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1、精品论文大全台体型 4SPS-2CCS 广义并联机构位置正解分析1黄昔光，廖启征，魏世民，李端玲 北京邮电大学自动化学院，北京 (100876) E-mail：huangxiguang摘要：提出了台体型 4SPS-2CCS 广义并联机构，并对该机构的位置正解进行分析。基于 四元数建立位置正解的数学模型，应用 Mourrain 簇理论对模型解的个数进行理论分析，得出该并联机构位置正解上限为 160；同时应用同伦连续法进行数值演算，给出该机构全部 160组位置正解，证明该机构位置正解上限是可以达到的。求解过程中，将四元数运算转化为矩 阵运算，降低方程组的 Bezout 数，从而减少跟踪路径数目，提
2、高计算效率。最后给出数字实例，分析结果表明，计算方法简洁，可靠，适用于其他并联机构的位置正解分析，为此类机构的尺度设计，路径规划和控制提供了理论依据。 关键词：位置正解分析；并联机器人机构；同伦连续法；四元数中图分类号: TH112文献标识码：A1. 引言并联机构位置正解问题最终归结到复杂非线性方程组求解，过程十分复杂。台体型 6SPS 并联机构位置正解分析是继空间 6R 串联机械手位移分析完成后的又一机构学难题1，许多 学者曾致力于这方面的研究1-8。其中比较重要的有 Raghavan4，Sreenivasan5等，他们都使 用同伦连续法，分别跟踪了 960 条、768 条同伦路径求出了其全
3、部位置正解；Wempler6证 明运用系数同伦连续法跟踪 40 条路径可以得到全部 40 组位置正解，但没有给出数字实例； LEE7运用 Sylvester 消元法导出了一元 40 次方程，其公式推导十分复杂。尽管可以利用铰链分布、驱动位置选择等变化，使传统的 6SPS 并联机构而产生一些变 种，但总体来讲，并联机构形式还是比较单一。我国数学家高小山等8提出了由点、线、面 三种几何元素通过角度约束以及距离约束来构造出新的并联机构，即广义 Stewart 并联机构， 或简称广义并联机构。通过计算表明9，包括经典的 Stewart 并联机构在内，新方法构造的 广义并联机构有 3 850 种机构类型
4、，新机构大大丰富了并联机构的种类。新机构中有的位置正解分析简单，也有的复杂。复杂的新机构中，有一种是包含 CCS 运动链的机构。从几何上来看，CCS 运动链是从球面副 S 中心点到第一个圆柱副 C 轴线间 的距离约束。所谓距离约束，就是第二个圆柱副即中间那个圆柱副的轴线长度，第二个圆柱 副控制着球面副中心点到第一个圆柱副轴线间的垂直距离。相对传统的 SPS 运动链中两个 球面副中心点间的距离约束而言，CCS 运动链中点线间的距离约束要复杂得多。并联机构 包含 CCS 运动链越多，其位置正解越复杂。本文对台体型 4SPS-2CCS 广义并联机构位置正解进行了研究。首先基于四元数建立该 机构的数学
5、模型，然后应用 Mourrain 簇理论对数学模型解的个数进行理论分析，得出该机构位置正解上限为 160，并应用同伦连续法进行数值演算，给出全部 160 组位置正解，证明该机构位置正解上限是可以达到的，最后，用数字实例进行验证。2. 四元数在位置正解中的应用四元数为四个元数的超复数9-10，为了便于计算，四元数可以表示成41的列阵-7-TTq = q 0 , q= q 0 , q1 , q2 , q3 1本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金（项目编号：20050013006）的资助。式中q0四元数的实部；四元数的共轭为TTq = q1 , q2 , q3 四元数的虚部；若满足q = q 0
6、 ,-q= q 0 ,-q1 ,-q2 ,-q3 q q = q0 q0 q q , q q + q0 q + q q = 1式中， 四元数圈乘； 则称四元数q为单位四元数。任何矢量都可以用实部为零的四元数表示。（1）坐标系Oxyz中矢量B绕其中的单位矢量 u = (u x拉角旋转变换和四元数表示为, u y, u z) T 旋转角度 得到矢量B，用欧式中R单位旋转矩阵；B = RB = q B q(2)q对应旋转的单位四元数；q = cos( / 2), u xsin( / 2), u ysin( / 2), u zsin( / 2)T坐标系Oxyz中任意平移矢量P用四元数形式g = Pq(
7、4)其中g为相应的四元数，且Re(P) = Re(g q ) = 0(5)式中，Re四元数的实部。由上述分析可见，若四元数(q, g)满足式(1)(5)，则可以描述空间刚体位置P和姿态R， 且(q，g)和(-q，-g)表示刚体相同的姿态和位置变换。3. 基于四元数4SPS-2CCS位置正解本文具体提出了一种新型台体型 5SPS-1CCS 并联机构，实现过程如下：上、下台体均 为空间任意六边形，连接上下台体的 6 个运动链中 4 条运动链与传统的 Stewart 并联机构相 同，即上、下台体的 8 个顶点均是 8 个球面副 S，每对球面副 S 之间通过移动副 P 相连；其 他 2 条运动链由 4
