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1、,习题课,一、曲线积分的计算法,二、曲面积分的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,线面积分的计算,第十章,一、曲线积分的计算法,1.基本方法,曲线积分,第一类(对弧长),第二类(对坐标),(1)统一积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2)确定积分上下限,第一类:下小上大,第二类:下始上终,练习题:P184 题 3(1),(3),(6),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解答提示:,计算,其中L为圆周,提示:利用极坐标,原式=,说明:若用参数方程计算,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P184 3(1),P184 3(3).计算,其中L为摆线,上对应 t
2、 从 0 到 2 的一段弧.,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P184 3(6).计算,其中由平面 y=z 截球面,提示:因在 上有,故,原式=,从 z 轴正向看沿逆时针方向.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)利用对称性及重心公式简化计算;,(2)利用积分与路径无关的等价条件;,(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);,(4)利用斯托克斯公式;,(5)利用两类曲线积分的联系公式.,2.基本技巧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.计算,其中 为曲线,解:利用轮换对称性,有,利用重心公式知,(的重心在原点),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.计算,其中L 是
3、沿逆,时针方向以原点为中心,解法1 令,则,这说明积分与路径无关,故,a 为半径的上半圆周.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),思考:,(2)若 L 同例2,如何计算下述积分:,(1)若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:,则,添加辅助线段,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题解答:,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算,其中L为上半圆周,提示:,沿逆时针方向.,练习题:P184 题 3(5);P185 题6;10,3(5).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P185 6.,设在右半平面 x 0 内,力,构成力场,
4、其中k 为常数,证明在此力场中,场力所作的功与所取的路径无关.,提示:,令,易证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P185 10.,求力,沿有向闭曲线 所作的,功,其中 为平面 x+y+z=1 被三个坐标面所截成三,提示:,方法1,从 z 轴正向看去沿顺时针方向.,利用对称性,角形的整个边界,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设三角形区域为,方向向上,则,方法2,利用斯托克斯公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲面积分的计算法,1.基本方法,曲面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),二重积分,(1)统一积分变量 代入曲面方程,(2)积分元素投影,第一类:始终非负,第二类:有
5、向投影,(3)确定二重积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思 考 题,1)二重积分是哪一类积分?,答:第一类曲面积分的特例.,2)设曲面,问下列等式是否成立?,不对!对坐标的积分与 的侧有关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.基本技巧,(1)利用对称性及重心公式简化计算,(2)利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(辅助面一般取平行坐标面的平面),(3)两类曲面积分的转化,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习:,P185 题4(3),其中 为半球面,的上侧.,且取下侧,提示:以半球底面,原式=,P185 题4(2),P185 题 9
6、同样可利用高斯公式计算.,记半球域为,高斯公式有,计算,为辅助面,利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,证明:设,(常向量),则,单位外法向向量,试证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.计算曲面积分,其中,解:,思考:本题 改为椭球面,时,应如何,计算?,提示:,在椭球面内作辅助小球面,内侧,然后用高斯公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.设 是曲面,解:取足够小的正数,作曲面,取下侧,使其包在 内,为 xoy 平面上夹于,之间的部分,且取下侧,取上侧,计算,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二项添加辅助面,再用高斯公式计算,得,机动 目录 上页 下页
7、返回 结束,例6.计算曲面积分,中 是球面,解:,用重心公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,设L 是平面,与柱面,的交线,从 z 轴正向看去,L 为逆时针方向,计算,解:记 为平面,上 L 所围部分的上侧,D为在 xoy 面上的投影.,由斯托克斯公式,公式 目录 上页 下页 返回 结束,D 的形心,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P184 3(2),(4);3(2)5;8,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)在任一固定时刻,此卫星能监视的地球表面积是,备用题 地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄,象机能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄,像,若地球半径为R,卫星距地球表面高度为H=0.25 R,卫星绕地球一周的时间为 T,试求,(2)在,解:如图建立坐标系.,的时间内,卫星监视的地球,表面积是多少?,多少?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)利用球坐标,任一固定时刻监视的地球表面积为,(2)在,时间内监视的地球表面积为,点击图片任意处播放开始或暂停,注意盲区与重复部分,其中S0 为盲区面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)利用球坐标,任一固定时刻监视的地球表面积为,(2)在,其中盲区面积,时间内监视的地球表面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,斯托克斯(Stokes)公式,
