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1、三 角 函 数,1.2任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数,1理解并掌握任意角的三角函数的定义及其表示，能熟练求三角函数的值2理解并掌握三角函数线的几何表示，能利用三角函数线确定三角函数值的取值范围或角的取值范围3体会单位圆在整个解题过程中的作用,基础梳理,一、任意角的三角函数1单位圆：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为_2三角函数的定义：设角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合在直角坐标系中，角终边与单位圆交于一点P(x，y)，则r|OP|1.那么：(1)y叫做_，记作sin，即ysin；(2)x叫做_，记作cos，即xcos；(3)叫做_，记作tan，即
2、tan(x0),一、1.单位圆2(1)的正弦(2)的余弦(3)的正切,正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为_练习1：已知角A的终边与单位圆的交点为P0，求角的正弦、余弦和正切值,三角函数,思考应用,1三角函数的值与点P在终边上的位置有关系吗？,解析：利用三角形的相似性可知任意角的三角函数值只与有关，而与点P的位置无关对于角的终边上任意一点P，设其坐标为(x，y)，点P到原点的距离r 0.(1)比值叫做的正弦，记作sin，即sin；(2)比值叫做的余弦，记作cos，即cos；(3)比值叫做的正切，记作tan，即tan.点P在单位圆上是一
3、种特殊情形,二、三角函数值在各个象限内的符号1由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号sin，其中r0，于是sin 的符号与y的符号相同，即：当是第_象限角时，sin 0；当是第_象限角时，sin 0，于是cos 的符号与x的符号相同，即：当是第_象限角时，cos 0；当是第_象限角时，cos 0；当是第 _象限角时，tan 0.,二、四,一、二,三、四,一、四,二、三,一、三,2根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1：“sin：上正下负横为0；cos：左负右正纵为0；tan：交叉正负”形象的识记口诀2：“一全正二正弦，三正切四余弦”练习2：已知角的终边过
4、点P0(3，4)，求角的正弦、余弦和正切值,思考应用,2你知道形象的识记口诀的意思吗？,解析：口诀：“一全二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负,三、诱导公式一由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值_，这样就有下面的一组公式(诱导公式一)sin(2k)sin，cos(2k)cos，tan(2k)tan，(kZ),相等,思考应用,3公式一中的角一定是锐角吗？,解析：公式一中的角为任意角，公式一都成立,四、三角函数线1有向线段：有向线段
5、是规定了方向(即起点、终点)的线段，它是_、_的在直角坐标系中，和坐标轴同向的有向线段为正，反向的为负2正弦线、余弦线、正切线：三角函数线是用来形象地表示三角函数值的有向线段有向线段的_表示三角函数值的_，有向线段的_表示三角函数值的绝对值的_三角函数线的作法如下：设角的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP，OM就分别是角的正弦线与余弦线，即MPysin，OMxcos.,四、1.有长度、有正负2.方向正负长度大小,过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与角的终边(或终边的反向延长线)交于点T，则有向线段AT就是角的正切线，即ATtan.,3填写下表中三角函数
6、的定义域、值域,R 1,1R 1,1 R,思考应用,4三角函数线有哪些特征？应用三角函数线体现了什么数学思想方法？,解析：(1)三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外(2)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点,(3)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面应用三角函数线解决问题体现了数
7、形结合的思想方法,自测自评,1若 0，则点Q(cos，sin)位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限,解析：0，sin 0，故选D.答案：D,解析：点P 是单位圆上一点，则cos x，故选B.答案：B,3有下列四个命题：终边相同的角的同名三角函数的值相等；终边不同的角的同名三角函数的值不相等；若sin 0，则是第一或第二象限角；若是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos.其中，不正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4,解析：正确；不正确；不正确，例：也成立；不正确故选C.答案：C,利用三角函数的定义求三角函数值,已知角的终边过点P(3,2)，求sin，cos，tan
8、 的值分析：本题考查角的三角函数值，已知x3，y2，先求出r，然后根据三角函数的定义求解,跟踪训练,1在平面直角坐标系中，若角终边经过点P(3,4)，则cos 的值为(),2已知角的终边落在直线y2x上，求sin，cos，tan 的值,分析：因为角的终边是一条射线，故应分两种情况进行讨论可在直线上取一特殊点转化成例1类似的问题，进而求解,应用诱导公式(一)进行化简、求值,求下列各三角函数的值：(1)cos(1050)；(2)sin.,点评：解答此类问题的方法是先把已知角化归到2k，(02，kZ)的形式，再利用诱导公式(一)化简求值,跟踪训练,判断三角函数值的符号问题,(1)若角分别是第二、三、
9、四象限角，则点P(sin，cos)分别落在第_、_和_象限解析：当角是第二象限角时，sin 0，cos 0，则点P(sin，cos)在第二象限答案：四、三、二,(2)依据三角函数线，作出如下四个判断：其中判断正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个,序号判断正确，答案选B.答案：B点评：此类问题的关键在于牢记各象限内的三角函数值的符号，尤其是以弧度制给出角时，判断角所在的象限位置特别重要,解析：在平面直角坐标系中作单位圆，依次作相关角的三角函数线，由图象可知,跟踪训练,4判断下列各三角函数值的符号：sin 3，cos 4，tan 5.,解析：0，cos 40，tan 50.,应用三角函数线解
10、决不等式问题,下列表示sin 1与cos 1的大小关系中，表述正确的是()Asin 1cos 1 Bsin 1cos 1Csin 1 OPM，MPOM，故得sin 1cos 1，答案选A.答案：A,点评：此类问题的解题思路在于将三角函数值化为单位圆中的某些线段，再用几何关系来判断大小它的实质是数形结合的思想,跟踪训练,5当x 时，求证：sin xxtan x.,分析：本题可以分别利用单位圆中角x的正弦线、所对的弧长、正切线来表示sin x，x和tan x，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决解析：如下图，设角x的终边与单位圆交于点P，单位圆与x轴交于点A，作PMx轴，垂足为M，作ATx轴，交射线OP于T，由三角函数定义知sin xMP，tan xAT，x弧AP的长,D,B,1利用三角函数定义求值常有两类题：一类是已知终边上一点的坐标，求三角函数值终边上的已知点的坐标确定，三角函数值唯一终边上的已知点的坐标以参数形式给出，需判断角所在的象限位置，若不能确定，还需对参数分类讨论另一类是已知角的终边在某条固定直线上，求角的三角函数值，应对角分两种情况讨论，并在射线上找一特殊点，使之转化为熟悉的类型题2利用三角函数线解不等式常常是先找到取等号时角的终边的位置，再借助单位圆中的三角函数线找出角的终边所在的区域，然后写出角的集合此类题目体现了数形结合的数学思想,祝,您,学业有成,
