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1、精品论文一种基于四阶非线性扩散的图像去噪方法周千 1，张培茹 2 西安理工大学理学院，陕西西安 （710054） E-mail: zhouqian_0823摘要:本文建立了一种描述图像平滑度的泛函，并推导出新的四阶偏微分方程(PDE)图像降噪模型，该模型在有效降噪的同时,能较好地保持图像的特征.本文方法得到的图像是分段线 性图像,避免了二阶偏微分方程处理图像常出现的“阶梯”效应,同时,和同类的四阶偏微分方 程去噪模型相比,本文方法的处理结果不会出现“斑”点,因此视觉效果更加理想.最后通过实 验证明了该方法的有效性.关键词：图像去噪；四阶偏微分方程；分段线性图像 中图分类号：TP3911. 引言
2、在图像处理和图像分析领域，去除噪声是一个长期存在的问题，一个较好的去噪方法应 该是既能消除噪声，又不使图像的边缘轮廓和线条变模糊.非线性扩散作为这一领域的主要 工具之一，受到人们的极大关注.Perona和Malik在他们关于非线性扩散方法的开创性论文1中首先提出扩散的程度应同 图像内容相联系.他们把图像处理转化为对偏微分方程( PDE)的求解,对区域内和区域间采取 不同的滤波策略,减少了对图像特征的平滑. 这种方法具有许多优点,比如可以引入先验知识模型,过程控制简便,允许交互式操作,便于向高维扩展等等,因而得到广泛应用. P-M模型及其演化模型，如Catte模型3，Alvarez模型4等，均为
3、二阶非线性扩散方法,其缺点是:它们的处 理结果都受“阶梯”效应2的影响,使得图像的视觉效果很差.近年来,人们越来越倾向于利用四阶偏微分方程5-10进行图像平滑,以克服二阶非线性扩 散方法的缺点,即“阶梯”效应.这主要是因为高阶方法对高频噪声平滑速度更快,而且可以引 入对图像二阶导数的处理,使处理后的图像更加合理.本文首先建立了一种描述图像平滑度的泛函，由此得到一种新的四阶偏微分方程(PDE) 图像降噪模型，并证明该方法的处理结果为分段线性图像，不会出现“阶梯”效应,在视觉上 要优于二阶方法. 同时,和同类的四阶偏微分方程去噪模型相比,本文方法的处理结果不会出 现“斑”点,因此视觉效果更加理想.
4、最后通过实验证明了该方法的有效性.2. 非线性扩散图像平滑方法2.1P-M 模型1人们对基于偏微分方程的图像去噪方法进行了广泛的研究.重点在于如何在降噪的同时 对特征进行良好的保持. P-M 模型是这方面的典型代表: u = divc(| u |)ut- 5 -u( x, y, 0) = u0 ( x, y), t 0, T (1)其中,c () 是扩散系数,与图像梯度成反比,与式(1)对应的描述图像平滑度的泛函是:E(u) = f (| u |)d (2)式中 是图像区域,f (s)f () 0 是递增函数,且 c(s) =.s尽管 P-M 方法在降噪和特征保持两方面取得了较好的平衡,但经它
5、处理的图像却明显 呈“阶梯”状分布,不仅视觉效果较差,对于后续的图像处理也有较大的影响.“阶梯”效应是所有低阶非线性扩散方法所固有的2. 原因如下:线性图像的二阶偏导数为 零,所以在图像区域为无穷大的理想情况下,低阶非线性扩散方法使图像最终演变为线性结果. 但在实际处理中,图像区域是有限的,而且为保证边界处理的稳定,通常设定对称边界条件, 边 界梯度为零.在这样的条件下,图像演化趋于恒值结果.同时低阶方法在同质区域的演化速度 要明显高于特征区域,因此最终的处理结果是原图像的分段恒定近似,这些恒定区域的边界可 能和目标边缘重合,也可能在同质区域内部,形成“阶梯”.2.2 高阶非线性扩散方法You
6、和Kaveh利用拉普拉斯算子模值| 2u | 描述图像平滑度,并提出一个四阶偏微分方程5,该方程在去除噪声的同时,可以更好的保持图像的特征,其方程如下:u = 2 c(| 2u |)2ut(3)式中,扩散系数 c(s) = 1/1 + (s / k )2 ,其中 k 为常数.作者证明式(3)的迭代结果是分段线性图像,不受“阶梯”效应影响.但作者在实验中发现,结果图像存在许多孤立的“斑”点,影响了图像的视觉效果.我们考虑定义在图像区域 上的泛函:E (u) = F (m)d (4)其中函数 F () 0 是递增函数,即 F () 0 .而 m = u 2+ u 2+ 2u 2,同 | 2u |
7、=| u + u| 相xxyyxyxxyy比, m 中增添了 uxy 这一项,这相当于在噪声描述算子中加入了更多的平均量,进一步压缩随机 强噪声点的影响,从而得到局部图像噪声情况更加全面的评估.由于 F () 是非负的,泛函 E(u) 满足:E(u) 0(5)函数 F () 又是递增函数,因此,当且仅当 m =0 时, 泛函 E(u) 取得全局最小值.式(4)的最小化问题是式(6)的特殊形式:222222E(u) =F ( x, y, u, u , u , u , u, u )dxdy(6)式(6)对应的欧拉方程为:x yx2xyy 2F ( F ) ( F ) + ( F ) + ( F )
8、 + ( F ) = 0(7)ux uy ux2 uxy uy2 uxyxxxyyy由此我们得到关于式(4)的欧拉方程: 2x2xxF (m)u 2 + 2F (m)u +xyxy 2y2yyF (m)u = 0(8)式(8)可用如下的梯度下降法11求解:222u = F (m)u + 2 F (m)u + F (m)u (9)tx2xxxyxyy 2yy式中 F (m) 为扩散系数,按 P-M 方法取 F (m) =微分方程的非线性扩散方法.11 + m / k 2.式(9)即为本文提出的基于高阶偏下面证明本文提出的高阶方法处理结果是分段线性的.我们称图像 u 为线性图像,如果 u 满足:2
