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1、,In our classes,all the mobile phones should be switched off!,上课啦！,The class is begin!,循环群,课时安排 约2课时教学内容 1循环群的思想，理想在循环群结构中的主要的结果（i）数量总数，(ii)构造问题，（iii）循环群的生成元；2循环群的阶与生成元的阶的关系；3两类循环群的本质区别及各自的同构象；4循环群中元素之间的联系和性质；,一、循环群,研究一个对象可粗略地分为两种方法：一种方法是研究此对象的内部关系，另一种是把此对象放在其它对象的相互联系中去研究。当我们对一个群“孤立地”去研究时，掌握这个群的一个好的
2、生成元（生成元集）常是非常有帮助的，循环群就是由一个生成元生成的一种特殊的群。循环群是所有群中最简单的一种群。它的结构到目前为止是可以完全刻划清楚的。本讲中，我们要了解这类群的特点，从本质上领会“循环群已经完全弄清楚了”的含义。先看下面的例子.,例1 整数加群中，每个元素都是的倍数（因为此群是加法运算，所以用“倍数”这个词）。事实上，是的零倍：；正数是的的倍：，负数是的倍:。,上述两例都表明了同一个问题：群中有一个特殊的元素，使群中每个元素都是这个特殊元素的倍数。（因为是加法群，所以用倍数.如果是乘法群，则应是方幂）。于是，下面有了循环群的定义（下面通常用乘法群为例）。1循环群的概念设是一个(
3、乘法)群,而中有一个元素，使中每个元素都的乘方.即.那么称为循环群.叫做的生成元，习惯上记为.也就是说，是由生成元生成的。,我们仔细观察下面两对群，它们元素之间存在着对应关系：,2.循环群的个数,定理2 设是由生成元生成的循环群。如果，那么.如果，那么。证明(1)当时，作.由上述的对应关系易知,是双射.而（2）当时，作,，由上述对应关系也易知,是双射.而且.即.注意 用代数同构观点，循环群只有两个：一个是整数加群；一个是模的剩余类加群。,3循环群的生成元,（1）无限循环群的生成元当时，自然是的生成元，但除了外,其实也是的生成元。即无限循环群中只有两个不同的生成元和。证明 因为,思考1 除和之外
4、，还有其它生成元吗？解 没有。否则，如果也是一个生成元，于是必有.思考2 求整数加群Z的所有生成元 和元素的阶。解 有且仅有两个元1和-1可以作为整数加群Z的生成元,且在Z中除零元外,每个元的阶都是无限的。,（2）有限循环群的生成元,当时，有是的生成元。证明 若是的生成元，则，而，所以；反之，若，而，即有，但由知，不同的恰有n个，所以。,思考3 当.除了自然是的生成元之外，还有其余生成元吗？解 为了讨论的方便，现假设.这时，可以验证也是的生成元:.这说明也能生成，即:.最后可断言：上例中的生成元只有和。那么为什么说，只有和是阶循环群的生成元呢？因为，同时例中也验证了.这就是说，中也含有个元素.
5、与的一样多.也是生成元，而其他元素的阶都不是，所以它们都不能成为生成元。,（3）寻找循环群的其他生成元的方法上思考题告诫我们，寻找循环群的其他生成元的关键问题是要确定其阶数。于是元素的阶数问题自然很重要了.（4）循环群的一个性质循环群一定是交换群。,4循环群中元素的阶的性质,对于无限循环群，我们自然清楚其中每个元素的阶都必是无限的（否则，便成为有限循环群了）。下面主要讨论阶循环群 中的元素的阶的问题。性质1 设是阶循环群中任一个元，若.那么。证明 因为是与的最大公因数。并且有这里并且知(互质)。,首先,.若设 其次，这说明，但.由和知,.即.由性质1知，若时，这时就是的生成元，所以有,由性质1知，若时，这时就是的生成元，所以有性质2 在阶循环群中，是生成元。证明 设.“”，若是生成元.但由性质1.“”也是生成元。,例3 设阶循环群，求中的每个元素的阶和的全部生成元。解 因为，的全部生成元有二个：和.说明 定义在自然数集上的函数叫做欧拉函数。其中表示不超过且与互素的自然数个数。例如：,
