《全等三角形辅助线证明的几种方法.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全等三角形辅助线证明的几种方法.ppt（45页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、初中数学辅助线专题（辅助线口诀）,辅助线一般作法,初中几何常见辅助线作法口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。,三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。,解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。,1、有以线段中点为端点的线段时
2、，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图4-1：AD为ABC的中线，且1=2，3=4，求证：BE+CFEF,一、倍长法,证明：廷长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF。在BDE和CDM中，BD=CD（中点定义）1=5（对顶角相等）ED=MD（辅助线作法）BDECDM（SAS）又1=2，3=4（已知）1+2+3+4=180（平角的定义）3+2=90即：EDF=90 FDM=EDF=90在EDF和MDF中 ED=MD（辅助线作 法）EDF=FDM（已证）DF=DF（公共边）EDFMDF（SAS）EF=MF（全等三角形对应边相等）在CMF中，CF+CMMF（三角形两边之和大于第三边）BE+
3、CFEF,在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图5-1：AD为 ABC的中线，求证：AB+AC2AD分析：要证AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有AB+AC+BD+CD AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去,证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE AD为ABC的中线（已知）BD=CD（中线定义）在ACD和EBD中 BD=CD（已证）1=2（对顶角相等）AD=ED（辅助线作法）ACDEBD（SAS）BE=CA（全等三角形对应边相等
4、）在ABE中有：AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边）AB+AC2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）,练习,已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD。,二、截长补短法作辅助线,要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取“截长补短”法。截长法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。所谓补短，即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。,让我们来大显身手吧！,例如：已知如图6-1：在ABC中，ABAC，1=2，P为AD上任一点 求证：AB-ACPB-PC。,要证：AB-ACPB
5、-PC，想到利用三角形三边关系定理证明。因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN再连接PN，则PC=PN，又在PNB中，PB-PNPB-PC。,思路导航,证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN 在APN和APC中 AN=AC（辅助线作法）1=2（已知）AP=AP（公共边）APNAPC（SAS）PC=PN（全等三角形对应边相等）在BPN中，有 PB-PNBN（三角形两边之差小于第三边）BP-PCAB-AC,证明：（补短法）延长AC至M，使AM=AB，连接PM 在ABP和AMP中 AB=AM（辅助线作法）1=2
6、（已知）AP=AP（公共边）ABPAMP（SAS）PB=PM（全等三角形对应边相等）又在PCM中有：CMPM-PC(三角形两边之差小于第三边)AB-ACPB-PC。,三 平行线法 若题设中含有中点，可以试过中点作平行线或中位线，对直角三角形，有时可作出斜边的中线。,ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。,思路分析：,1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作
7、BC的平行线。得ADOAQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再证出BD=OD就可以了。,证明：如图（1），过O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO，DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70，BOP=OBA+BAO=70，BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。,解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。（
8、2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图（2），过O作ODBC交AC于D，则ADOABO从而得以解决。,四 翻折法,若题设中含有垂线，角的平分线等条件，可以使用轴对称的性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形。,1.利用三角形的角平分线来构造全等三角形,如图，在ABC中，AD平分BAC。,方法一：,A,B,C,D,E,必有结论：,在AB上截取AE=AC，连结DE。,ADEADC。,ED=CD,3,*,2,1,AED=C,ADE=ADC。,方法二：,A,B,C,D,F,延长AC到F，使AF=AB，连结DF。,必有结论：,ABDAFD。,BD=FD,如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？,
9、问题：,3,*,2,1,如图，在ABC中，AD平分BAC。,可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,B=F,ADB=ADF。,如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？,问题：,A,B,C,D,M,N,方法三：,作DMAB于M，DNAC于N。,必有结论：,AMDADN。,DM=DN,3,*,2,1,如图，在ABC中，AD平分BAC。,可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,AM=AN,ADM=ADN,（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN）,证明：,例1,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求
10、证：A+C=180,D,A,B,C,E,在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。,BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在ABD和EBD中 AB=EB（已知）1=2（已证）BD=BD（公共边）ABDEBD（）,1,2,4,3,3+4180（平角定义），A3（已证）A+C180（等量代换）,3,2,1,*,A3（全等三角形的对应角相等）,AD=CD（已知），AD=DE（已证）DE=DC（等量代换）,4=C（等边对等角）,AD=DE（全等三角形的对应边相等）,证明:,例1,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,F,
11、延长BA到F，使BF=BC，连结DF。,BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在BFD和BCD中 BF=BC（已知）1=2（已证）BD=BD（公共边）BFDBCD（）,1,2,4,3,FC（已证）4=C（等量代换）,3,2,1,*,FC（全等三角形的对应角相等）,AD=CD（已知），DF=DC（已证）DF=AD（等量代换）,4=F（等边对等角）,3+4180（平角定义）A+C180（等量代换）,DF=DC（全等三角形的对应边相等）,证明:,例1,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,M,作DMBC于M，DNBA交