8、 个圆柱副 C 和 2 个球面副 S 组成，运动副排列次序是，圆柱副 C 连接下 台体，球面副 S 连接上台体，圆柱副 C 和球面副 S 两者之间通过另一个圆柱副 C 相连。台 体型 4SPS-2CCS 广义并联机构属于点线结构的一种，如图 1 所示。图 1 台体型 4SPS-2CCS 广义并联机构Fig 1 the Generalized 4SPS-2CCS Parallel Robot Mechanism3.1数学建模图 2 为台体型 4SPS-2CCS 广义并联机器人机构几何模型，以点 A1 为原点建立与下台体 固结的定坐标系 O1x1y1z1，以点 B1 为原点建立与上台体固结的动坐标
9、系 O2x2y2z2。只要求出 动坐标系 O2x2y2z2 到定坐标系 O1x1y1z1 的旋转变换矩阵 R 和平移矢量 P，就可以确定上台体 相对于下台体的位姿。图 2 台体型 4SPS-2CCS 广义并联机构几何模型Fig 2 the geometry model of the Generalized 4SPS-2CCS Parallel RobotMechanism图 2 中，已知点 Ai 在定坐标系 O1x1y1z1 的坐标 Ai，点 Bi 在动坐标系 O2x2y2z2 的坐标 Bi，AiBi 的长度为 Li。采用欧拉旋转矩阵表示方法，可以得到动坐标系 O2x2y2z2 到定坐标系 O
10、1x1y1z1的单位旋转变换矩阵 R。于是对于 4 条 SPS 腿，由杆长的约束条件有L 2 = (P + RB A ) T (P + RB A ) i=3,4,5,6(5)i i i i i对于 2 条 CCS 腿，由杆长约束条件得L 2 = P + RB (A + x V )T P + RB (A + x V )(6)j j j j jj j j j由球心到圆柱副轴线的垂线与圆柱副轴线垂直关系有0 = P + RB j ( A j+ x jV jj) V Tj=12(7)上述等式中，Vj 为下台体圆柱副轴线的单位方向矢量，xj 为 Aj 到垂足的距离。 将式(1)(4)代入式(5)(7)得
11、(gq+qB qA )(gq+qB qA ) = L 2i=3,4,5,6(8)iiiii( gq+qB q A xV )( gq +qB q A xV ) =L 2(9)j j j jj j j j jg q + q B j q (Aj + x jVj )Vj = 0 , j=1,2(10) 式(1)，(4)，(8)，(9)，(10)共 10 个方程，便构成了台体型 4SPS-2CCS 并联位置正解方 程组的四元数表达形式，即本文求解的目标方程组。当该并联机构的各个输入给定时，目标方程组中只有 g 0 , g1 , g 2 , g 3 , q0 , q1 , q2 , q3 , x1 , x
12、2 为未知量, 其他均为已知量。 应用四元数建立台体型 4SPS-2CCS 并联机构位置正解数学模型，虽然变量数比采用欧拉角方法增加了两个，但是变量的最高次数为 3 次；若采用欧拉角和万能代换进行建模，变量数少两个，但变量最高次数为 8 次，可见，采用四元数建立数学模型具有方程次数低，形 式简洁的特点。3.2方程组分析目标方程组总次数为 2832=2 304，应用齐次化法12，把目标方程组的变量分成g0，g1，T89Tg2，g3， q0，q1，q2，q3，x2,x1两组，其 Bezout 数等于式 3841 (21+2)(21+21)中项 1 2的系数，经 计算为 2 304 ；式 (5)(7
13、) 是由欧 拉法建立的 方程组， 用万能代 换 cos = (1 u 2 ) /(1 + u 2 ), sin = 2u /(1 + u 2 ), u = Tan( / 2) 代入方程(5)(7)中，方程组总次 数为 2861=524 288 将其变量分成x1,Px，Py，Pz，x2，u，u，u五组，其 Bezout等于式 (2 + 23 + 24 + 25 )(1 + 2 + 23 + 24 + 25 )(21 + 22 + 23 + 24 + 25 )1 2 3 455(22 + 23 + 24 + 25 )中项 4 的系数，经计算为 46 080。T可见，目标方程组降低了方程组总次数，减
