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1、中学数学学科知识的源与流,源与流,源：即源头，原指水流所从出的地方。先引申为事物的根源。流：原指液体的移动。指事物的发展，知识的传承等。“源与流”的解释：儒家思想的“源”就是孔子本人的思想，后人对其的解释就是“流”。源与流的关系：源在先、流在后,学科的分类,自然科学：揭示自然界发生的现象以及自然现象发生过程的实质规律。包括数学、物理学、化学、天文学、生物学等。揭示的是绝对真理。社会科学：指以社会现象为研究对象的学科，包含政治学、经济学、法学、教育学、心理学等。揭示的是相对真理。人文艺术：研究美的学科。音乐、绘画等。,数学教育,是数学与教育的交叉学科，应该具有教育的特点，也有数学的特点。譬如现在
2、推进的用科学的方法研究数学教育，或者说要把数学教育科学化，似乎是要强调数学的特征。数学教学还有艺术的成分，教学可以理解为教师导演的演出。数学教学是技术与艺术的结合。,数学教育的原则,陈建功先在1952的“20世纪的数学教育”一文（原载中国数学杂志第一卷第二期）指出支配数学教育目标、材料和方法的三大原则 实用性的原则 论理的原则 心理的原则,荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔 的数学教育观,数学源自常识 情景问题是教学的平台数学化是数学教育的目标学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分“互动”是主要的学习方式学科交织是数学教育内容的呈现方式,二位大师实际上指出：,(1)数学来自于生活与生
3、产实践；(2)数学学习中数学要上升到理性的高度，要论理，要“数学化”；(3)学生学习数学知识要与学生的心理相适应数学教育都要从学生心理，数学，数学应用三个方面统一起来考虑数学教育问题。,心理学和教育学的成果为数学教育的发展提供了强劲的动力,行为分析 认知理论 建构主义理论 最近发展区理论 APOS理论,中学数学学科知识,显性：数学内容，数学方法隐性：数学思想，数学思维。数学教学目标：通过显性的知识教学提升学生隐性的思维、思想能力。所谓的数学能力大多属于隐性的知识范畴。,数学精神和特点,数学作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、慎密周详的推理及完美境界的追求。数学的基本要素是：逻辑和
4、直观，分析和构作、一般性和个别性。虽然不同的传统可以强调不同的侧面，然而正是这些相互对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成了数学科学的生命、用途和它的价值。,数学本身中寻找中学数学教育研究的源头,数学发展之源 数学的研究之源 数学的结构之源 数学操作之源 数学思想之源,一.数学发展之源,生产实践始终是数学发展的源泉。其他学科（譬如物理学）的发展，推动了数学的发展。数学自己内部出现的问题，推动数学的发展,中学数学教育怎样来体现数学的发展之源,情景教学：1.情景可以是生活中的，2.情景也可以是生物、物理等其他学科的，3.特别要注意的是数学本身提出的问题也是情景问题驱动性的教学法：先提出问
5、题，数学知识和数学思想方法在解决问题中展开。适合于优秀的学生 的教学。应用题教学,勾股定理课例,大树刮断情景：,1,3,函数单调性课例,听课的注意力指标和时间的关系图。两位教师用的同一个情景引入,10,20,20,45,10,20,二.数学的研究之源,直观和直觉是数学创造力的源泉 牢固的基础是数学研究的保障 严谨的数学推理是数学研究的生命 学者之间的交流是数学研究的形式与手段,这是用“割”的方法,A,B,C,S3=25,s3,s2,s1,这是用“补”的方法,A,B,C,S3=25,s3,欧几里得几何,把一切科学公有的真理叫公理 为某一门科学所接受的第一性原理称作公设 公理1：等于同量的量彼此相
6、等公理2：等量加等量，和相等公理3：等量减等量差相等公理4：彼此重合的图形是全等的公理5：整体大于部分,欧氏几何,公设1：通过两点只能作一条直线公设2：一条直线可不断延长公设3：以任意中心和直径可以画圆公设4：凡直角都彼此相等公设5：通过一给定点只能引一条直线与已知直线平行（欧几里得公设）,对第五公设质疑,一开始，人们把下面的(1)直线是一点到另一点的最短的路径 也称为公设，但后来发现，(1)能从其他公理中演绎推理得到。长期以来，人们也希望能从其他公理出发推出公设5，因为它的陈述和内容不象其他公设那样简洁明了，人们不能凭经验而一目了然，因此人们怀疑它不像一个公设而更像是一个定理。两千多年来无数
