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1、莫兴德广西大学数信学院,微 积 分,链接目录,参考书,1赵树嫄.微积分.中国人民出版社2同济大学.高等数学.高等教育出版社,第三章 导数与微分,引例导数概念导数的基本公式与运算法则高阶导数微分,3-3 导数的基本公式（续）取对数求导法隐函数微分法参数函数微分法,隐函数的求导法则,隐函数的求导法则,F(x,f(x)0,对上式两边关于 x 求导（把看成是中间变量）：,然后,从这个式子中解出 y,就得到隐函数的导数.,方法：,则将 y=f(x)代入方程中,得到,如果由方程 F(x,y)=0 确定隐函数 y=f(x)可导,解,两边对x寻求导,求由方程,(x 0),所确定的隐函数的导数 y,并求,方程两
2、边关于 x 求导：,故,由原方程可得：F(0,y)=0y e0+ey=0,从而,解,故,求椭圆,对方程两边关于 x 求导得：,故所求切线的方程为：,解,整理后,切线方程为：,参数方程求导法则,选择一个适当的参数 t 后,的形式,此式称为函数 y=f(x)的参数方程.,y=f(x)可表示为,1.参数方程的概念,参数方程求导法则,参数方程求导法则：,设,利用反函数求导法则可证明该法则,椭圆上任意一点x处的切线的斜率为,故,从而,所求切线方程为：y=b.,解,又,星形线是一种圆内摆线,解,取对数求导法,然后,对方程两边关于 x 求导：,方法:,在条件允许的情况下,对 y=f(x)两边,同时取对数：,
3、注意：y 是 x 的函数.,取对数求导法,取对数求导法常用来求一些复杂的乘除式、根式、幂指函数等的导数.,运用取对数求导法,两边关于 x 求导：,故,解,运用取对数求导法,两边关于 x 求导：,解,整理得,对这类型的题用取对数求导法很方便哦！,运用取对数求导法,解,故,基本初等函数的导数,导数的四则运算法则,反函数的导数,复合函数求导法,隐函数的求导法,参数方程求导法,取对数求导法,求导方法小结,按定义求导,3.4 高阶导数,3.4 高阶导数,一.高阶导数的概念,高阶导数的运算法则,隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数,一.高阶导数的概念,推而广之:,按照一阶导数的极限形式,有,和,一个函数
4、的导函数不一定再可导,也不一定连续.如果函数 f(x)在区间 I 上有直到 n 阶的导数 f(n)(x),且 f(n)(x)仍是连续的(此时低于 n 阶的导数均连续),则称 f(x)在区间 I 上 n 阶连续可导,记为,如果 f(x)在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存在且连续,则称函数 f(x)是无穷次连续可导的,记为,解,注意,当 k=n 时,综上所述：,解,多项式,的高阶导数.,解,对多项式而言,每求一次导数,多项式的次数降低一次;n 次多项式的 n 阶导数为一常数;大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0.,求 y=ex 的各阶导数.,解,y=ex 的任何阶导数仍为 ex,求 y=ax
5、的各阶导数.,解,运用数学归纳法可得,求 y=lnx 的各阶导数.,解,设,类似地,有,则,故由数学归纳法得,解,注意这里的方法,即,类似地,有,解,看出结论没有？,运用数学归纳法可以证得,类似地,可求得,解,解,二阶导数经常遇到,一定要掌握.,解,由复合函数及反函数的求导法则,得,解,高阶导数的运算法则,设 f(x),g(x)有直到 n 阶的导数,则,(1),(2)莱布尼兹公式,两个基本公式,由于,故,解,解,由莱布尼兹公式,证,看出一点什么没有？,你打算怎么处理此式？,对上式关于 x 求导 n 次：,故,即,隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数,原则是:按照高阶导数的定义,运用隐函数及参数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求导.,对方程两边关于 x 求导:,解,想想如何求二阶导数？,对方程两边关于 x 求导,得:,对该方程两边关于 x 求导:,解,从而,其中,方程两边对 x 求导,解,故,参数方程求导法则：,设,解,参数方程求导 并不难啊！,解,解,