14、小了 Bezout 数，从而可以减少同伦连续法 跟踪的路径数目，提高计算效率。由式（5）有L2TTi = (P + RBi A)(P + RBi A) = B iB i + + A iA i + 2UB i 2A iP 2(RBi ) A i将方程(7)代入(6)得i=36 (11)L 2 = B T B+ + A T A+ 2U T BT 2 A T P 2(RB) T A (R T B) T V+ P TV A TV 2j j j j j j j jjjjjjj=1,2 (12)式中U= R T P ， = P T P根据 Mourrain 簇 R，P，U， 的次数为 40，且式(11)中
15、次数为 1，式(12)中次数为 2， 由 Bezout 定理知，位置正解方程组最多有 4022 = 160 个解。因此，广义并联机器人台体型4SPS-2CCS 机构位置正解解的上限为 160，即该机构最多存在 160 种构型。3.3方程组求解台体型 4SPS-2CCS 广义并联机构位置正解方程为多元高次多项式方程组，难以用消元 法或其它符号解法求解，同伦连续法是一种高效的求解非线性方程组全部解的方法，且具有 整体收敛性13，本文应用同伦连续法进行求解。在 Intel Pentium III 2.93GHz RAM 256M 的 PC 机上，应用美国 Illinois 大学开发的同伦 连续法软件
16、 PHCpack 14对欧拉法建立的方程组式(5)(7)进行计算，运算过程中多项式的规模迅速膨胀，所需的内存量超过了计算机的能力，导致计算无法进行。 而对本文所提出的目标方程组，运用同样的软、硬件，较快地得到方程组的全部解，具体过程如下。将已知结构参数代入式(1)，(4)，(8)，(9)，(10)共 10 个方程，得到方程组(13)。 采用上述软、硬件对方程组(13)进行求解，很快可以得到关于 g0，g1，g2，g3， q0，q1，q2，q3，x1，x2 共 10 个未知量全部非奇异解集 H。将求解出来的解代入到式（2）和（3），便可以确定上平台相对于下平台的位置和姿态。3F1 (g i ,
17、qi ) = G100 + G10i g i+ x1322 g i q j + x1i =0i , j =0,i j3F ( g , q ) = ( g 22+ G 0 q ) +3 (G 1 g q + G2 q q ), i = 3 6i s tss=0i s ss ,t =0,st3ist s tist s tF6 ( g i , qi , x1 ) = G6ij g i q j + x1i , j =0 ,i j3F7(gs ,qt , x2) =G600 + x2 + x2G61iqi +3(G6st1gsqt +G6st2qsqt )(13)2 2i=03 3s,t=0,s+t3+
18、(gi +G63iqi ) + (G6ij giqj +G6 jkqjqk )2 2i=0i, j=0,i jF8 (x6 ,gi, qi ) = G700 + G710x2 +3i, j =0,i + j 33giq j + qi q ji, j =03F9 ( gi , qi ) = gi qii=0F103qi =02(qi ) = 1 i4. 数字实例如图 1 所示，已知：A1(0，0，0)，A2(-1.8301，3.1699，-0.5)，A3(3.1699，11.8301，0.5)，A4(6.8301，11.8301，-1)，A5(11.8301，3.1699，0)，A6（10，0，
19、-1），B1(0，0，0)，B2(-2，3.6049，0.0693)，B3（-0.8349，5.4247，-0.9359），B4（3.1651，5.6835，0.03），B5（4.3302，3.3462，-0.8966），B6（2.3302，0.2589，0.9659），V1=（0.965923，-0.25883，0），V2=（0.6，0.8，0），L1 = 9.8080，L2 =10.8465，L3 =11.0578，L4 =12.8826，L5 =9.6551，L6 =12.3934。 将各已知参数代入方程组(13)，在 Intel Pentium III 2.93GHz RAM 256M
20、 的 PC 机上，采 用文中所提出的计算方法对运动学正解方程组进行求解，跟踪了 1 024 条路径，运行时间为1 003 s，得到 320 组解，其中实数解为 12 组。由于(g , q)和（-g , -q）表示刚体的同一位置 姿态，故位置正解方程组有 160 组解，其中实数解为 6 组。计算结果见表 1（仅列出实数解）。160 组解经反解验证，求解正确。表 1 数字实例的 6 组实数解Tab.1 6 Real Solutions of the Numerical ExampleNo.1q0-0.977154q10.090038q20.169880q3-0.090580g00.426559g1