12、BA的延长线于N。,BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）DNBA，DMBC（已知）N=DMB=90（垂直的定义）在NBD和MBD中 N=DMB（已证）1=2（已证）BD=BD（公共边）NBDMBD（）,1,2,4=C（全等三角形的对应角相等）,N,4,3,3,2,1,*,ND=MD（全等三角形的对应边相等）,DNBA，DMBC（已知）NAD和MCD是Rt在RtNAD和RtMCD中 ND=MD（已证）AD=CD（已知）RtNADRtMCD（H.L）,3+4180（平角定义），A3（已证）A+C180（等量代换）,证明:,例1,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线
13、，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,M,作DMBC于M，DNBA交BA的延长线于N。,1,2,N,4,3,3,2,1,*,BD是ABC的角平分线（已知）DNBA，DMBC（已知）ND=MD（角平分线上的点到这 个角的两边距离相等）,4=C（全等三角形的对应角相等）,DNBA，DMBC（已知）NAD和MCD是Rt在RtNAD和RtMCD中 ND=MD（已证）AD=CD（已知）RtNADRtMCD（H.L）,3+4180（平角定义）A3（已证）A+C180（等量代换）,练习1,如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：C=2B,A,B,C,D,E,1,2,
14、2,1,证明:,在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。,AD是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在AED和ACD中 AE=AC（已知）1=2（已证）AD=AD（公共边）AEDACD（）,3,B=4（等边对等角）,4,*,C3（全等三角形的对应角相等),又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）EB=DC=ED（等量代换）,3=B+4=2B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）C=2B（等量代换）,ED=CD（全等三角形的对应边相等）,练习1,如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：C=2B,A,B,C,D,F,1,2,证明:,延长AC到F，使C
15、F=CD，连结DF。,AD是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）AB=AC+CD，CF=CD（已知）AB=AC+CF=AF（等量代换）,ACB=2F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）ACB=2B（等量代换）,3,2,1,*,在ABD和AFD中 AB=AF（已证）1=2（已证）AD=AD（公共边）ABDAFD（）,FB（全等三角形的对应角相等）,CF=CD（已知）B=3（等边对等角）,练习2,如图，已知直线MNPQ，且AE平分BAN、BE平分QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。,证明:,延长AE，交直线PQ于点F。,*,3,0,
16、*,22,21,A,B,C,D,E,M,N,P,Q,1,2,3,4,F,5,练习2,如图，已知直线MNPQ，且AE平分BAN、BE平分QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。,证明:,延长BA到点G，使得AG=AD，连结EG。,*,3,0,*,22,21,A,B,C,D,E,M,N,P,Q,1,2,3,4,G,练习2,如图，已知直线MNPQ，且AE平分BAN、BE平分QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。,证明:,延长BA到点G，使得AG=AD，连结EG。,*,3,0,*,22,21,A,B,C,D,E,M,
17、N,P,Q,1,2,3,4,G,练习3,已知：如图在RtABC中，BAC=90，AEBC，BD是ABC的角平分线，GFBC，求证：AD=FC。,A,B,C,D,E,H,1,2,证明:,过D作DHBC，垂足为H。,G,F,*,3,0,*,如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？,小结：,（3）作DMAB于M，DNAC于N。,（1）在AB上截取AE=AC，连结DE。,（2）延长AC到F，使AF=AB，连结DF。,A,B,C,D,E,F,M,N,必有结论：ADEADC。,必有结论：ABDAFD。,必有结论：AMDAND。,可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,如图，在AB
18、C中，AD为BAC的角平分线。,*,3,0,*,.角平分线上点向两边作垂线段,典例1:如图,ABC中,C=90o,BC=10,BD=6,AD平分BAC,求点D到AB的距离.,A,C,D,过点D作DEAB,构造了:全等的直角三角形且距离相等,B,E,.角平分线上点向两边作垂线段,典例2:如图,ABC中,C=90o,AC=BC,AD平分BAC,求证:AB=AC+DC.,A,C,D,过点D作DEAB,构造了:全等的直角三角形且距离相等,B,E,思考:若AB=15cm,则BED的周长是多少?,.角平分线上点向两边作垂线段,典例3:如图,梯形中,A=D=90o,BE、CE均是角平分线,求证:BC=AB+
19、CD.,A,C,D,过点E作EFBC,构造了:全等的直角三角形且距离相等,B,F,思考:你从本题中还能得到哪些结论?,E,.角平分线上点向两边作垂线段,典例4:如图,OC 平分AOB,DOE+DPE=180o,求证:PD=PE.,A,C,D,过点P作PFOA,PG OB,构造了:全等的直角三角形且距离相等,B,F,思考:你从本题中还能得到哪些结论?,E,P,G,O,1.如图,ABC中,C=90o,AC=BC,AD平分ACB,DEAB.若AB=6cm,则DBE的周长是多少?,.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”,B,A,C,D,E,BE+BD+DE,BE+BD+CD,BE+BC,BE+AC
20、,BE+AE,AB,2.如图,ABC中,D在AB的垂直平分线上,E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求ADE的周长.,.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”,B,A,C,D,E,AD+AE+DE,BD+CE+DE,BC,3.如图,A、A1关于OM对称,A、A2关于ON对称.若A1 A2=6cm,求ABC的周长.,.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”,B,A,C,O,M,AB+AC+BC,A1 B+A2 C+BC,A1 A2,A1,A2,N,4.如图,ABC中，MN是AC的垂直平分线.若AN=3cm,ABM周长为13cm，求ABC的周长.,.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线
21、性质”,B,A,C,M,AB+BC+AC,AB+BM+MC+6,N,AB+BM+AM+6,13+6,5.如图,ABC中，BP、CP是ABC的角平分线，MN/BC.若BC=6cm,AMN周长为13cm，求ABC的周长.,.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形性质”,B,A,C,P,AB+AC+BC,AM+BM+AN+NC+6,N,AM+MP+AN+NP+6,13+6,M,AM+AN+MN+6,如何利用三角形的高来构造全等三角形？,如图，在ABC中，ADBC，ABC=2C。求证：AB+BD=CD,提示：,（1）延长DB到点E，使BE=AB，连结AE。,（2）在DC上截取点E，使DE=BD，连结AE。,A,B,C,D,*,0,*,
