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1、A,B,D,E,F,M,N,专题讲解,三角形辅助线的方法,连线法,第一关,如图,AB=AD,BC=DC,求证:B=D.,连接AC,构造全等三角形,连线 构造全等,连线 构造全等,如图,AB与CD交于O,且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的长.,连接BD,构造全等三角形,A,C,B,D,O,第二关,中线倍增法,如何利用三角形的中线来构造全等三角形？,可以利用倍长中线法，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。,如图，若AD为ABC的中线，,必有结论：,A,B,C,D,E,1,2,延长AD到E，使DE=AD，连结BE（也可连结CE）。,ABDECD，,1=E，,B=2，,EC=AB，CEA
2、B。,已知，如图AD是ABC的中线，,延长AD到点E，使DE=AD，连结CE.,思考：若AB=3,AC=5求AD的取值范围？,倍长中线,第三关,利用角平分线截长补短,可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？,问题：,如图，在ABC中，AD平分BAC。,方法一：,A,B,C,D,E,必有结论：,在AB上截取AE=AC，连结DE。,ADEADC。,ED=CD，,3,*,2,1,AED=C，,ADE=ADC。,方法二：,A,B,C,D,F,延长AC到F，使AF=AB，连结DF。,必有结论：,ABDAFD。,BD=FD，,如何利用三角形
3、的角平分线来构造全等三角形？,问题：,3,*,2,1,如图，在ABC中，AD平分BAC。,可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,B=F，,ADB=ADF。,如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？,问题：,A,B,C,D,M,N,方法三：,作DMAB于M，DNAC于N。,必有结论：,AMDAND。,DM=DN，,3,*,2,1,如图，在ABC中，AD平分BAC。,可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,AM=AN，,ADM=AND。,（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN）,练习1,如图，已知ABC中，AD是BAC的角平
4、分线，AB=AC+CD，求证：C=2B,A,B,C,D,E,1,2,2,1,证明:,在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。,AD是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在AED和ACD中 AE=AC（已知）1=2（已证）AD=AD（公共边）AEDACD（）,3,B=4（等边对等角）,4,*,C3（全等三角形的对应角相等),又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）EB=DC=ED（等量代换）,3=B+4=2B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）C=2B（等量代换）,ED=CD（全等三角形的对应边相等）,.角平分线上点向两边作垂线段,典例2:如图,ABC中,C=90o,AC=
5、BC,AD平分BAC,求证:AB=AC+DC.,A,C,D,过点D作DEAB,构造了:全等的直角三角形且距离相等,B,E,思考:若AB=15cm,则BED的周长是多少?,.角平分线上点向两边作垂线段,典例3:如图,梯形中,A=D=90o,BE、CE均是角平分线,求证:BC=AB+CD.,A,C,D,过点E作EFBC,构造了:全等的直角三角形且距离相等,B,F,思考:你从本题中还能得到哪些结论?,E,证明：,例1,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,E,在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。,BD是ABC的角平分线（已知）
6、1=2（角平分线定义）在ABD和EBD中 AB=EB（已知）1=2（已证）BD=BD（公共边）ABDEBD（S.A.S）,1,2,4,3,3+4180（平角定义），A3（已证）A+C180（等量代换）,3,2,1,*,A3（全等三角形的对应角相等）,AD=CD（已知），AD=DE（已证）DE=DC（等量代换）,4=C（等边对等角）,AD=DE（全等三角形的对应边相等）,证明:,例1,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,F,延长BA到F，使BF=BC，连结DF。,BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在BFD和B
7、CD中 BF=BC（已知）1=2（已证）BD=BD（公共边）BFDBCD（S.A.S）,1,2,4,3,FC（已证）4=C（等量代换）,3,2,1,*,FC（全等三角形的对应角相等）,AD=CD（已知），DF=DC（已证）DF=AD（等量代换）,4=F（等边对等角）,3+4180（平角定义）A+C180（等量代换）,DF=DC（全等三角形的对应边相等）,证明:,例1,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,M,作DMBC于M，DNBA交BA的延长线于N。,BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）DNBA，DMBC（已
8、知）N=DMB=90（垂直的定义）在NBD和MBD中 N=DMB（已证）1=2（已证）BD=BD（公共边）NBDMBD（A.A.S）,1,2,4=C（全等三角形的对应角相等）,N,4,3,3,2,1,*,ND=MD（全等三角形的对应边相等）,DNBA，DMBC（已知）NAD和MCD是Rt在RtNAD和RtMCD中 ND=MD（已证）AD=CD（已知）RtNADRtMCD（H.L）,3+4180（平角定义），A3（已证）A+C180（等量代换）,如图所示，已知ADBC，1=2，3=4，直线DC经过点E交AD于点D，交BC于点C。求证：AD+BC=AB,E,F,在AB上取点F使得AF=AD,连接E
9、F,截长补短,第四关,周长问题转化,1.如图,ABC中,C=90o,AC=BC,AD平分ACB,DEAB.若AB=6cm,则DBE的周长是多少?,.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”,B,A,C,D,E,BE+BD+DE,BE+BD+CD,BE+BC,BE+AC,BE+AE,AB,2.如图,ABC中,D在AB的垂直平分线上,E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求ADE的周长.,.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”,B,A,C,D,E,AD+AE+DE,BD+CE+DE,BC,5.如图,ABC中，BP、CP是ABC的角平分线，MN/BC.若BC=6cm,AMN周长为13cm，求ABC的周长.,.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形性质”,B,A,C,P,AB+AC+BC,AM+BM+AN+NC+6,N,AM+MP+AN+NP+6,13+6,M,AM+AN+MN+6,
