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1、一、多元函数的极值二、条件极值、拉格朗日乘数法,第八节 多元函数的极值与最值,一、多元函数的极值,1二元函数极值的定义,(1),(2),(3),2多元函数取得极值的条件,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,解,在点处,所以，在处函数没有极值,所以，在处函数有极大值且,求最值的一般方法：1）将函数在D内的所有驻点处的函数值 2）求D的边界上的最大值和最小值 3）相互比较函数值的大小，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,3 多元函数的最值,解,如图,例,5,求
2、二元函数,在直线,，,轴和,轴所围成的闭区域,上的最大值与最小值,.,解方程组,得,例,6,求,的最大值和最小值,.,即边界上的值为零,.,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,因为,此水箱的用料面积,解：设水箱的长为x,宽为y,则其高为,时，A取得最小值，,根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，并在开区域D(x0,y0)内取得。又函数在D内只有唯一的驻点，因此可断定当,就是说，当水箱的长、宽、高均为,实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,二、条件极值、拉格朗日乘数法,拉格朗日乘数法,条件极值：对自变量有附加条件的极值,无条件极值：对自变量除有定义域限制外，无任何其它条件限制的极值,拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：,解,则,故最大值为,该切平面在三个轴上的截距各为,在条件,下求,的最小值,由,可得,即,当切点坐标为时,