9、u( x, y) = 0(10)式中 ( x, y) .因为 2u( x, y) = 0 ，所以 m = u 2+ u 2+ 2u 2 = 0此时式(8)等号左端等于xxyyxy 2 2F (0)(u+ 2u+ u) = F (0)(u+ u ) +(u + u )xxxxxxyyyyyyx2 2xxyy 2y 2xxyy= F (0)(2u) +x2可见,欧拉方程(8)满足线性图像的条件.y 2(2u) = 0(11)P-M 方法的处理结果是分段恒定的,导致结果图像“阶梯”状分布,视觉效果不理想.本文提 出的高阶方法处理结果是分段线性的,在视觉感知上要优于 P-M 方法.同时，和方程(3)相
10、比， 本文在噪声描述算子中加入了 uxy 这一项，从而得到局部图像噪声情况更加全面的评估，而 且本文方法的处理结果不会出现“斑”点（方程(3)的处理结果中存在“斑”点，为此，作者额外 提供了一种除斑算法）,因此视觉效果更加理想.2.3 差分解法方程(9)可以用下面的迭代方法求出数值解.假定时间间隔为 t ,空间步长为 h ,则有:t = nt ,x = ih,n = 0,1, 2Li = 0,1, 2L Iy = jh ,j = 0,1, 2L J其中 Ih Jh 为图像的大小.在实验时取 h =1.nnnn3nnnnn(1)(uxx )i , j = ui +1, j 2ui , j + u
11、i 1, j(uxy )i , j = ui +1, j +1 ui +1, j ui , j +1 + ui , j(u )= u 2u+ unnnnyy i , ji , j +1i , ji , j 1相应的对称边界条件为：u= u,nn1, j0, ju= unnI +1, jI , jj = 0,1, 2L Ju= u,nnxxi ,1 i ,0u= unn2yyi , J +1 i , Ji = 0,1, 2L I(2)设 g1= F (m)u ,g = F (m)u ,g = F (m)u则:( g)= g 2 g+ g,nnnn1xx i , j1i +1, j1i , j1i
12、 1, j( g)= g 2 g+ gnnnn3 yy i , j3i , j +1 3i , j3i , j 1( g)= g g g+ gnnnnn2 xy i , j2i +1, j +1 2i +1, j2i , j +1 2i , j 相应的对称边界条件为：( g )= ( g ),nnxyk 1, jk 0, j( g )= ( g )nnk I +1, jk I , jj = 0,1, 2L J( g )= ( g ),nnk i ,1 k i ,0nn( g )= ( g )k i , J +1 k i , Ji = 0,1, 2L I ，k = 1, 2, 3(3)n+1 n
13、(n2nn )ui , j = ui , j t g1i , j +g2i , j + g3i , j 步长 t 的恰当选择能确保快速收敛，通常 t 取 0.25.3. 实验结果及分析(a)(b)(c)(d)(e)图 1 Lena 图降噪比较Fig.1 Processing result of image lena图 1 (a)是原图, (b)是添加高斯噪声图,且 SNR=14.0315db, (c)是 P-M 方法处理的结果,可 以看出,图中噪声得到平滑,特征也得到保持,但是视觉效果却不理想. (d)是方程(3)处理的结果, 从图中可以看出,该方法不受“阶梯”效应的影响,但图中存在较多的“斑
14、”点,视觉效果不理想. (e)是本文方法处理的结果,从图中可以看出,本文方法正如前文中分析的那样不受“阶梯”效应 的影响,也没有出现“斑”点.因此本文的方法要优于 P-M 方法和方程(3)的方法.4. 结论本文首先提出了一种描述图像平滑度的泛函，并推导出新的四阶偏微分方程(PDE)图像 降噪模型，该方法处理结果不但无 P-M 方法所产生的“阶梯”效应,而且无同类高阶方法的“斑” 点,视觉效果较好.最后通过实验证明了该方法的有效性.参考文献1 1 Perona P , Malik J . Scale-space and edge detection using anisot ropic diff
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20、ion are proposed to remove noises. The newmodel can remove noises while preserving edges well. The results of the proposed PDEs in this paper processed images are piecewise planar images. Piecewise planar images look more natural than step images which ( second order PDEs) nonlinear diffusion uses t
21、o approximate an observed image. So the proposed PDEs are able to avoid the blocky effects widely seen in images processed by second order nonlinear diffusion , while achieving the degree of noise removal and edge preservation comparable to second order PDEs.Other fourth-order partial differential equations need despeckle algorithms to remove speckles after processing,while the PDEs proposed in this paper have no such problem. Finally,we proved the validity of the proposed model through the experiment.Key words: image denoising; fourth-order PDEs; piecewise planar images.
