上可导
5、,f(a)=f(b)=0,(0ab),试证存在,其中1为常数.,(a,b),使得,证:设,则F(x)在a,b上可导,且,F(a)=F(b)=0,洛尔定理,存在(a,b),使得F()=0.而,故由F()=0,推出,例5 设f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证:至少存在一点(0,1)使,由连续函数的介值定理,存在,使,由罗尔定理,至少存在一点,证：令F(x)=f(x)-x,则F(0)=0,F(1)=f(1)-1=0-1=-10,使,例6设f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,当x(0,1),时,f(x)0,试证存在一点(0
6、,1)使,证明:令,则F(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且F(0)=F(1)=0,由罗尔定理至少存在一点,(0,1)使,即,亦即,注1 构造辅助函数的思考方法是由,例7设f(x)在0,1上可导,且满足,证明：至少存在一点(0,1),使得,证：令F(x)=xf(x),则F(x)在0,1上可导,由,及积分中值定理,存在,于是有,使,即,亦即,注：用x代替,结论为,从而得辅助函数,由罗尔定理，存在,使,例8设f(x),g(x)在a,b上二次可导,且g(x)0,f(a)=f(b)=0,g(a)=g(b)=0,试证:(1)在(a,b)内g(x)0;(2)在(a,b)内至少存在,一点,使,证:(
7、1)(用反证明法)若存在一点c(a,b)使g(c)=0,则在,a,c和c,b上用洛尔定理,存在1(a,c),2(c,b),使,再在 1,2上对g(x)用洛尔定理,存在3(1,2),使,这与已知条件矛盾,在(a,b)内g(x)0.,(2)令,易知(x)在a,b上满足洛尔定理的条件,因此存在(a,b),使()=0,即,因为g()0,g()0,所以,例9 设f(x)在0,1上二次可导,且f(0)=f(1)=0,证明至少存,在一点(0,1),使得,证,因此令F(x)=f(x)(1-x),则F(x)在0,1上满足洛尔定理的条件,故存在1(0,1),使F(1)=0,但,所以在(1,1)上对F(x)用洛尔定
8、理,存在(1,1),使F()=0,即,亦即,例10 设f(x),g(x),在a,b上可导,且 g(x)0,证明至少存,在一点(a,b),使,证明 作函数,则,由罗尔定理即可得.,3 拉格朗日中值公式的证明,例10设在a,b上,且f(x)在(a,b)内取得,最大(小)值,试证：,证：设f(x)在(a,b)内内的最大(小)值点为,则必为一,个极值点，因此,对,在区间a,b,上分别用拉格朗日定理有,因此,例11 设f(x)在a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,y=f(x),非直线.求证：存在(a,b)使,证：令,则F(a)=F(b)=0,由于y=f(x)非直线,所以f(x)不是线性函数,因此F(
9、x)不恒为零,即存在c(a,b),使F(c)0(0),对F(x)在,区间a,c,c,b上应用拉格朗日定理,有,当,取,有,当,时，取,有,例12 设f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=0,f(1)=1,对任意正数a,b,证明存在,(0,1),使,(1),(2),证:(1),对f(x)在0,和,1上应用拉格朗日定理,有,因此,证(2),由于f(0)=0 1=f(1),由连续函数的介值定理,存在c(0,1),使f(c)=.在0,c和c,1上对f(x)用拉格朗日定理,有,两式相加得,即,即,因此有,例13 证明当x1时,证明:(方法1)设,则,所以根据拉格朗日定理,当x1时,f
10、(x)C,但,故,方法2 对任意x1,由拉格朗日定理,有,所以,例14 设f(x)在有限开区间(a,b)内可导且无界,证明 f(x),在(a,b)内也无界.,证明:若f(x)在(a,b)内有界,即存在常数M0,使对(a,b),内的任意x,有|f(x)|M.设x0是(a,b)内的一个定点,x是(a,b),内的任意一点,则函数f(x)在由x0与x构成的闭区间上可导,因此由拉格朗日定理,存在(a,b),使,故有,从而,故f(x)在(a,b)内有界,与已知条件矛盾,因此f(x)在(a,b)内,无界.,例15 设f(x)在闭区间0,1上可导,f(0)=0,且,证明在0,1上f(x)0.,证明:对任意x(
11、0,1,由拉格朗日定理,存在1(0,x),在0,1上对f(x)再应用由拉格朗日定理,存在2(0,1),使,这样依次递推,存在n(0,n-1),使,故有,由于f(x)在0,1上可导,因此连续,故f(x)在0,1上有界,即存,在M0,使对任意x0,1,有|f(x)|M,因此,故在0,1上f(x)0成立.,证明:f(x)在闭区间0,a上可导,所以f(x)在 0,a上连续,例16 设f(x)在闭区间0,a上可导,f(0)=0,f(a)=n,其中n,为给定的正整数,证明在(0,a)内存在n个互不相同的点,使得,由于f(0)=0 1 n=f(a),由连续函数的介值定理,有x1(0,a),使f(x1)=1.
