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1、2023/6/10,1,第二章 导热基本定律及稳态导热,2-1 导热基本定律2-2 导热微分方程式及定解条件2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物 体的导热2-4 通过肋片的导热2-5 具有内热源的导热及多维导热,2023/6/10,2,2-1 导热基本定律,(1)温度场：,三维非稳态温度场：,三维稳态温度场：,一维稳态温度场：,二维稳态温度场：,1 几个基本概念:温度场、等温面、等温线、温度梯度、热流密度矢量,2023/6/10,3,2-1 导热基本定律（续）,(2)等温线,(3)等温面,图2-1 温度场的图示,(4)等温面和等温线的特点,2023/6/10,4,2 导热基本定律Fou
2、rier Law,对于一维情况，对于三维直角坐标系情况，有,通用形式的Fourier Law,图2-2 温度梯度,2023/6/10,5,2-1 导热基本定律（续）,(1)物理意义：热导率的数值就是物体中单位温度梯度、单位时间、通过单位面积的导热量。热导率的数值表征物质导热能力大小，由实验测定。,(2)影响因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等,3 导热系数(热导率),2023/6/10,6,A 气体的导热系数,特点：(a)气体的导热系数基本不随压力的改变而变化(b)随温度的升高而增大(c)随分子质量减小而增大,B 液体的导热系数,特点：(a)随压力的升高而增大(b)随温度的升高
3、而减小,2023/6/10,7,特点：纯金属：合金和非金属：,金属的导热系数与温度的依变关系参见图2-7,C 固体的导热系数,保温材料：国家标准规定，温度低于350度时导热系数 小于 0.12W/(mK)的材料（绝热材料）,2023/6/10,8,图2-7 导热系数对温度的依变关系,2023/6/10,9,第二章 导热基本定律及稳态导热,2-1 导热基本定律2-2 导热微分方程式及定解条件2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物 体的导热2-4 通过肋片的导热2-5 具有内热源的导热及多维导热,2023/6/10,10,2-2 导热微分方程式及定解条件,1 导热微分方程式的推导为什么需要导
4、热微分方程？理论基础：Fourier 定律+能量守恒定律 导热微分方程式下面我们来考察一个矩形微元六面体，如下图所示。,2023/6/10,11,假设：(1)所研究的物体是各向同性的连续介质(2)导热系数、比热容和密度均为已知(3)物体内具有内热源；强度 W/m3;内热源均匀 分布；,2023/6/10,12,2-2 导热微分方程式及定解条件（续）,根据能量守恒定律有：导入微元体的总热流量in+微元体内热源的生成热 g=导出微元体的总热流量 out+微元体热力学能的增量 st,a 导入微元体的总热流量Ein,2023/6/10,13,2-2 导热微分方程式及定解条件（续）,b 导出微元体的总热
5、流量Eout,采用Taylor级数展开，并忽略高阶项，则有,2023/6/10,14,2-2 导热微分方程式及定解条件（续）,c 内热源的生成热,d 热力学能的增量,？,把Qin、Qout、Qg、Qst 带入前面的能量守恒方程,这就是三维、非稳态、变物性、有内热源的导热微分方程的一般形式。,得：,2023/6/10,15,2-2 导热微分方程式及定解条件（续）,2 几种特殊情况(1)若物性参数、c 和 均为常数：,(2)无内热源、常物性：,(3)稳态、常物性：,(4)稳态、常物性、无内热源：,物理意义？,友情提示：非直角坐标系下的导热微分方程式自己看,2023/6/10,16,非稳态项,扩散项
6、,源项,是不是有了导热微分方程式，就可以获得温度分布呢,？,答案是否定的！,定解条件(单值性条件),导热微分方程+定解条件+求解方法=确定的温度场,定解条件包括四项：几何、物理、时间、边界下面详细介绍边界条件！,2023/6/10,17,2-2 导热微分方程式及定解条件（续）,边界条件：规定了物体与外部环境之间的换热条件，包括以下三类：,a 第一类边界条件:已知任一瞬间导热体边界上的温度值：,最简单的情况为：,2023/6/10,18,b 第二类边界条件:已知任一瞬间导热体边界上的热流密度：,2-2 导热微分方程式及定解条件（续）,对于非稳态：,最简单的情况为：,第二类边界条件相当于已知任何时
7、刻物体边界面法向的温度梯度值,特例：绝热边界面：,2023/6/10,19,2-2 导热微分方程式及定解条件（续）,c 第三类边界条件:当物体壁面与流体相接触进行对流换热时，已知任一时刻边界面周围流体的温度和表面传热系数,Newton冷却公式：,Fourier定律：,特例：,h=0时，变为绝热边界条件 h时，变为第一类边条,2023/6/10,20,在任意直角坐标系下，对于以下两种关于第三类边界条件的表达形式，你认为哪个对？简述理由。,In-Class Problems,2023/6/10,21,Quick Review：,1 重要概念：温度场、温度梯度、导热系数及其性质、导温系数（热扩散率）
