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1、级数的收敛、求和与展开,(在收敛域内进行),基本问题：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,为傅立叶级数.,为傅氏系数)时,时为数项级数;,时为幂级数;,一、数项级数的审敛法,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,3.任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:若,且,则交错级数,收敛,概念:,且余项,例1.若级数,均收敛,且,证明级数,收敛.,证:,则由题设,收敛,收敛,收敛,例2.判别下列级数的敛散性:,提示:(1),据比较判别法,
2、原级数发散.,因调和级数发散,利用比值判别法,可知原级数发散.,用比值法,可判断级数,因 n 充分大时,原级数发散.,用比值判别法可知:,时收敛;,时,与 p 级数比较可知,时收敛;,时发散.,再由比较法可知原级数收敛.,时发散.,发散,收敛,例3.设正项级数,和,也收敛.,提示:因,存在 N 0,又因,利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.,都收敛,证明级数,当n N 时,例4.设级数,收敛,且,是否也收敛？说明理由.,但对任意项级数却不一定收敛.,问级数,提示:对正项级数,由比较判别法可知,级数,收敛,收敛,级数,发散.,例如,取,例5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,提示:
3、(1),P 1 时,绝对收敛;,0 p 1 时,条件收敛;,p0 时,发散.,(2)因各项取绝对值后所得强级数,原级数绝对收敛.,故,因,单调递减,且,但,所以原级数仅条件收敛.,由Leibniz判别法知级数收敛;,因,所以原级数绝对收敛.,二、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数:先求收敛半径 R,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性.,例7.求下列级数的敛散区间:,解:,当,因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.,故收敛区间为,解:因,故收敛区间为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和,映射变换
4、法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值,求部分和等,初等变换法:分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数 求和,例1.求幂级数,法1 易求出级数的收敛域为,法2,先求出收敛区间,则,设和函数为,例2.,解:(1),显然 x=0 时上式也正确,故和函数为,而在,x0,求下列幂级数的和函数：,级数发散,显然 x=0 时,和为 0;,根据和函数的连续性,有,x=1 时,级数也收敛.,即得,例3:,解:原式=,的和.,求级数,因此由和函数的连续性得:,而,及,例8.,解:设,则,四、函数的幂级数展开法,直接展开法,间接展开法,例题:,1.将函数,展开成 x 的幂级数.,利用已知展式的函数及幂级数性质,利用泰勒公式,解:,1.函数的幂级数展开法,2.将,在x=0处展为幂级数.,解:,因此,3.设,将 f(x)展开成,x 的幂级数,的和.(01考研),解:,于是,并求级数,五、函数的付式级数展开法,系数公式及计算技巧;,收敛定理;,延拓方法,上的表达式为,将其展为傅氏级数.,例题1.设 f(x)是周期为2的函数,它在,解答提示,思考:如何利用本题结果求级数,根据付式级数收敛定理,当 x=0 时,有,提示:,