21、-8.664720g22.665800g3-8.214840x17.324790x23.0278802-0.9093670.055802-0.287580.295357-3.3531001.0767701.336090-9.2263001.7651201.95825030.6548350.570902-0.059107-0.4917003.406280-3.1074408.804850-0.1299980-1.6138006.15058040.961965-0.157968-0.2191640.04045860.75929410.0329002.5305307.4116108.1470704.
22、35242051.00000.0000100.000031-0.0000270.0002453.834060-0.8184399.8060503.9155601.89195060.4870520.2007550.290926-0.7986494.924240-5.0058805.7592803.8426501.0224606.077360由于上述数字实例解个数为 160， 结合该机构位置正解上限为 160 个解的结论，所以这个上限是可以达到的，即台体型 4SPS-2CCS 广义并联机构位置正解应有 160 组解，即存 在 160 种可能构型。根据数字实例中的 6 组实解，应用 CAD 软件进行
23、三维实体造型，如图 3 所示。（a） (b) (c)（d） (e) (f)图 3实数解三维实体造型Fig 3 The 3D Models of the Real Solutions5. 结论(1) 基于四元数建立台体型 4SPS-2CCS 并联机构位置正解方程组，避免了应用欧拉角及 万能代换带来的方程组次数过分升高的问题，构造的目标方程组具有次数低、Bezout 数小 的特点，计算效率高，适于采用同伦连续法进行计算；同时采用四元数的矩阵运算，方便计 算机程序实现。形式简单的正解方程组，也有助于探讨该问题的符号消元求解。(2) 得出台体型 4SPS-2CCS 并联机构位置正解的个数上限为 160
24、，运用数字化方法证明 该机构位置正解数目的上限是可以达到的，同时得出：把 6SPS 机构中的两条运动链 SPS 改 变为 CCS 后，可以使并联机构位置正解数目增加到原来的四倍。参考文献1文福安，梁崇高，廖启征并联机器人机构位置正解J中国机械工程，1999，10(9)：1 0111 013 Wen Fuan ， Liang Chonggao ， Liao Qizheng The ForwardDisplacement analysis of parallel robotic mechanismsJChina Mechanical Engineering，1999，10(9)：1 0111 01
25、32苏海军，廖启征一种 5-5 型台体并联机器人机构的位置正解 J北京邮电大学学报，1997，20(3)：18Su Haijun，Liao Qizheng，Liang ChonggaoForward positional analysis for a kind of 5-5 platform in-Parallel robotic mechanismJJournal of Beijing University of Posts and Telecommunications，1997，20(3)：183韩林，文福安，梁崇高6-5 平台型并联机构的位置正解J北京邮电大学学报，1998，21(2)：
26、3337Han Lin，Wen Fuan，Liang Chonggao，Forward displacement analysis of the 6-5 Stewart platformJJournal of Beijing University of Posts and Telecommunications，1998，21(2) ：33374Raghavan MThe stewart platform of general geometry has 40 configurationsJAdvances in Design Automation，1991，DE-32，Vo12，3974025S
27、reenivasan S V，Nanua PSolution of the direct position kinematics problem of the general stewart platform using advanced polynomial continuationJASME，1992：991066Wampler C W Forward displacement analysis of ge-neral six-in parallel SPS (Stewart) platform manipulators using SOMA coordinatesJ.Mechanism