8、定义及性质；2 导热微分方程式的理论基础及推导过程3 导热微分方程式的一般形式、组成、及在推导给定条件下的具体形式；灵活运用导热微分方程，如温度的空间分布通过导热方程与时间分布建立联系等定解条件？边界条件？三类边界条件的数学表达式？,2023/6/10,22,第二章 导热基本定律及稳态导热,2-1 导热基本定律2-2 导热微分方程式及定解条件2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物 体的导热2-4 通过肋片的导热2-5 具有内热源的导热及多维导热,2023/6/10,23,2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和其它变截面物体的导热,本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板和圆柱内的导
9、热。直角坐标系：,1 单层平壁的导热,2023/6/10,24,2-3 通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）,x,直接积分，得：,根据上面的条件可得：,第一类边条：,控制方程,边界条件,求解方法,带入边界条件：,2023/6/10,25,带入Fourier 定律,2-3 通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）,线性分布,2023/6/10,26,2 多层平壁的导热,2-3 通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）,多层平壁：由几层不同材料组成,边界条件：,热阻：,2023/6/10,27,2-3 通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）,由热阻分析法：,问：知道了q，如何
10、计算其中第 i 层的右侧壁温？,第一层：,第二层：,第 i 层：,2023/6/10,28,2-3 通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）,单位：,t1,t2,t3,t2,三层平壁的稳态导热,？,总传热系数？,多层、第三类边条,2023/6/10,29,3 单层圆筒壁的导热,2-3 通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）,圆柱坐标系：,一维、稳态、无内热源、常物性：,第一类边界条件：,(a),2023/6/10,30,2-3 通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）,对上述方程(a)积分两次:,第一次积分,第二次积分,应用边界条件,获得两个系数,将系数带入第二次积分结果,显然，
11、温度呈对数曲线分布,2023/6/10,31,2-3 通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）,下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况,长度为 l 的圆筒壁的导热热阻,虽然是稳态情况，但热流密度 q 与半径 r 成反比！,2023/6/10,32,4 n层圆筒壁,由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算,通过单位长度圆筒壁的热流量,2023/6/10,33,单层圆筒壁，第三类边条，稳态导热,通过单位长度圆筒壁传热过程的热阻 mK/W,2023/6/10,34,(1)单层圆筒壁（续）,思考：壁面温度分布应如何求出？,(2)多层圆筒壁,通过球壳的导热自己看？,20
12、23/6/10,35,2-3 通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）,5 其它变面积或变导热系数问题,求解导热问题的主要途径分两步：求解导热微分方程，获得温度场；根据Fourier定律和已获得的温度场计算热流量。对于稳态、无内热源、第一类边条下的一维导热问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。此时，一维Fourier定律：,当(t),A=A(x)时，,2023/6/10,36,分离变量后积分，并注意到热流量与x 无关，得,定义,当 随温度呈线性分布时，即 0at，则,实际上，不论 如何变化，只要能计算出平均导热系数，就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式，只是需要将换成平均导热系数。,2
