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1、二、全微分在数值计算中的应用,一、全微分的定义,定义:如果函数 z=f(x,y)在定义域 D 的内点(x,y),可表示成,其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，则称函数,称为函数,在点(x,y)的全微分,记作,若函数在域 D 内各点都可微,f(x,y)在点(x,y)可微，,处的全增量,则称此函数在D 内可微.,(2)偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1)函数可微,函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微,由微分定义:,得,函数在该点连续,偏导数存在,函数可微,即,定理1(必要条件),若函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该,函数在该点偏导数,同样可证,
2、证:由全增量公式,必存在,且有,得到对 x 的偏增量,因此有,反例:函数,易知,但,因此,函数在点(0,0)不可微.,注意:定理1 的逆定理不成立.即:,偏导数存在函数 不一定可微!,定理2(充分条件),证：,若函数,的偏导数,则函数在该点可微分.,所以函数,在点,可微.,注意到,故有,推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.,例如,三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,于是,记作,称为偏微分.故有下述叠加原理,的全微分为,例1 计算函数,在点(2,1)处的全微分.,解,例2 计算函数,的全微分.,解,可知当 及 较小时,有近似等式:,二、全微分在数值计算中的应用,1.近似计算,由
3、全微分定义,(可用于近似计算;误差分析),(可用于近似计算),解:已知,即受压后圆柱体体积减少了,例3.有一圆柱体受压后发生形变,半径由 20cm 增大到20.05cm,高度由100cm 减少到 99cm,求此圆柱体体积的近似改变量.,则,例4.计算 的近似值.,解:设,则,取,则,分别表示 x,y,z 的绝对误差界,则,2.误差估计,利用,令,z 的绝对误差界约为,z 的相对误差界约为,特别注意,类似可以推广到三元及三元以上的情形.,乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数,例5.利用公式,求计算面积时的绝对误差与相对误差.,解：,故绝对误差约为,又,所以 S 的相对误差约为,计算三角形面积.现测得,例6.在直流电路中,测得电压 U=24 伏,相对误差为,解:由欧姆定律可知,(欧),所以 R 的相对误差约为,0.3+0.5,R 的绝对误差约为,0.8,0.3;,定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差.,测得电流 I=6安,相对误差为 0.5,=0.032(欧),=0.8,求用欧姆,内容小结,1.微分定义:,2.重要关系:,3.微分应用,近似计算,估计误差,绝对误差,相对误差,