28、and Machine Theory，1996，31(3)：3313377Lee T Y ， Shim J K Forward kinematics of the general 6-6 Stewart platform using algebraic eliminationJ.Mechanism and Machine Theory，2001，36(2001)：1 0731 0858高小山 , 廖启征 由 圆柱副、圆 柱副和球 面副构成的 并联机构 ：中国， 200410073712.2P200410079Gao Xiaoshan，De Lilei，Liao Qizheng，Zhang Gu
29、ifangGeneralized Stewart Platforms and their DirectKinematicsJ，IEEE Trans Robotics，2005，21(2)：14115110 勃拉涅茨，什梅格列夫斯基四元数在刚体定位问题中的应用M梁振和，译北京：国防工业出 版社，197811 Lizarralde F，Wen J TAttitude control without angular velocity measurement：a passivity approachJIEEETrans on Auto Contr，1996， 41(3)：468472.12 杨廷力机械
30、系统基本理论M北京：机械工业出版社，1996：12212613 王则柯，高堂安同伦方法引论M重庆：重庆出版社，199014 Verschelde JHomotopy continuation methods for solving polynomial systems DLeuven ：KatholiekeUniversiteit，1996Forward Displacement Analysis of the Generalized4SPS-2CCS Parallel Robot MechanismHuang Xiguang, Liao Qizheng, Wei Shimin, Li Rui
31、lingAutomation School, Beijing University of Posts and Telecommunications, Beijing (100876)AbstractA generalized Stewart platform 4SPS-2CCS is put forward and its forward displacement analysis is discussed based on quaternion. In order to obtain the number of solutions of this kind mechanism,Mourrai
32、n variety is used. The results show that the forward displacement problem of the generalized4SPS-2CCS parallel mechanism has at most 160 solutions. In addition, all the 160 solutions have been obtained in an example by using homotopy continuation method. The example shows that the upper bound of 160
33、 solutions can be reached in the general case. In stead of using Eular angle rotation matrix, the use of quaternion can reduce the Bezout number of the equations and the calculation time and make the computer program easy to write. The result is verified by a numerical example. Based on this result, the synthesis of the mechanism, the trajectory planning and the control of this manipulator will be easy to handle.Keywords: Forward displacement analysis ；Parallel robot mechanism ；Homotopy continuation method；Quaternion作者简介：黄昔光，男，1979 年生，博士研究生，主要研究方向是机器人控制算法。