7、数学家试图证明第五公设的努力都失败了。,意大利人萨谢利（G.Saccheri,1667-1733）试图用归谬法证明第五公设,A,B,C,D,非欧几何的诞生,高斯最先认识到在欧几里得几何之外还可以有逻辑上相容的新几何系统.当高斯秘而不宣自己的发现时，1832年2月14日，高斯的一位匈牙利朋友将儿子波尔约（JBolyai,1802-1860）的一篇题为绝对空间的科学的论文寄给他，请他对论文发表意见.,第一个系统地阐明了非欧几里得几何理论，并且始终坚定地捍卫自己新思想的，是被誉为“几何学上的哥白尼”的俄国青年数学家罗巴契夫斯基。他在保留了前4个公设的前题下，引进一个与第5公设相悖的假设：“通过一给定
8、点能引两条直线与已知直线平行。”由此推出了许多新命题定理，例如：三角形内角之和小于两直角的和；如果两个三角形的三个内角相等，它们就全等.(罗巴契夫斯基几何（罗氏几何）),非欧几何的发展与认可,罗巴契夫斯基几何的一些列命题同人们传统概念和朴素直觉是不相容的，新几何的诞生遭到了许多人的群起而攻之 最先理解非欧几何全部意义的是黎曼。他发展论了罗巴契夫斯基等人的思想，建立了另外一个非欧几何-黎曼几何 黎曼在承认前4个公设的前提下，把第5个公设修改为：“通过直线外一定点不能作任何直线与已知直线平行。”（即通过直线外一定点只能作零条直线与已知直线平行。）由此出发，黎曼也推出了一套新的几何学命题。例如：三角
9、形内角之和大于两个直角之和。(黎曼几何),黎曼几何的创立，不仅是对已经出现的罗巴契夫斯基几何的承认，而且显示了创造其他非欧几何的可能性 黎曼几何的模型：黎曼几何也称为球面几何，顾名思义，黎曼几何是建立在球面上上的几何学。球面上的每个大圆可以看成是一条直线，大圆弧的两端可沿大圆无限延长，任何两个大圆亦即任何两条球面上的“直线”都相交。,为了让罗巴契夫斯基几何也能容易理解，数学家们也不断寻找罗巴契夫斯基几何的模型 罗巴契夫斯基几何，把几何学从传统的模型中解放出来，几何学的概念、公理、公设不必一定要反映人们已认识到的客观实体的性质，也不必束缚于空间观念的直觉成分，人们可以对一系列几何对象及其关系进行
10、高度抽象，并根据需要选择一些公设，只要使之构成一个相容的公理体系。,人们把一切不同于欧几里得公理体系的几何系统称为非欧几何。非欧几何的客观现实性已被证实。例如爱因斯坦的广义相对论所刻画的物理空间，就是用黎曼几何来描述的.1947年人们发现，视空间最好的描述是用罗巴契夫斯基几何来描述。,几点启示,罗巴切夫斯基为什么能毫不动摇的捍卫自己的不合常理的数学结果-罗氏几何，他的底气就是他的结果是用严密的逻辑推理推导出来的 批判性思维和逆向思维是创造性思维的主要形式。年轻人是创造力最旺盛的人群。要保护好年轻人的创造力,双基础教学,数学研究是有基础的，那么数学学习也要有基础。即有双基。双基教育是有利于数学创
11、造 师生交流，生生交流（即合作学习）是有效学习的保障,数学过程的完整性教学,问题 数学试验 归纳 猜想 证明再现数学家的创造历程，实现再创造。,三.数学的结构之源,几何原本最大的特点就是把数学知识按良好的结构组织起来.原本中的公理化体系，提供了使知识条理化和严密化的强有力的手段.数学是由公理、定义出发按数学规则推理 出的一套理论体系。数学的结构主要体现在其逻辑结构的和谐性。,中学数学教育 的结构,要有一套知识结构组织良好的教材。教育者要把具有结构良好 结构的数学知识教给学生。,四数学操作之源,数学操作是指依据已学的定义，公理，定理及相关法则，通过逻辑推理得到数学结论的过程 数学操作本质上是逻辑
12、思维的过程 数学操作之源是已学过的定义、公理、定理等相关数学知识和符合逻辑的推理。已学过的定义、公理、定理主要指教材中出现过的。,中学数学的概念教学,中学数学中的数学定义其实就是数学概念数学概念是一切数学现象的源泉，数学方法，数学思想首先来之于数学概念 数学概念的教育值得重视数学概念教学不能走过场，而是数学教学中最重要的部分之一,中学数学方法的教学,中学数学方法的教学不能只讲操作形式，而更要讲操作的依据 作为一个完整的数学过程，应该是借助直观获取结论，并按数学规则进行论证。,仅凭直观进行数学操作的害处,反例,P,C,A,B,P,C,A,B,五数学思想之源,数学思想是解决数学问题所用的基本想法。数学思想之源就来自于数学过程,中学数学教育 中数学思想的教育,基本数学思想的形成就应该来着于来自于数学的基本活动经验 学生的数学活动经验就是体验数学过程,总结,中学数学教学研究之源是双源的，即数学之源和教育心理之源 只有知道数学是什么，才会明白我们的数学教学需要做什么 要想把水流好，必须要有好的源头。,
