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1、第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,隐函数和参数方程求导,相关变化率,第二章,一、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数,由,表示的函数,称为显函数.,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.,函数为隐函数.,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导(注意 y=y(x),(含导数 的方程),例1.,解：,解得,【注意】求隐函数的导数，结果中允许含有因变量y.,例2.求由方程,在 x=0 处的导数,解:方程两边对 x 求导,得,因 x=0 时 y=0,故,确定的隐函数,例3.求椭圆,在点,处的切线方程.,解:椭圆方程
2、两边对 x 求导,故切线方程为,即,例4.,解：,分析 此为隐函数的高阶导数,例5.求,的导数.,解:两边取对数,化为隐式,两边对 x 求导,也可这样求:,1)对幂指函数,可用对数,说明:,注意:,求导法求导:,2)有些显函数用对数求导法求导很方便.,例如,两边取对数,两边对 x 求导,又如,对 x 求导,两边取对数,二、由参数方程所确定的函数的导数,【例如】,消去参数,【问题】消参困难或无法消参如何求导?,由复合函数及反函数的求导法则得,复合函数,参数方程求导公式.,【注】,为方便见，通常把 省去，后同.,是通过 t 作为媒介成为 x 的函数,应表示为,参数,【注】,不必死记，要会方法.,容
3、易出错，切勿漏掉,求高阶导数,从低到高每次都用参数方程求导公式.,?,例6.设,且,求,已知,解:,练习:书P112 题8(1),解:,注意:,例7.设由方程,确定函数,求,解:方程组两边对 t 求导,得,故,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,例8.一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时,观察员,视线的仰角增加率是多少?,解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则,两边对 t 求导,已知,h=500m
4、 时,思考题:当气球升至500 m 时停住,有一观测者以,100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m,时,仰角的增加率是多少?,提示:,对 t 求导,已知,求,试求当容器内水,例9.有一底半径为 R cm,高为 h cm 的圆锥容器,今以 自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解:设时刻 t 容器内水面高度为 x,水的,两边对 t 求导,而,故,体积为 V,则,内容小结,1.隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2.对数求导法:,适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数,3.参数方程求导法,极坐标方程求导,4.相关变化率问题,列出依赖于 t 的相关变量关系式,对 t 求导,相关变化率之间的关系式,转化,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,作业,P111 1(3);3(2);4(3);8(2);11,求.,解:,方法1,方法2,等式两边同时对 求导,备用题,1.设,求,解：方程组两边同时对 t 求导,得,2.设,3.设,由方程,确定,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导,得,当,时,故由 得,再代入 得,求,4.设,求,提示:分别用对数求导法求,答案:,