13、023/6/10,37,作业：2-12-6:空气的导热系数从附录8查询，温度取(-20+20)/2=02-9:平均导热系数从附录7查询2-132-15:不用求解，只需要列出微分方程和边界条件,2023/6/10,38,In-Class Problems,某时刻，厚度为1m的平板内的温度分布为：,式中 t 为温度C；x沿厚度方向的位置坐标m；a=900 C，b=-300 C/m，and c=-50 C/m2。均匀内热源，平板面积A=10m2，其他物性为：=1600kg/m3，=40w/(mK)，cp=4kJ/(kg K)1 确定在x=0m壁面进入平板的热量和x=1m壁面逸出的热量；2 确定平板内
14、热力学能（内能）的变化率st；3 确定在x=0，0.25，and 0.5m处温度随时间的变化率求解七步骤：Known,Find,Schematic,Assumptions,Properties,Analysis,Comments,2023/6/10,39,Quick Review：,1 第三类边界条件中两个温度的含义和先后顺序的确定2 通过微分方程获得温度分布的思路，以及在已知温度分布的前 提下，如何获得热流量/热流密度？3 平板导热热阻、圆筒壁导热热阻、对流换热热阻的含义和公式4 一维、稳态情况下，平板、圆筒壁内温度分布的特点和传热热 流量的计算5已知换热量的情况下，如何计算边界面温度,20
15、23/6/10,40,主要研究内容：2-1 导热基本定律2-2 导热微分方程式及定解条件2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热2-4 通过肋片的导热2-5 具有内热源的导热及多维导热,第二章 导热基本定律及稳态导热,2023/6/10,41,2-4 通过肋片的导热,第三类边界条件下通过平壁的一维稳态导热：,为了增加传热量，可以采取哪些措施?,（1）增大温差（tf1-tf2），但受工艺条件限制,（2）减小热阻：,a)金属壁一般很薄(很小)、热导率很大，故导热热阻一般可忽略,b)增大h1、h2，但提高h1、h2并非任意的,c)增大换热面积 A 也能增加传热量,2023/6/10,42
16、,在一些换热设备中，在换热面上加装肋片是增大换热量的重要手段,肋壁：直肋、环肋；等截面、变截面等,2-4 通过肋片的导热(续),2023/6/10,43,1 通过等截面直肋的导热,2-4 通过肋片的导热(续),l,已知：矩形直肋肋根温度为t0，且t0 t肋片与环境的表面传热系数为 h.，h和Ac均保持不变求：温度场 t 和热流量,2023/6/10,44,分析：将问题简化为一维问题?,2-4 通过肋片的导热(续),简化：a 长度 l and H 假设肋片长度方向温度均匀 b 大、H，认为温度沿厚度方向均匀边界：肋根：第一类；肋端：绝热；四周：对流换热求解：这个问题可以从两个方面入手：a 导热微
17、分方程，例如书上第38页 b 能量守恒Fourier Law,2023/6/10,45,2-4 通过肋片的导热(续),能量守恒：,Fourier 定律：,Newton冷却公式：,关于温度的二阶非齐次常微分方程,2023/6/10,46,2-4 通过肋片的导热(续),导热微分方程：,混合边界条件：,引入过余温度。令,则有：,2023/6/10,47,2-4 通过肋片的导热(续),方程的通解为：,应用边界条件可得：,最后可得等截面内的温度分布：,双曲余弦函数,双曲正切函数,双曲正弦函数,2023/6/10,48,2-4 通过肋片的导热(续),稳态条件下肋片表面的散热量=通过肋基导入肋片的热量,肋端
18、过余温度：即 x H,2023/6/10,49,两点说明：(1)上述推导中忽略了肋端的散热（认为肋端绝热）。对于一般工程计算，尤其高而薄的肋片，足够精确。若必须考虑肋端散热，取：Hc=H+/2,(2)上述分析近似认为肋片温度场为一维。当h/=Bi 0.05 时，误差小于1%。对于短而厚的肋片，二维温度场，上述算式不适用；实际上，肋片表面上表面传热系数h不是均匀一致的 数值计算,2023/6/10,50,2-4 通过肋片的导热(续),2 肋片效率 为了从散热的角度评价加装肋片后换热效果，引进肋片效率,2023/6/10,51,肋片的纵截面积,影响肋片效率的因素：肋片材料的热导率、肋片表面与周围介
19、质之间的表面传热系数 h、肋片的几何形状和尺寸（P、A、H）,可见，与参量 有关，其关系曲线如图214所示。这样，矩形直肋的散热量可以不用(2-38)计算，而直接用图214查出 然后，散热量,AL,Ac,2023/6/10,52,肋片热阻,2023/6/10,53,In-Class Problems,如右图所示的等截面直肋，可以假设为一维稳态导热，问：（1）是否肋片一定能增强换热？（2）如果不能，依据是什么？,换热增强,2023/6/10,54,2-4 通过肋片的导热(续),3 通过环肋及三角形截面直肋的导热 为了减轻肋片重量、节省材料，并保持散热量基本不变，有时候需要采用变截面肋片，环肋及三