12、又f(x1)=12 n=f(a),故存在x2(x1,a),使f(x2)=2,依此可知,对任意k=1,2,n-1,存在xk(xk-1,a)使f(xk)=k,记x0=0,xn=a,在闭区间xk-1,xk上应用拉格朗日定理得,即,故,从而,例17 设x0,证明:,(1),其中,(2),证明:设,在x,x+1上应用拉格朗日定理,故,从而,即,因此,(2),柯西中值定理的应用,例18设函数f(x)在a,b上可导,0ab,试证存在一点,(a,b)使,证：,从而对f(x)及g(x)=lnx,应用柯西中值定理即可得到证明.,例19 设函数f(x)在a,b上可导,0ab,试证存在一点,(a,b)使,证：,因此可
13、以考虑对函数,柯西中值定理就可以证明,应用,泰勒公式的应用,例20设f(x)在0,1上三次可导,f(0)=f(1)=0,g(x)=x3f(x),试证存在使,证：由泰勒公式有：,因为g(0)=0,故,又,因此,故,由于g(1)=f(1)=0,所以,即,例21设f(x)二次可导,f(0)=f(1)=0,证明：,证：由条件f(0)=f(1)=0,和,可知,在开区间(0,1)内取得,即存在c(0,1),使,f(c)=2.且由费马定理知f(c)=0,由泰勒公式,其中在c,x的中间,因此有,在0与c之间.,在c与1之间.,因此当,时，,当,时，,由此即得,例23 设函数f(x)在(-,+)上有三阶连续导数
14、,且,证明,证明 对任意固定的x(-,+),其中,两式相减得,取极限得,再对第一式取极限得,例24 设函数f(x)在x=0的某邻域内有连续二阶导数,且,f(0)=0,设,证明:,证明:根据题设存在0,使f(x)在-,上连续,从而有,界,即存在M0,有|f(x)|M成立.由泰勒公式,其中在0与x之间,x-,于是有,即,故,两边相加得,由于,由夹逼定理得,含有两个中间值的中值公式的证明,例25 设函数f(x)在a,b上可导,0ab,试证存在点,(a,b),使,证：由于0ab,所以在a,b上对f(x)和g(x)=x2应用柯,西中值定理,存在(a,b),使得,即,又由拉格朗日定理,存在(a,b),使,即,例26设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且f(x)0,若存在极限,证明：,(1)在(a,b)内f(x)0;,(2)在(a,b)内存在一点,使,(3)在(a,b)内存在与相异的点,使,证明:(1)因,存在,故,由于f(x)在a,b上连续,所以,再由条件f(x)0可知,f(x)在a,b上严格递增,所以,f(x)f(0)=0在(a,b)内成立.,(2)设,由f(x)0,知,F(x)和g(x)在a,b上满足柯西中值定理的条件,因此,存在(a,b)使,即,(3)由于f()=f()-f(a),由拉格朗日定理,存在(a,),使,