20、角形截面直肋是其中的两种。对于变截面肋片来讲，由于从导热微分方程求得的肋片散热量计算公式相当复杂，因此，人们仿照等截面直肋。利用肋片效率曲线来计算方便多了，书中图214和215分别给出了三角形直肋和矩形剖面环肋的效率曲线。,2023/6/10,55,图214,2023/6/10,56,图215,2023/6/10,57,4.通过接触面的导热,当界面上的空隙中充满导热系数远小于固体的气体时，接触热阻的影响更突出,接触热阻的产生？,当两固体壁具有温差时，接合处的热传递机理为接触点间的固体导热和间隙中的空气导热,对流和辐射的影响一般不大,2023/6/10,58,（1）当热流量不变时，接触热阻 rc
21、 较大时，必然 在界面上产生较大温差,（2）当温差不变时，热流量必然随着接触热阻 rc 的增大而下降,（3）即使接触热阻 rc 不是很大，若热流量很大，界面上的温差仍是不容忽视的,2023/6/10,59,接触热阻的影响因素：,（1）固体表面的粗糙度,（3）接触面上的挤压压力,（2）接触表面的硬度匹配,（4）空隙中的介质的性质,在实验研究与工程应用中，消除接触热阻很重要如何消除或减小接触热阻？,2023/6/10,60,1 具有内热源的导热,2-5 具有内热源的导热及多维导热,如图所示，一无限大平板中具有均匀的内热源，其两侧同时与温度为 tf 的流体对流换热，表面传热系数 h，现在要确定平板中
22、任一 x 处的温度及通过该截面的热流密度。对称边界的处理？,2023/6/10,61,2-5 具有内热源的导热及多维导热（续）,控制方程:,边界条件:,第几类？,第几类？,积分两次：,应用边界条件：,2023/6/10,62,2-5 具有内热源的导热及多维导热（续）,与无内热源的一维稳态平板导热相比，热流密度不是常数，温度呈二次曲线分布,2023/6/10,63,2 二维稳态导热,2-5 具有内热源的导热及多维导热（续）,工程上经常遇到二维和三维稳态导热问题，如？,导热微分方程式：二维、常物性、无内热源,上面方程求解方法：（1）分析解法（简单形状、线性边界条件），常用分离变量法,（2）数值计算
23、（复杂形状、复杂边界条件）,（3）利用导热形状因子（工程计算、两个边界的温度恒定）,2023/6/10,64,2-5 具有内热源的导热及多维导热（续）,1.分析解法（简单形状、线性边界条件),分离变量法：,这是个关于温度的齐次方程，为能采用分离变量法，需要将其边界条件表达式也齐次化（最多只能包含一个非齐次边界条件）。为此，引进以下无量纲过余温度作为求解变量,2023/6/10,65,2-5 具有内热源的导热及多维导热（续）,于是上述方程变为,采用分离变量法，令,通解：,2023/6/10,66,带入边界条件，并利用傅立叶级数，可得出温度场的分析解,二维温度分布示意图,2023/6/10,67,
24、2-5 具有内热源的导热及多维导热（续）,2.形状因子法,看一下如下几个公式：,(2-19)p.29,一维、稳态、常物性、无内热源的平板导热,一维、稳态、常物性、无内热源的圆筒壁导热,(2-28)p.34,一维、稳态、常物性、无内热源的球壳导热,(2-32)p.34,一维、稳态、无内热源变截面变导热系数的导热,(2-34)p.35,2023/6/10,68,理论分析表明，对于二维或三维问题中两个等温面间的导热热量计算，上面的公式依然成立，其中S 与导热物体的形状及大小有关，称为形状因子。表2-1 列出了部分结果。,2-5 具有内热源的导热及多维导热（续）,以上公式均为第一类边条下的热流量计算公
25、式，可以归纳为统一形式：,2023/6/10,69,Have a good time!Go back and review lecture notes!,作业：219 229 243 246 263(题中d1=5mm,删掉“每米长度上”),2023/6/10,70,第二章小结2-1 导热基本定律 温度场、等温面和等温线、温度梯度、Fourier 定律的一般形 式、导热系数的物理意义2-2 导热微分方程式及定解条件 导热微分方程式由三部分组成；定解条件包括四项；边界条件 包括三类。若扩散率的物理意义2-3 通过平壁、圆筒壁和其他变截面物体的导热 1 平壁：第一类和第三类边条，单层和多层，热阻，特点 2 圆筒壁：第一类和第三类边条，单层和多层，热阻，特点 3 变截面变导热系数：记住平均导热系数的定义及作用,2023/6/10,71,本章小结2-4 肋片导热 肋片导热的特点、温度分布的推导过程、肋片散热量和肋端过 余温度，肋片效率及其应用，接触热阻2-5 具有内热源的导热及多维导热 均匀内热源的导热问题是如何处理的？温度和热流密度计算公式及其分布特点。形状因子的定义和意义,2023/6/10,72,In-Class Problems,无内热源、常物性、稳态导热方程：,其中没有出现导热系数，能否因此说该情况下的温度分布与导热系数无关？,
